Матрица точки устойчивое (неустойчивое)

Так как один иа определителей Сильвестра (2.8) для матрицы коэффициентов потенциальной анергии отрицателен, то система неустойчива (см. 3.1), и, следовательно, должны быть неустойчивые координаты. Но число их должно быть четным, а всего координат три. Поэтому система имеет две неустойчивые и одну устойчивую координаты. [c.170]

В случае, когда матрица А может быть приведена к диагональному виду, очевидно, что условия устойчивости сохраняют форму, данную в 19.5. Если собственные значения матрицы А имеют вещественные части отрицательные и нулевые, то равновесие устойчиво. Если все вещественные части собственных значений отрицательны, то равновесие устойчиво асимптотически. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то равновесие неустойчиво. [c.420]

Если Xj. — собственное значение матрицы Л, то соответствующее собственное значение матрицы В равно Рассматривая случай, когда матрицы Л и могут быть приведены к диагональной форме, и обозначая вещественную часть Хг через р , можно выразить условия устойчивости (неустойчивости) через рг или I- [c.425]

Если О О, то весь спектр матрицы dF ) лежит в левой полуплоскости и точка устойчива. Если же С < О, то в спектре имеются собственные значения с положительными действительными частями, и точка неустойчива. [c.249]

Если все не лежащие на мнимой оси собственные значения матрицы линейной части векторного поля в особой точке находятся в правой (левой) полуплоскости, то скажем, что особая точка — неустойчивый (устойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае особая точка называется седлом по гиперболическим переменным. [c.89]

Доказанная теорема устанавливает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости. Можно указать также необходимые условия устойчивости. Рассмотрим линейное преобразование ж = Ва (где матрица J5 не обязательно диагональная, но может быть приведена к диагональному виду). Произведение собственных. значений матрицы В будет равно В , определителю матрицы В. Необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы В 1. Для линейного приближения к преобразованию (21.15.1) элементы матрицы В должны быть равны значениям частных производных 5фг/5а, в точке а = 0. Таким образом, для устойчивости преобразования (21.15.1) необходимо,чтобы якобиан [c.428]

Если во всех рассмотренных случаях нас интересует лишь исследование устойчивости, то достаточно перейти от дифференциального уравнения движения к соответствующей нормальной системе уравнений и по знакам элементов матрицы правых частей этих уравнений в соответствии с указаниями таблицы 17.2 сразу установить факт устойчивости или неустойчивости движения системы. [c.130]

Если нулевое решение системы дифференциальных уравнений х = Ах неустойчиво, то среди собственных чисел матрицы А имеются числа с положительной вещественной частью. Построим механическую систему, структурно близкую к исходной, и подберем такие значения параметров этой системы, при которых ее движение будет устойчивым в заданном диапазоне скоростей. Для этого сделаем преобразование координат X = где а — вещественное число — параметр сдвига корней. Система уравнений возмущенного движения примет вид у = (А—аЕ)у, где [c.399]

Если Рз О, то правая часть будет положительной и, следовательно, х(0 —> при t—>o . Решение х(/)Ы) будет неустойчивым по Ляпунову. Если Рг<0, то это решение асимптотически устойчиво. В линейном приближении правые части уравнений не зависят от параметра Р2, а матрица 6 имеет чисто мнимые характеристические показатели А.] 3 = +з Р . Нулевое решение линейной системы устойчиво по Ляпунову. Следовательно, суждение об устойчивости решений нелинейной системы по уравнениям первого приближения не всегда приводит к верным выводам. [c.459]

С учетом этих обстоятельств вполне понятной становится приведенная на рис. 2.29 экспериментальная зависимость энергии излучения лазера с пластинчатым активным элементом от мощности накачки (свободная генерация, импульсно-периодический режим, энергия накачки фиксирована, частота следования импульсов переменна) [91]. Активный элемент, представляющий при этом бифокальную цилиндрическую линзу (см. п. 1.3), симметрично располагался между плоскими зеркалами резонатора. По мере увеличения силы термических линз для X- и у-поляризаций в область неустойчивости попадают эквивалентные резонаторы вначале для одной у), а затем и другой (л ) собственной поляризации кривые 4 и 5, соответствующие значениям компоненты А лучевой матрицы эквивалентных резонаторов для собственных поляризаций, выходят за границы области устойчивости (благодаря симметрии резонатора здесь A=jD)- Этим изменениям конфигурации резонатора отвечает и характер поляризации генерируемого излучения в интервале накачек между точками а и 6 излучение линейно поляризовано в х направлении. [c.96]

I дХа дх II, а именно если в некоторой окрестности точки = О все собственные числа этой матрицы имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если же в каждой точке окрестности = О имеется собственное число с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.58]

Критерием устойчивости является положительность величины этой второй вариации, и, наоборот, ее отрицательность является критерием неустойчивости (поскольку в первом случае конструкции должна быть сообщена энергия, а во втором — у конструкции избыток энергии). Другими словами, если матрица [/Сг] положительно определенная, то состояние равновесия устойчиво. Это Р критерий хорошо известен и широко используется при исследовании устойчивости в случае больших деформаций ) [7—9]. [c.443]

Такой вид позволяет удовлетворить достаточно широкому классу начальных условий (все симметричные функции, разложимые в ряд Фурье). Подставляя (2.2) в (2.1), мы получим, что X должны быть собственными значениями матрицы aj/ — Dik djj , где к = к + к2, - символ Кронекера. Ясно, что если даже все собственные значения матрицы я// лежат в левой полуплоскости (т.е. равновесие N в отсутствие диффузии устойчиво), то при Di ФО вполне вероятно, что при определенных волновых числах к некоторые из X,- будут лежать правее мнимой оси и амплитуда всех возмущений с этими волновыми числами будут возрастать, т.е. возникает типичное явление неустойчивости. Неустойчивость такого типа мы будем называть диффузионной. [c.145]

Таким образом, необходимым и достаточным условием для устойчивости стационарного состояния является то, что все собственные значения матрицы якобиана А имеют отрицательные действительные части. Собственное значение с положительной действительной частью подразумевает неустойчивость. [c.396]

Величины Л Пуанкаре предложил называть коэффициентами устойчивости. Если, как в п. 229, функция (3) определенно-положительна, то все величины Л положительны и положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одна из величин Л отрицательна, то положение равновесия неустойчиво . Число отрицательных коэффициентов устойчивости называется степенью неустойчивости. В дальнейшем важна будет не сама степень неустойчивости, а ее четность или нечетность. Пусть С — матрица квадратичной формы (3). Тогда det С = Л1Л2. .. Отсюда следует, что если det С > О, то степень неустойчивости четная (или равняется нулю), а если det С < О, то степень неустойчивости нечетная. [c.538]

Эти результаты нами уже были получены раньше, в 21.11 и в 21.13. Если матрицу Л не удается диагонализовать, то исследование усложняется. Как мы видели, в этом случае выполнения условия р О (или, что то же, [ (Аг I 1) для всех г уже недостаточно для того, чтобы гарантировать-устойчивость кратные чисто мнимые собственные значения Хг могут привести к неустойчивости. Но другие условия остаются без изменений. Если все Рг <С О (или все I Хг I < 1), то имеем асимптотическую устойчивость если хотя бы одно значение рг > О (или одно I > 1), то имеем неустойчивость. Доказательство см. ниже, в 23.3. [c.425]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Тот же приём линеаризации применяют для изучения поведения траекторий в окрестности периодич. движения L ae a(t), где а (/+т) а /). Фундам. матрица решений линеаризованной вблизи ж —ос системы ур нин имеет вид с(()ехрЛ(0, где с (/) —периодич. ф-ция с периодом т. Поведение траекторпй характеризуют мультипликаторы [собств. значения yi,. .., у,, матрицы ехрЛ(т)] один из них, скажем у , равен 1. Если I Vr I < 1 ( Yi I > для всех —1, то периодич. движение устойчиво (неустойчиво). Если р мультипликаторов лежат внутри, а <7 — вне единичного круга в комплексной плоскости, p- -q n — , то имеем периодич. движение седлового тина. В этом случае L. лежит в пересечении двух поверхностей (рl)-Mepuoii и 9 + 1)-мерной Wt (устойчивой и неустойчивой сепаратрис). [c.626]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Определитель птой матрицы det С — —9 отрицателен. Поэтому, не приводя уравнения к пормал1,ным координатам, можно утверждать, что система имеет нечетную степень неустойчивости. Так как число координат равно двум, то имеются одна неустойчивая и одна устойчивая координаты. [c.169]

В этих уравнениях матрица сил, линейно зависящих от скоростей г, I/, Z, кососимметричная. Следовательно, эти силы гироскопические. Так как другие силы отсутствую , то на основании теоремы 1 этого параграфа заключаем, что невозмущонное движение электрона устойчиво относительно скоростей г, а на основании следствия теоремы 2 оно неустойчиво относительно совокупности всех координат х, у, л (так как число координат равно jpeM). [c.189]

Рис. 7.4.4. Зависимость вормы степеией матрицы Г в точках из области устойчивости (I, 2) и в области неустойчивости (3, 4, 3)

Рис. 7.4.5. Зяавсимость следа степеней матрицы Г в точках из области устойчивости /, 2) и области неустойчивости (7, 4, 5)

Процесс (4.3) можно использовать также для решения нелинейной системы (4.10) с негладкими функциями fi. Такая задача возникает при исследовании деформации пластических сред с включающимися и выключающимися связями. Разрывность матрицы llflijll обусловливает возможность смены знака ее детерминанта (и вместе с тем состояний устойчивости и неустойчивости равновесия) скачком, без перехода через стационарную точку д . [c.144]

Поляризационные и энергетические характеристики лазеров с термически деформированными активными элементами. Выше уже отмечалось, что в лазерах с пространственно неоднородной анизотропией возникают две подсистемы мод, отвечающих собственным состояниям поляризации резонатора, причем конфигурации эквивалентных резонаторов, соответствующих указанным подсистемам, являются различными (и это различие тем больше, чем больше величина термооптической характеристики Q), характеризуемыми своими ЛВСЛ-матрицами. При изменении геометрических параметров резонатора (кривизны зеркал, расстояния между элементами резонатора) либо параметров неодно-родно-анизотропного элемента (например, при вариации мощности накачки) оба эквивалентных резонатора будут изменяться, а изображающие их точки на ЛЛ-плоскости параметров резонатора станут прочерчивать линии, расстояние между которыми пропорционально величине Q. Очевидно, что наибольшее различие в характеристиках мод этих двух резонаторов (объемов, занимаемых модами, собственных частот, формы волновых поверхностей) будет вблизи границы устойчивости, в особенности тогда, когда один из них попадет в устойчивую, а другой— в неустойчивую область [см. условие (2.6)]. При этом будут заметно различаться для этих двух резонаторов и условия [c.95]

Если элементы лучевой матрицы обхода действительны, то резонатор называют устойчивым, если / < 1. Поэтому, следуя традиционной терминологии, будем считать, что случай 5 < 1 соответствует резонаторам устойчивой конфигурации, а 5 > 1 неустойчивой. Используя перемеппые 5 и /, выражение (4.12) можно преобразовать к виду [c.200]

На круге U с центром в нуле введем координаты (а ,, а ), в которых матрица А диагонализируется, т. е. такие, что точки с координатами (ж,, 0) содержатся в неустойчивом многообразии точки О н точки с координатами (О, Жз) находятся в устойчивом многообразии точки 0. Тогда F x , а ) = (А,а ,, Aja ) на и. [c.538]

Соответствующая матрица размерности 5X5 является трндиаго-нальной с дополнительными элементами — 1 в двух углах. Если К велико, то сх Грин показал, что это верно также и для малых К, и на этом основании принял такую же зависимость и для всех К Следовательно, вычет экспоненциально зависит от периода 5. Для больших 5 значение Р стремится к нулю в устойчивом случае и неограниченно возрастает в неустойчивом. Естественно поэтому исследовать поведение величины [c.271]

Стохастический режим. В точке пересечения критических кривых Rl и Ra (рис. 44) мнимую ось пересекают две пары собственных значений (х,, х,) и щ, Xj), принадлежащих соответственно спектрам собственных значений матриц odi и aS . Поэтому в области П1 на диаграмме устойчивости обе х- и у-подсистемы становятся неустойчивыми. Поскольку собственные частоты колебаний =. = Imxi и 2 = ImXj, вообще говоря, несоизмеримы, в окрестности положений равновесия при надкритических значениях R можно ожидать рождения двумерных инвариантных торов, т.е. д (т) и у(х) будут задаваться двоякопериодическими векторными функциями вида г1)( ,т, ат), где г з( , и) — 2я-периодическая функция по каждому из аргументов. На рис. 49 и 50 представлены результаты численного интегрирования системы (6), (7) в точке а = 2,6, R = 40, принадлежащей области III. Интегрирование проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Рунге — Кутта без контроля точности интегрирования с шагом Дт = 0,002, что по порядку величины составляет 10 T i (Г, = = 2я/тах ( j, а))> и с заданной точностью интегрирования, равной 0,1%. Основной результат оставался неизменным. [c.153]

К сожалению, этот подход не эффективен из-за того, что получаемая матрица плохо обусловлена при стремлении величины энергии сдвиговой деформации к нулю и вырождена, когда энергия равна нулю. Так как это обстоятельство возникает из-за того, что аналитическая модель неустойчива при наличии независимых параметров перемещений [ 0 J и L w J, можно восстановить устойчивость, связывая эти степени свободы в дискретных точках согласно гипотезе Кирхгофа. Так, при 7зсу=0 из уравнения (12.50) следует 0 = =—dwidx. Так как Q и w записаны в дискретном виде, то на основе этого условия можно выписать уравнения связи для узловых параметров LL JL JJ. [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...