Энергия ангармонического осциллятора

Потенциальной кривой (33.16) соответствуют квантовые значения полной колебательной энергии ангармонического осциллятора [c.240]

Задача. Найдите первую и вторую поправки к уровням энергии ангармонического осциллятора [c.146]

Задача 5. Определите уровни энергии ангармонического осциллятора с гамильтонианом [c.173]

Потенциальная энергия ангармонического осциллятора. [c.66]

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как возмущение . Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамиль- [c.183]

В модели ангармонических осцилляторов движение ионов учитывается следующим образом [61]. Энергая связанного движения осцилляторов, описывающих электроны и ионы, представляется в виде [c.34]

Локализация энергии в нелинейной системе. Гамильтониан связанных ангармонических осцилляторов Н = Но + А//, [c.433]

Согласно нащим допущениям, Р. — О в отсутствие внешнего поля. Для определения зависимости индуцированной поляризации от напряженности поля нужно уточнить представления о возвращающих силах. Любая заданная зависимость потенциальной энергии системы от сдвигов точечных зарядов может быть описана в наглядной форме, если вообразить, что эти заряды связаны невесомыми пружинами. Тогда соотношения между силами и смещениями будут отображать ход потенциальной энергии. Следует отметить, что в общем случае эти пружины создают нелинейные силы. Для их описания мы воспользуемся моделью ангармонического осциллятора (название происходит от соответствующей формулы для силы). Эта модель позволяет наглядно продемонстрировать ход потенциальной энергии и геометрию системы и, несмотря на ее простоту, приводит к правильной общей математической структуре интересующего нас основного соотношения при классическом описании. [c.34]

Потенциал отталкивания влияет на ангармонический осциллятор, конечно, так же, как и на гармонический осциллятор. Помимо того, поскольку дополнительный потенциал отталкивания приближает кривую полной потенциальной энергии к параболической форме (в частности, противодействуя диссоциации молекулы), можно полагать, что матрица снижает ангармоничность (см. рис. 6.5). [c.116]

Расстояния между уровнями энергии соседних состояний в ангармоническом осцилляторе уменьшаются с увеличением квантового числа V, что вызывает появление серии частот колебаний. Существенно изменяются правила отбора, теперь разрешены все переходы, удовлетворяющие условию ЛК=1, 2, 3, и, кроме того, возможны переходы одновременно в нескольких осцилляторах. [c.10]

Рассмотрим теперь квантовую частицу (рис. 166). Энергия такой частицы квантуется. Например, в гармоническом потенциале энергия уровня с номером п равна е = Йо)о(1/2 + и), где соо — частота осциллятора. Начальное состояние частицы не обязательно должно соответствовать только одному уровню. Например, в случае гармонического осциллятора можно строить так называемые когерентные состояния из суперпозиции волновых функций разных уровней. Но и в более сложном случае ангармонического осциллятора можно выбрать в качестве начальной волновой функции любую суперпозицию собственных функций. Однако специфика выбора довольно быстро проявится в дальнейшей эволюции. [c.186]

Примем, что пятая гармоника имеет плохое согласование фаз. В результате проблема сводится к взаимодействию двух электромагнитных волн. Подробные решения для амплитуд и фаз будут даны в 7. Энергетические соотношения, подобные обсуждавшимся выше, выводятся легко. В выражение для свободной энергии единичного объема газа, на который одновременно действует волна основной частоты и третья гармоника, линейно поляризованная в том же направлении, входит член, пропорциональный Е д. Согласования фаз в принципе можно достигнуть, используя резонансную дисперсию вблизи полос поглощения молекул. Если основная частота выбрана немного меньшей частоты полосы поглощения, то ангармонический осциллятор дает очень большой резонансный знаменатель. Тогда в соответствии с выражением (2.26) нелинейность будет пропорциональна [c.286]

В приближении т > е мы получаем классический результат С/ т, в котором Угт обусловливается кинетической энергией и /гТ — потенциальной. Такое точное разделение энергии гармонического осциллятора служит примером равного распределения энергии. Оно не осуществляется в случае ангармонического осциллятора. [c.210]

Оценить величину теплоемкости для одномерного ангармонического осциллятора, потенциальная энергия которого равна V (д) = сд — дд — fg. Обсудить зависимость среднего значения координаты д осциллятора от температуры Т. Здесь с, ж f — положительные постоянные. Обычно -С кТ) и / < с кТ. [c.154]

В ангармоническом случае при повышении температуры среднее положение осциллятора сдвигается, как показано на фиг. 2.2. Имея это в виду, применим к задаче об ангармоническом осцилляторе упомянутый выше принцип минимума свободной энергии, который формулируется следующим образом [c.65]

Рис. 33.5. Потенциальные кривые, уровни энергии и схематические спектры гармонического (<з) и ангармонического (б) осцилляторов

Дело в том, что каждому уровню номера п отвечает своя собственная частота о = /Й, где г — соответствующая собственная энергия. Поэтому частица т, чтобы передать энергию среде, должна "сама поискать" вовне резонансы на частотах со = со со . Если такие резонансы найдены, то даже при очень слабом взаимодействии со средой, частица М может передать энергию среде. Однако процесс релаксации начинается не с этого. Если осциллятор ангармонический, то частоты 012, < 23, - - не совпадают между собой и поэтому во внешней среде они находят различные резонансы. Поэтому первое, что происходит — это сбой разности фаз между различными уровнями. Волновые функции разных уровней теряют взаимную когерентность, а это значит, что у частицы происходит коллапс волновой функции на один из уровней. Вероятность соответствующего коллапса равна квадрату амплитуды. В силу сохранения энергии аналогичный коллапс должен произойти и в той системе, которая приготовила частицу в состоянии суперпозиции нескольких уровней. Другими словами, коллапс функции данной частицы как бы переносится на систему, подготовившую частицу для последующего наблюдения. [c.186]

Тепловое расширение. Причины теплового расширения можно легко понять, рассматривая классический осциллятор с учетом ангармонических членов в выражении для потенциальной энергии, записанном через средние смещения пар атомов при те.мпературе Т. Обозначим через х смещение атома из сго положения равновесия при 0°К тогда потенциальную энергию можно представить в виде [c.233]

В обоих последних параграфах этой главы мы перейдем к предельному случаю длинноволновых колебаний решетки. Когда длина волны велика по сравнению с атомными расстояниями, то микроскопическая структура твердого тела не играет роли. Здесь осуществляется переход к классической континуальной теории. В приближении, которым мы будем пользоваться, потенциальная энергия ионов решетки разлагается по степеням мгновенного отклонения и используется только первый, неисчезающий (гармонический) член. Это —гармоническое приближение. В этом приближении оператор Г амильтона может быть разложен в сумму независимых частей, которые имеют форму операторов Гамильтона гармонических осцилляторов. Это разложение лежит в основе квантования и дает возможность описывать колебания решетки как газ невзаимодействующих фононов. Учет более высоких ангармонических членов в разложении означает учет взаимодействия между фононами и является предметом последней главы (гл. XI). Область, связанная с рассмотрением колебаний решетки в гармоническом приближении, излагается во многих работах. Большое число нижеприведенных литературных ссылок выходит за рамки приводимого в этой главе материала поправки на ангармонические члены, взаимодействие фононов с другими элементарными возбуждениями и с локальными нарушениями решетки. Специальную литературу к этим вопросам мы приведем в последующих главах. [c.130]

Замечание. В более грубом приближении рассматриваемую систему можно заменить гармоническим осциллятором с новой частотой, которая определяется характеристической температурой 00 = (ку /к) (1 — 2хе), соответствующей разности энергий между основным (ге = 0) и первым возбужденным (п = 1) уровнями. Для молекулы водорода в основном электронном состоянии 12 значение составляет 0,02685, однако существенную роль играет ангармонический член третьего порядка уа п 1/2) ку. [c.240]

В связи с обсуждением опытов Вавилова м ы обращали внимание на изменение числа поглощающих частиц под влиянием мощного падающего излучения. Однако это не единственный эффект, имеющий место при больших интенсивностях света. В 156 подчеркивалась тесная связь законов поглощения и дисперсии с представлением об атоме как о гармоническом осцилляторе, заряды которого возвращаются в положение равновесия квазиупругой силой. Если интенсивность света, а следовательно, и амплитуда колебаний зарядов достаточно велика, то возвращающая сила уже не будет иметь квазиупругий характер, и атом можно представить себе как ангармонический осциллятор. Из курса механики известно, что при раскачивании такого осциллятора синусоидальной внешней силой (частота ш) в его движении появляются составляющие, изменяющиеся с частотами, кратными со, — двойными, тройными и т. д. Пусть теперь собственная частота осциллятора соо. подсчитанная в гармоническом приближении, совпадает, например, с частотой 2ш. Энергия колебаний зарядов в этом случае особенно велика, она передается окружающей среде, т. е. возникает селективное поглощение света с частотой, равной со = /2 0o. Таким образом, спектр поглощения вещества, помимо линии с частотой о),,, должен содержать линии с частотами, равными /гСОо, а также /зй)(, и т. д. Коэффициент поглощения для этих линий, как легко понять, будет увеличиваться с ростом интенсивности света. [c.570]

Из выражения (33.18) следует, что уровни энергии уже не располагаются на одинаковых расстояниях друг от друга, как у гармонического осциллятора, а образуют систему неравноотстоящих уровней, которые постепенно сближаются по мере роста V и, наконец, сливаются при Екол Е. Существенно, что для ангармонического осциллятора изменяются и правила отбора Ап—1, 2,..., т. е. в этом случае возможны переходы между любыми уровнями (см. рис. 33.5, б). [c.240]

В приведенном выражении колебательная энергия молекулы G(v) соответствует модели так называемого ангармонического осциллятора, причем Шв — частота гармонических колебаний, ШеХе — постоянная энгармонизма. Вращательная энергия молекулы Fv(J) соответствует модели нежесткого ротатора и учитывает взаимодействие между колебательным и вращательным движениями молекулы, так что вращательные постоянные Bv, Dv. .. зависят от уровня колебательного возбуждения V B = Be—ae(v-i-42)+. .., D = De + Av + /2)+. ... здесь индекс е относится к равновесному межъядерному расстоянию двухатомной молекулы. [c.849]

Когда рассматривается вращательная энергия молекулы, то проще всего рассматривать модель жесткого ротатора, т. е. систему двух шариков, связанных жестким стержнем и вращающихся вокруг центра тяжести. Обе эти модели довольно грубы, и их энергетические состояния существенно отличаются от наблюдаемых. Поэтому используются другие модели, дающие более высокую степень приближения, например, модель ангармонического осциллятора. Согласно этой модели степень сжатия и растяжения пружинки не одинакова и характеризуется постоянной ангармоничности ШеХе, связанной СО стбиенью отклонения экспериментально наблюдаемой потенциальной кривой от параболического вида (см. рис. 1.9). Система энергетических состояний ангармонического осциллятора передается уравнением колебательной энергии [c.33]

Таким образом, выражение для энергии в нормальных координатах не содержит перекрестных квадратичных членов, но в пего входят перекрестные члены третьей п четвертой степени, и, следовательно, оно уже не янлнется суммой энергий независимых (хотя бы и ангармонических) осцилляторов. При отсутствии у молеку.ты симметрии все коэфициенты и отличны от ну,тя п симметричной молекуле некоторые из пих могут быть равны пулю. Последнее обусловлено тем, что потенциальная энергия не должна изменяться при любых операциях симметрии, соответствующих точечной группе молекулы. По этой причине антисимметричные нормальные координаты в (2,263) могут встречаться только в четных степенях. Так, например, в молекуле Н 0 коэфициенты а,] , а , а,., и ag.,, при кубических членах должны равняться пулю, так как в противном случае происходило бы изменение потенциальной энергии при отражении в плоскости симметрии. Аналогичные условия имеют место и для некоторых коэфициентов при членах в четвертой степени. Дальнейшее упрощение ангармонической части потенциальной функции можно получить только в том случае, если сделать некоторые предположения, соответствующие предположениям о системе валентных сил при гармонических колебаниях (см. Редлих [727]). [c.223]

Соотношение, приведенное в работах [88] для оценки температуры начала интенсивнойтермическойдеструкции Т 1, получено на основании рассмотрения валентно-связанных атомов как набора ангармонических осцилляторов, которые образуют повторяющееся звено полимера. Здесь подход тот же, что и при оценке температуры стеклования Tg и плавления Т , но учитывается энергия химических связей, а не энергия межмолекулярного взаимодействия, хотя последняя существенно влияет и на энергию диссоциации химических связей. Так, например, известно, что энергия распада С-С связей (углерод-углерод) изменяется в пределах от 30 до 90 ккал/моль [64] в зависимости от того, в какую группу входят атомы углерода, т.е. в зависимости от их валентного окружения то же самое относится и к другим парам валентно связанных атомов (С - О, С - 8, С - N и тд.). [c.216]

Эти эффекты связаны с неэквидистантностью колебательных уровней ангармонического осциллятора, благодаря чему энергия колебательных переходов, сопровождающих электронный переход, зависит от номеров как исходного, так и конечного колебательных уровней. Последовательное рассмотрение внутреннего ангармонизма локальных колебаний совместно с ангармонической связью их с кристаллическими колебаниями выполнено в [92]. [c.35]

Более общая форма закона равного распределения энергии, относится к гармоническому осциллятору в классическом пределе. Выше мы показали (см. (6.72)), что в высокотемпературном пределе т >> йю энергия одномерного гармонического осциллятора равна т. Этот результат поддается интерпретации с по мощью классической статистической механики (см. Приложение V). Из всей энергии х доля /гт является тепловым средним кинетической энергии, а другая доля /гт — тепловым средним потенциальной энергии. Такое значение теплового среднего потенциальной энергии справедливо только для гармонического-осциллятора. Действительное его значение зависит от вида функции, описывающей потенциальную энергию. Иная величина получается, например, для ангармонического осциллятора. Многоатомные молекулы обладают вращательными степенями свобо- [c.140]

ОРБИТА электронная — траектория движения электрона вокруг ядра в атоме или молекуле ОРБИТАЛЬ —волновая функция одного электрона, входящего в состав электронной оболочки атома или молекулы и находящегося в электрическом иоле, создаваемом одним или несколькими атомными ядрами, и в усредненном электрическом поле, создаваемом остальными электронами ОСЦИЛЛЯТОР как физическая система, совершающая колебания ангармонический дает колебания, отличающиеся от гармонических гармонический осуществляет гармонические колебания квантовый имеет дискретный спектр энергии классический является механической системой, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия) ОТРАЖЕНИЕ [волн происходит от поверхности раздела двух сред, и дальнейшее распространение их идет в той же среде, в которой она первоначально распросгра-нялась диффузное характеризуется наличием нерегулярно расположенных неровностей на поверхности раздела двух сред и возникновением огражен1 ых волн, идущих во всех возможных направлениях зеркальное происходит от поверхности раздела двух сред в том случае, когда эта поверхность имеет неровности, размеры которых малы по сравнению с длиной падающей волны, а направление отраженной волны определяется законом отражения наружное полное сопровождается частичным поглощением световой волны в отражающей среде вследствие проникновения волны в Э1у среду на глубину порядка длины волны полное внутреннее происходит от поверхности раздела двух прозрачных сред, при котором преломленная волна полностью отсутствует] [c.257]

Разложение величины / по степеням смещений u,j содержит гармонические, т. е. квадратичные, а также ангармонические—кубические и более высокие формы по этим векторам с соответствующими коэф. упругости. Простейшее приближение является квадратичным (см. Динамика кристаллической решётки). Оно диагонализуется в нормальных координатах, что приводит к определению 3v ветвей частот ш.(Л) и ортов, определяющих направления нормальных кол аний системы. Т. к. каждая величина к принимает N дискретных значений, то в гармонич. приближении имеем дело с 3vN независимыми гармонич. осцилляторами, описывающими в данном приближении колебания кристаллич. решётки. Энергия независимых ос-[щлляторов имеет вид [c.586]

Ангармоническая накачка обусловлена процессом столкновения типа СО(у = rt) + СО(у = т)- -СО(у = л + 1) + СО(у = m — 1), где п>т. Вследствие ангармонизма (явление, характерное для всех молекулярных осцилляторов) расстояние между колебательными уровнями уменьшается по мере продвижения вверх по колебательным уровням (см. также рис. 2.23). Это означает, что при столкновении указанного выше типа при п> т суммарная колебательная энергия двух молекул СО после столкновения меньше, чем до него. Поэтому процесс столкновения в указанном направлении происходит с большей вероятностью, чем в обратном. Отсюда следует, что наиболее горячие молекулы СО[СО(у = п)] могут подниматься вверх по колебательным уровням, что приводит к небольцмановскому распределению населенностей среди колебательных уровней. [c.378]

Следует подчеркнуть, что возмущение обусловлено теми же ангармоническими членами в выражении потенциальной функции, от которых зависят члены в сериальной формуле для уровней энергии. Эти последние члены связаны с суммарным эффектом от возмущения данного уровня большим числом других колебательных уровней, причем каждый из них дает, по формуле (2,292), добавочную энергию ] 1 /S. С другой стороны, резонансное возмущение обусловлено воздействием только одного особенно близко расположенного уровня. Далее, при вычислении членов xntViVf, всегда используют значения энергии и собственные функции, полученные в приближении гармонического осциллятора. В противоположность этому для вычисления возмущений по формулам (2,289) и (2,291) можно также использовать значения энергии уровней с учетом ангармоничности по (2,271) и (2,281) и соответствующие им собственные функции. [c.236]

При наличии локальных (или достаточно ярко выраженных псевдолокальных) колебаний изменение упругих постоянных при электронном переходе может обусловить также внутреннюю структуру чисто-электронной линии, если изменение частоты Дшх локального (псевдолокального) колебания больше ангармонической константы затухания его Гх(Д д Гх) [73, 89, 98]. Причины структуры этой линии качественно можно понять, если учесть, что благодаря конечному изменению частоты локального колебания при электронном переходе энергия бесфононного перехода зависит от исходного уровня локального осциллятора. При этом надо учитывать также конечность времени жизни локальных осцилляторов. [c.34]

Таким образом, задача нахождения а сводится к определению х к, J), что в свою очередь сводится к вычислению dN (к, J)/dt. Для нахождения dN к, J)/dt нужно вычислить вероятность перехода кристалла в единицу времени из некоторого начального состояния il3i> с энергией Ei в какое-то конечное состояние <г1з/1 с энергией Ef, в котором число звуковых фононов убывает или возрастает из-за взаимодействия с тепловыми фононами. Предположим, что главный вклад дают те переходы, в которых N (к) изменяется только на единицу (первый порядок теории возмущений переходы с изменением числа фононов на два будут относиться ко второму порядку теории возмущений и т. д.). Вычисление dN к, J)/dt производится по хорошо известным правилам квантовомеханической теории возмущений применительно к набору гармонических осцилляторов. При чисто гармонических колебаниях решетки, т.е. когда отсутствуют взаимодействия фононов, никаких релаксационных процессов, конечно, происходить не будет и поглощение звука будет отсутствовать. Однако из-за ангармонических эффектов появляется некоторая добавка fint к гамильтониану гармонического кристалла, которую можно при определенных условиях рассматривать как малое возмущение. Тогда, согласно основному соотношению теории возмущений [26], [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...