Смещение точек конечного упругого тела

Рассмотрим полуплоскость л . > О, содержащую конечное число цилиндрических полостей радиуса R,i k= I, 2,..., М) о осями параллельными оси Охз. Сечение тела плоскостью Хд = О показано на рис. 9. 1. С каждой полостью свяжем локальные координаты (г ), 0 ). Полагаем, что волны сдвига в теле возбуждаются гармонической нагрузкой, приложенной к поверхностям цилиндрических полостей. Для общности будем считать, что эта нагрузка зависит от смещения точек границы линейным образом, т. е. имеет место упругая заделка [12]. [c.204]

В ряде работ [186, 187] для решения контактной задачи МКЭ предлагается использовать релаксационную процедуру. В этом случае континуальное тело предполагается состоящим из системы материальных точек, соединенных между собой упругими связями. Деформация в таком теле распространяется от ее источников равномерно во все стороны путем смещения материальных точек, что приводит к последовательному деформированию связей. При переходе к конечно-элементной дискретизации узлы конечных элементов отождествляются с материальными точками, конечные элементы — с соединяющими их связями. На каждом шаге итерационной процедуры считается свободным от закрепления лишь один узел конструкции, для которого по определенным зависимостям вычисляются компоненты перемещений. При условии, что функционал энергии в локальной области, прилегающей к данному узлу, принимает стационарное значение, это эквивалентно решению задачи МКЭ для области с одним свободным узлом. Такая задача решается многократно для всех материальных точек конструкции с учетом ограничений, накладываемых на контактные узлы. Релаксационная процедура избавляет от необходимости оперировать [c.12]

Если упругое тело имеет конечные размеры, то решение задачи все время внутри тела удовлетворяет уравнению (41), а на граничных поверхностях тела подчиняется некоторым наложенным на него условиям. В классе задач, который мы сейчас рассматриваем, эти границы являются концентрическими сферическими поверхностями. Заданные граничные условия должны быть совместными с предположением о том, что смещения являются чисто радиальными. Наиболее важные граничные условия следующие [c.456]

Известно, что любая форма смещения точек оси стержня представима рядом вида (2) по собственным формам колебаний в приближенном решении число собственных форм (слагаемых ряда) может быть взято конечным и часто весьма небольшим. Более того, в выражении (3) допустимо использование вместо собственных форм колебаний других функций от х, разумно описывающих характер упругой линии оси стержня. Подобного рода предположения — конечность я, допускаемый произвол выбора функциональной зависимости вектора перемещения от координат точек упругого тела — практически оправдываются расчетами колебаний стержней и плит на неподвижных опорах. Нет оснований считать их неприемлемыми при составлении общих уравнений движения упругого тела. Первое из упомянутых предположений, сводящее задачу к рассмотрению системы с конечным числом степеней свободы, исключает из рассмотрения вообще весьма трудно учитываемые колебания высоких частот. Второе не должно значительно повлиять на результат, поскольку, как увидим ниже, выбором функций, которыми задается вектор и, определяются численные значения некоторых интегральных характеристик они мало изменяются от этого выбора, если, конечно, он сделан достаточно разумно. [c.476]

Вариант разрывных смещений (гл. 5), как подчеркивают авторы книги в 5.4, в зависимости от класса задач имеет разную трактовку. Он примыкает к непрямому варианту в том отношении, что определяемые в нем разрывы смещений сами по себе в плоских задачах, отличных от задач о трещинах, не реализуются и представляют собой некоторые фиктивные разрывы. Их можно трактовать как взаимные смещения границ двух изолированных друг от друга тел данного тела и тела с теми же упругими свойствами, дополняющего его до бесконечной области без вырезов, причем считается, что в соответствующих точках границ приложены равные по величине и противоположные по направлению усилия. Конечно, при этом необходимо принять меры, чтобы исключить жесткое взаимное смещение упомянутых тел, т. е. их поступательное движение и поворот, что достигается закреплением некоторых точек (см. 5.7). Реальные смещения границы данного тела находятся по найденным при решении ГИУ разрывам с помощью специальных вычислений. [c.273]

Жесткие штампы представляют собой тела враш,ения с обш,ей осью г цилиндрической системы координат. Уравнение штампа F (г, г) О определяет его конфигурацию. Если точка не удовлетворяет неравенству, то она проникла внутрь штампа. Уравнение штампа можно менять путем преобразования координат жестким смещением его в направлении г иг, а также поворотом в плоскости г, г. Штамп перемещают с помощью управляющих функций. Если точка проникла внутрь штампа, ее выводят по нормали на его поверхность, закрепляя с помощью фиктивного упругого слоя по нормали к поверхности и оставляя свободной в касательной плоскости. Если точка находится на поверхности штампа, следует оценить условия отрыва ее от штампа и в случае необходимости освободить. Итерационный процесс заканчивается, если зона контакта установлена с точностью до конечного элемента. Уравнение штампа может изменяться от шага к шагу. Условия взаимодействия могут меняться из-за деформаций текучести, а также вследствие изменения внешних воздействий и температурного поля. Для каждого нового шага состояние зоны контакта заимствуется из предыдущего шага. [c.102]

В монографии развит метод сингулярных интегральных уравнений двухмерных задач теории упругости для тел с трещинами применительно к областям усложненной геометрии. Разработаны алгоритмы численного решения интегральных уравнений в случае гладких и кусочно-гладких контуров интегрирования и изучено распределение напряжений и смещений вблизи угловых точек границы области Решены задачи об упругом и упругопластическом равновесии однородных и кусочно-однородных конечных кольцевых областей с трещинами при локализации зон пластичности вдоль прямолинейных отрезков. Разработаны опытные образцы для экспериментального исследования трещиностойкости материалов. [c.2]

Несомненно, что без каких-либо ограничений никакое утверждение о единственности не может быть справедливо. Рассмотрим, например, упругий материал, заключенный между двумя концентрическими цилиндрами. Оставляя внутреннюю цилиндрическую границу неподвижной, повернем внешнюю границу против часовой стрелки на 180°, так что каждая точка на этой границе перейдет в диаметрально противоположную. Можно ожидать, что при этом материал, заключенный внутри, подвергнется некоторой гладкой деформации. Если бы вместо этого тот же самый поворот границы был сделан по часовой стрелке, то точки внешней границы испытали бы то же самое смещение, однако внутренние точки, будучи вытягиваемы по часовой стрелке, а не против, испытали бы, конечно, отличное от предыдущего смещение. Более общим образом, если мы рассмотрим граничные значения Хх( )> соответствующие телу-точке X, расположенному на внешнем цилиндре, которые получаются в результате поворота на угол 0, то увидим, что поворотам на углы [c.267]

Сила обобщенная ИЗ Силы пзобрал ошш 54, 56 Смещение точек конечного упругого тела 51 [c.365]

Рассмотрим твердое деформируемое тело, находящееся в статическом равновесии под действием совокупности поверхностных нагрузок S и объемных сил F. Предположим, что при приложении добавочных сил AS и AF равновесие тела сохранится, а напряжения, деформации и перемещения в теле получат приращения А<т, Ае, Аи соответственно. В случгье, когда добавочные нагрузки вызывают необратимые деформации, при снятии дополнительных сил точки тела не возвращаются в исходное деформированное состояние. Обозначим соответствующие отклонения перемещений, которые состоят из упругих и пластических компонент, через Аи. Если для любых систем дополнительных сил конечной или бесконечно малой величины внешний источник совершает положительную работу на производимых им смещениях, то состояние равновесия тела является полностью устойчивым в большом или, соответственно, в малом. Существует энергетический барьер, препятствующий передвижению системы в любую соседнюю конфигурацию. [c.204]

Упругое твердое тело. Проблемы, которые рассматривались в предыдущих главах, могли быть решены с помощью аппарата механики идеально твердого тела. В действительности, конечно, такое тело не существует. Пока речь шла о перемещениях тела, достаточно больших по сравнению с упругими взаимными смещениями его частиц, эта идеализированная модель обеспечивалаапол-не приемлемую точность. Есть, однако, две большие группы задач, находящихся за пределами возможностей механики идеально твердого тела. Это, во-первых, внутренняя механика упругого тела, т. е. исследование упругих смещений его точек, его деформации, и напряженного состояния, и, во-вторых, это прочность тела, условия его неповреждаемости. [c.93]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

В предельном случае плоской пластинки виды колебаний распадаются на два главных класса один из них соответствует деформациям без удлинений со смещениями, нормальными к плоскости пластинки, второй — деформациям, сопровождаемым удлинениями, когда смещения параллельны плоскости пластиики [см. 314, d), е) и 333]. Случай неограниченной пластинки конечной толщины рассматривал Релей ), исходя из общих уравнений колебания упругого тела и прилагая метод, родственный описанному в 214, Здесь могут быть продольные колебания, когда смещения параллельны плоскости пластиики колебания этого класса распадаются на два подкласса к первому относятся такие, в которых средняя плоскость не испытывает деформации, ко второму относятся колебания, в которых смещения аналогичны касательным смещениям в замкнутой тонкой сферической оболочке. Возможны также колебания второго класса, при которых смещение имеет как нормальный к плоскости пластинки компонент, так и компонент, лежащий в этой плоскости если пластинка тонка, то первый компонент будет мал по сравнению со вторым. Нормальный компонент смещения исчезает на средней плоскости, а нормальный компонент вращения исчезает всюду, так что эти колебания аналогичны колебаниям второго класса в замкнутой тонкой сферической оболочке. Имеется далее ёще класс колебаний изгиба, когда смещение имеет и норушльный и касательный компоненты, причем последний мал по сравнению с нормальным в случае, если пластинка тонка. Касательный компонент исчезает на средней плос сости, так что деформацию приближенно можно считать не имеющей удлинения. При этих колебаниях линейные элементы, которыг вначале были нормальны к средней плоскости, в течение всего движения остаются прямолинейными и нормальными к той же плоскости. Частота колебания приблизительно пропорциональна толщине пластинки. Подобные колебания без удлинений в замкнутой тонкой сферической оболочке невозможны. [c.577]

Корректная краевая задача теории упругости. Исходную краевую задачу теории упругости будем называть корректной, если 1) существует единственное решение этой задачи (решение предполагается непрерывным в смещениях всюду в конечной области при отсутствии сосредоточенных воздействий), 2) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям граничных условий и формы тела в следующем смысле если форма тела и граничные условия претерпели изменения на некотором малом участке, такие, что разность главных векторов и главных моментов возмущенной и невозмущенной внешних нагрузок равна нулю, то при стремлении всех размеров этого участка к нулю отношение характерных Бозмущенных напряжений к соответствующим невозмущенным будет всюду как угодно близко к единице. Под характерными понимаются компоненты тензора напряжений, не равные тождественно нулю в возмущенном или невозмущенном состоянии. л [c.55]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...