Колебательная энергия, формулы

Колебательная энергия, формулы 28, 143, [c.739]

По классической теории колебательная энергия молекулы может принимать любые значения. Квантовая теория приводит к другому выводу энергия гармонического осциллятора квантована и определяется следующей формулой [c.239]

Приведенные формулы позволяют составить выражение потери колебательной энергии внутри двигателя, представленного совокупностью линейных четырехполюсников. Потери колебательной энергии внутри двигателя выражаются линейной функцией относительно импедансов его отдельных двигателей и узлов. На эти величины из конструктивных соображений накладываются ограничения. [c.222]

Это основная формула теории квантов, согласно которой величина кванта пропорциональна частоте колебательной энергии, для обмена которой он служит, так сказать, монетной единицей. [c.92]

Согласно (1.3.8), величина щт/г, входящая в формулу (1.3.14), равна добротности Q. Обозначив полную колебательную энергию [c.16]

Учет ангармоничности колебаний приводит к следующей приближенной квантовомеханической формуле для полной колебательной энергии двух ядер [c.22]

Очевидно, что формула Эйнштейна явилась значительным шагом вперед в теории теплоемкостей. Она позволила объяснить общие закономерности в ходе теплоемкости твердых тел, в частности падение теплоемкости до нуля при 0°К. По теории Эйнштейна, нулевое значение теплоемкости при 0°К получается как следствие того, что все атомы (осцилляторы) в твердом теле находятся на самом низком энергетическом уровне и их колебательная энергия не вносит никакого вклада в теплоемкость. [c.263]

Так как расщепление мало по сравнению со сдвигом (разность штарковского сдвига и колебательной энергии согласно первой из формул (4.39) убывает как то на рис. 4.8 показана только указанная разность, характеризующая лишь расщепление. Видно, что оно сильно и неравномерно зависит от орбитального квантового числа. Аналогичная картина имеет место и для состояний с ненулевым значением магнитного квантового числа. [c.103]

Закон равнораспределения энергии. Квантовый гармонический осциллятор, формула для колебательной энергии в равновесии. Две независимые локально равновесные подсистемы поступательно-вращательная и колебательная. Колебательная температура уравнение для производства энтропии скорость колебательной релаксации. Полная система уравнений движения невязкого однородного двухатомного газа с колебательной релаксацией. [c.32]

Квантовый гармонический осциллятор, формула для колебательной энергии в равновесии [c.33]

В качестве конкретной модели релаксации всюду ниже используется модель совершенного двухатомного газа с неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы. В качестве релаксирующего параметра вместо средней колебательной энергии еу(Т у) используется колебательная температура согласно приближенной формуле [c.146]

Из структуры формул для продольных и крутильных волн ясно, что их фазовые скорости при наличии потока колебательной энергии уменьшатся в 1 + 0 = 1,45 раза. [c.30]

Следует упомянуть, что Сильвер и Шефер нашли, кроме того, небольшое дополнительное слагаемое в колебательной энергии, независящее от г + (с ,-/2). Однако было бы чрезвычайно трудно обнаружить его экспериментально. Пренебрегая этим слагаемым в формуле (2,281), мы относим колебательную энергию не к точному положению минимума потенциальной энергии, а к некоторому очень близкому к нему значению энергии. [c.231]

Формулу для серии инфракрасных (или комбинационных) полос, состоящих из основного колебания и обертонов, можно получить из общей формулы для колебательной энергии Gц(г , [см. (2,272) или (2,284)], полагая все [c.286]

Квантовая теория теплоёмкости. Квантовая теория теплоёмкости, накладывающая условия квантования колебательной энергии элементов кристаллической решётки, объясняет температурную зависимость теплоёмкости твёрдых тел и даёт ряд соотношений, хорошо совпадающих с опытом. Наиболее важными являются формула Дебая и формула Эйнштейна для теплоёмкости простого твёрдого тела при постоянном объёме [c.318]

Рассмотрим теперь не малые температуры кТ > hv, когда в газе присутствуют молекулы, находящиеся в самых различных колебательных состояниях. В этом общем случае следует писать систему уравнений кинетики для чисел молекул rii, обладающих I колебательными квантами (Z = О, 1, 2. . . ). Однако уравнение типа (6.9) для релаксации полной колебательной энергии все равно остается в силе, причем время релаксации определяется формулой, лишь несколько видоизмененной по сравнению с (6.8). [c.303]

В общем случае конечные параметры газа не выражаются простыми формулами, так как колебательная энергия в квантовой области сложныМ образом зависит от температуры (см. формулу (3.19)). Если рассматривать достаточно сильные ударные волны, в которых температура за фронтом больше энергии колебательных квантов, поделенной на постоянную Больцмана, > к /к, то колебательная энергия равна своему классическому значению кТ на молекулу и е = - —, где показатель адиа- [c.382]

Будем для простоты рассматривать только достаточно сильные ударные волны, в которых температура высока и равновесная колебательная энергия выражается классической формулой ёк Т) = АТ. При зтом [c.383]

При температурах за фронтом ударной волны в двухатомном газе порядка 3000—7000° К ионизации еще нет, колебания молекул возбуждаются сравнительно быстро и уширение фронта волны связано с наиболее медленным релаксационным процессом — диссоциацией молекул. Оценки показывают, что время колебательной релаксации при указанных температурах примерно на порядок меньше времени установления равновесной диссоциации. Поэтому приближенно можно считать колебательную энергию в каждой точке релаксационной зоны, так же как и вращательную, равновесной. Параметры газа эа скачком уплотнения соответствуют промежуточному значению показателя адиабаты у = 9/7 (колебания при столь высоких температурах вполне классичны ). Их можно вычислить по формулам (7.20), (7.21). [c.385]

Покажем, как можно вывести закон дисперсии и коэффициент поглощения звука в релаксирующей среде. При этом для простоты и наглядности все вычисления проделаем на конкретном примере газа с неравновесными колебаниями, для которого в 1 была сформулирована полная система уравнений газодинамики (8.1), (8.2), (8.4), (8.6), (8.7), (8.8). Запишем все переменные величины в звуковой волне давление, плотность и т. д. в виде / = /о + /, где /о — среднее значение, соответствующее невозмущенному газу, а / — переменная часть, которую будем считать малой величиной (скорость и = щ и = м, так как невозмущенный газ покоится Ио = 0)- Фактическую энергию колебаний также можно представить в форме 8к = еко + к. где 8ко — колебательная энергия в невозмущенном газе, которая, естественно, равновесна. Переменную часть равновесной колебательной энергии запишем в виде ей Т) = с Г, где Ск — колебательная теплоемкость, соответствующая средней температуре То (если при температуре Го колебания классические, Сц = А, в противном случае выражается квантовой формулой (см. 2 гл. III)). [c.433]

В ЭТИХ уравнениях приняты следующие обозначения б — колебательная энергия /-го компонента в единице массы смеси 61° — равновесное значение колебательной энергии при температуре газа, которая согласно формуле Эйнштейна равна [c.47]

Теплоемкость газа с учетом колебательной энергии атомов можно определить по следующей формуле, полученной в кванто- [c.33]

Изменение параметров технического состояния машин в ряде случаев сопровождается увеличением уровня колебательной энергии (Ниже, когда иет необходимости различать механизм, машину и агрегат, для простоты их будем называть машиной). Для машин, уровень шума которых имеет существенное значение, превышение определенного уровня вибрации или излучаемой акустической энергии можно считать отказом по виброакустическим показателям В этом случае первой задачей вибро-акустической диагностики машин является локализация источников повышенной виброактивности. Она позволяет определить относительную роль каждого источника в создании общей вибрации. На ее основе строят математическую модель механизма и устанавливают особенности кинематики рабочего узла или протекающего в нем процесса, приводящ,ие к возникновению повышенной вибрации Источник вибрации может быть протяженным (например, многоопорныи ротор) Тогда возникает необходимость дополнительного исследования пространственного распределения динамических сил и кинематических возбуждений, возникающих в данном узле. Наиболее распространенными способами выявления и локализации источииков является сравнение вибрационных образов (во временной и частотной областях) машины в целом и отдельных ее узлов Когда виброакустические образы нескольких источников подобны, полезно анализировать потоки колебательной энергии через различные сечения механизмов, динамические силы, действующие в различных сочленениях, а также статистические характеристики процессов (функции корреляции, взаимные спектры, модуляционные характеристики и т д,). В связи с тем. что силовые и кинематические возбуждения в узлах н вибрация машины в целом зависят не только от интеисивности рабочих процессов, но и от динамических характеристик конструкций, для выявления причин повышенной вибрации следует измерять механический импеданс и подвижность различных узлов — статорных и опорных узлов механизмов, машин, агрегатов, а также фундаментных конструкций Способы выявления источников повышенной виброактивности механизмов. Наиболее распространенный способ выявления — сопоставление частот дискретных составляющих измеренного спектра вибрации с расчетными частотами возбуждений, действующих в рабочих узлах механизмов В табл. 1 пре ставлены сводные формулы частот дискретных составляющих вибрации и возбуждающих сил некото рых механизмов. Спектры вибрации измеряют на нескольких скоростных режимах работы механизма, что позволяет более надежно сопоставить расчетные частоты с реальным частотным спектром вибрации Кривые зависимости уровней конкретных дискретных составляющих вибрации от режима работы механизма дают возможность выявить резонансные зоны. [c.413]

Рассчитанные таким путем значения AS(n) [264] хорошо согласовались с избыточными энтропиями, вычисленными методом NM для лриблизительно сферических кластеров аргона, вырезанных из массивного кристалла последовательными координационными сферами (с 1-й по 6-ю) [2691. Отнесенные на один атом избыточные значения свободной энергии Af(n), энтропии AS(n) и колебательной энергии А1Е(п) — U(n)] для кластеров аргона разной формы, содержащих до 1000 атомов, представлены графически в работе [265]. Последующая работа Абрагама и Дэйва [266] была наг ,елена на достижение наилучшего согласия с данными Нишиоки и др. [261] для свободной энергии кластера F(n). Пспольэовалась эйнштейновская модель с локальными анизотропными частотами колебаний АТОМОВ. В соответствии с (197) поверхностная свободная энергия Fg (п) задавалась разностью (п) — nfn, где /в — эйнштейновская вибрационная свободная энергия атома в массивном теле. Свободная энергия кластера с учетом предполагаемого вида зависимости Fg (п) ют его радиуса R вычислялась согласно (202) по формуле [266, 267] [c.82]

Качественные положения предиссоционной теории, объясняющей сдвиг, расширение и структуру полосы Vs, проиллюстрируем на конкретном примере линейных колебаний комплекса О—Н---0. В первом приближении будем считать, что колебания обеих связей независимы. Тогда колебательную энергию системы можно представить в виде суммы энергий химической связи О—Н Е и водородной связи 0---0 е. Значения Е и е можно рассчитать по формуле (1.28), использовав значения Vso и а, которые определяются по инфракрасным спектрам молекул и комплексов. Для гидроксила энергии первых трех [c.159]

Смещение максимума полосы в длинноволновую область легко понять, рассмотрев наиболее- вероятные переходы системы О—Н---0. При поглощении кванта h s связью О—Н расстояние между атомами О и Н увеличивается преимущественно за счет смещения легкого атома водорода. Длина связи между тяжелыми атомами кислорода системы О—Н---0 при этом сохраняется. Поэтому среднее расстояние между атомами Н и О связи Н---0 сокращается и наиболее вероятный переход на предиссоциированный уровень сопровождается уменьшением энергии е. В соответствии с формулой (6.2) при АеСО /1Тзфункция потенциальной энергии ВС имеет неглубокий минимум и большую ангармоничность, то при одинаковых смещениях длин обеих связей изменение колебательной энергии Ае значительно меньше разности энергий АЕ возбужденного и основного уровней связи О—Н. Для колебательных полос значение Vs в несколько раз превосходит величину смещения [c.161]

Колебательная релаксация в многоатомных газах и смесях газов рассмотрена в ряде работ [2, 6, 7] при условии, что возбуждаются только две колебательные степени свободы. Таким многоатомным газом, в частности, является углекислый газ СО2. При температурах Г<5000°К симметричная валентная степень свободы (частота колебаний з=7134Х ХЮ сек ) не возбуждена несимметричная валентная (vi = = 3855-10 ° сек ) и деформационная (v2 = 2000-10 ° се/с ) колебательные степени свободы случайно вырождены (vi 2v2). В связи с этим вырождением в СО2 наблюдаются два процесса простой обмен энергией между колебаниями V2 и поступательными степенями свободы и резонансный обмен энергией между колебаниями 2 и vj. Соответственно этому выведены [7] два уравнения релаксации колебательных энергий i и 2 и формулы для продолжительности релаксации тг (возбуждение 2-колебаний) и ti,2 (обмен энергией между V2- и vi-колебаниями), выражающие сложную зависимость продолжительности релаксации от поступательной температуры Т и колебательной температуры Т . [c.372]

Согласно современным представлениям основную роль в процессе диссоциации играет колебательная энергия молекул. Е. В. Ступоченко и А. И. Осипов (1958) показали, что вероятность диссоциации невозбужденной молекулы очень мала, даже если поступательная энергия сталкивающихся частиц достаточна для диссоциации. В действительности диссоциируют главным образом молекулы, пребывающие на очень высоких колебательных уровнях, близких к границе диссоциации. Поступательная энергия частиц при этом может и не очень сильно отличаться от средней тепловой. Если предполагать, что распределение молекул по колебательным уровням больцмановское, для скорости диссоциации получается та же формула (2.7) с соответствующим значением 5. [c.228]

В отличие от формул (1,91) и (1,94) эти формулы дают полную электронно-колебательпо-вращательную энергию, включая расщепление Дv между двумя состояниями С (VI, У2 — это по существу просто колебательная энергия с двумя очень малыми поправками (Хоуген [568]). В каждом из двух уравнений (1,97) верхний знак дает набор уровней —, -Ь, —,. .., а нижний — набор +, —, 4-,. .., причем каждому набору соответствуют / = /г. /г,. ... [c.82]

Структура системы полос у молекулы, обладающей одним или несколькими элементами симметрии, подобна структуре системы у несимметричной молекулы. Различие заключается в том, что в случае симметричных молекул имеются специфические правила отбора, которые строго запрещают появление в спектре некоторых полос и устанавливают ограничения для возможных направлений момента перехода в разрешенных полосах, что приводит к упрощению их вращательной структуры. Кроме того, для молекуле вырожденными колебаниями должны быть соответствующим образом изменены формулы для колебательной энергии. Наконец, как уже упоминалось, для симметричных молекул некоторые электронные переходы запрещены, однако они могут происходить с небольшой интенсивностью за счет электронноколебательных взаимодействий. Колебательная структура таких запрещенных переходов отличается от структуры разрешенных переходов и будет рассмотрена отдельно. [c.150]

Более тщательное исследование низко расположенных колебательных уровней в возбужденных электронных состояниях КНг (Диксон [286а]) и СНг (Герцберг и Джонс [530]) показало, что их положение пе описывается вполне точно простой формулой для колебательной энергии [c.217]

Наиболее строгим и последовательным образом все термодинамические функции можно найти с помощью так называемого метода статистических сумм. Изложим кратко основы этого метода ) с тем, чтобы получить выражение для эртропии, квантовую формулу для колебательной энергии молекулы, а также чтобы применить его в последующих параграфах к газу с переменным числом частиц. [c.155]

Энергии колебательных квантов важнейших двухатомных молекул, деленные на постоянную Больцмана, имеют порядок тысячи или нескольких тысяч градусов, например, у кислорода hvik = 2230° К, у азота — 3340° К. По формуле (3.19) для колебательной энергии газа колебательные степени свободы дают заметный вклад в теплоемкость газа, начиная с температур, при которых кТ в несколько раз меньше hv. Так, при hvlkT = 4 энергия на одно колебание составляет 7,25% от своего классического значения кТ, при hvlkT = 3 — 15% для воздуха это температуры около 1000° К. Таким образом, в отличие от вращений молекул вопрос о колебательной релаксации практически возникает тогда, когда колебания имеют существенно квантовый характер. Наоборот, в далекой классической области кТ > hv, скажем, при температурах порядка 10 000—20 000° К, вопрос в значительной степени теряет свою актуальность, так как при этом молекулы в основном диссоциированы на атомы. В далекой классической области при кТ > hv для возбуждения колебаний, как и вращений молекул, не требуется много-столкновений. Однако при тех температурах порядка тысячи или нескольких тысяч градусов, когда вопрос о колебательной релаксации представляет практический интерес, времена релаксации весьма велики для возбуждения колебаний, как показывают теория и опыт, нужны тысячи и сотни тысяч столкновений. [c.302]

Надо сказать, что область применимости указанной простой формулы для ударной адиабаты двухатомного газа весьма ограничена. Если Г1 < Ьу/к, то колебательная энергия не равна кТ при температурах же, заметно превышающих fev/ , становится существенной диссоциация молекул. Рассмотрим для примера ударную волну в кислороде с числом М = 7. Пусть начальная температура равна Т = 300° К. Если начальное-давление — атмосферное, скорость звука равна Со = 350 м сек, а скорость ударной волны В = 2,45 км сек. Параметры газа за скачком уплотнения равны р7со = 5,45, р7ро = 57, Г /Го = 10,5, Г = 3150° К. [c.382]

Эта формула связывает неравновесную энергию колебаний с температурой в точке X. Непосредственно за скачком уплотнения колебания еш е не возбуждены (в начальном состоянии при Т = Tq х. 300° К колебательная знергия очень мала), так что в точке а = О за скачком уплотнения бк = 0. Затем начинается постепенное возбуждение колебаний, бк растет, а температура падает от Т до конечной величины Ti, при которой колебательная энергия достигает равновесного значения, соответ-ствуюш его этой температуре. Чтобы найти распределение температуры по X, воспольэуемся уравнением кинетики возбуждения колебаний (6.9) [c.383]

Формулы (7.22), (7.23) могут служить для экспериментального определения времени колебательной релаксации. Для этой цели обычно интер-ферометрическим методом измеряют распределение плотности за скачком уплотнения и ширину фронта ударной волны (см. гл. IV). Для извлечения из опыта более точных данных изложенную простую теорию можно уточнить, учитывая квантовую зависимость колебательной энергии от температуры, переменность скорости и = и (х) ж т. д. Качественной картины распределений и порядка ширины фронта все эти уточнения, конечно, не изменяют. [c.384]

В этой формуле введены эффективные постоянные а , р , которые приближенно можно отождествить с колебательной энергией, вращательной и центробежнььми постоянными, например, ау Еу — колебательная энергия, 1кс Ву — эффективная вращательная энергия, у1кс Оу — постоянная центробежного искажения, и —коэффициенты Клебша—Гордана, примененные к кубической симметрии. Символом р обозначена совокупность квантовых индексов, нумерующих типы симметрии и компоненты тонкой структуры уровней с данным / — р. [c.40]

Рис. 19. Экспериментальная кривая относительных потерь энергии на длине волны для звуковых волн в СО а в зависимости от отношения частоты к давлению в МГц/бар. Эти результаты хорошо описываются формуло (204) с ( ) постоянными вкладами в 6 (приводящими к быстрому подъему кривой при отношениях частоты к давлению свыше 1 МГц/бар), обусловленными вязкостью, теплопроводностью и запаздыванием в установлении равновесия вращательной энергии, и ( 1) зависящим от частоты вкладом (230) (дающим резонансный пик), обусловленным запаздыванием в установлении равновесия колебательной энергии.

Здесь 6, — колебательная энергия 1-го компонента в единице массы смеси, е — равновесное значение колебательной энергии прп температуре газа. Согласно формуле Энштейна [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...