Симметрии соотношения (для функций системы)

На оси симметрии уравнения для V и ф в системе (2.8) удовлетворяются тождественно, поэтому для повышения точности системы вводится уравнение для = ду/дв)е=о> Для замыкания системы (2.8) нужно знать функцию д ф). Эта функция вычисляется при заданной форме разрывов (2.7) с использованием геометрического соотношения [c.82]

Если на полученное соотношение смотреть как на на условие для нахождения группы симметрий, то оно представляет собой уравнение в частных производных относительно двух неизвестных функций (х, у) и т] х, у). Это уравнение распадается, как правило, на переопределенную систему, поскольку искомые функции не зависят от производных и необходимо приравнять нулю коэффициенты при всех степенях и произведениях всех у/ х. Решений такой системы может не существовать, что означает, что симметрий рассматриваемого типа у изучаемого дифференциального уравнения нет. Во-вторых, это дифференциальное уравнение может быть переписано в нормальной форме Коши [c.247]

Соотношения (7.71), (7.72) позволяют замкнуть систему уравнений в частных производных (7.70), которая описывает течение в ламинарном пограничном слое на холод ном треугольном крыле с толщиной на режиме сильного вязкого взаимодействия. Заметим, что при подстановке выражения для давления (7.72) в систему уравнений (7.70) в последней из-за наличия члена dp/dz появляется вторая производная d A /dz , что позволяет учитывать краевое условие, расположенное вниз по потоку, например, условие непротекания в плоскости симметрии крыла. Система уравнений (7.70)-(7.72) на передних кромках треугольного крыла z = +1) вырождается в системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их решения позволяют найти все функции течения в пограничном слое на кромках. [c.342]

Это общее выражение для произвольного распределения потенциала в декартовой системе координат. Оно по-прежнему зависит от От и Wm, являющихся функциями координаты г. Выведенное соотношение весьма громоздко, но его можно упростить при наличии какой-либо симметрии. [c.69]

Полученное только на основании соображений симметрии уравнение (1.22-9) показывает, что эффекты второго порядка (например, получение второй гармоники и суммарных и разностных частот) не могут возникать в системах с центром инверсии. Однако, поскольку описание именно этих эффектов является особенно важным, мы не будем рассматривать модели, построенные по типу атома водорода или щелочного металла (обладающего инверсионной симметрией). Вместо таких моделей мы воспользуемся моделью, в которой центр тяжести оптического электрона расположен вне центра сферически симметричной системы (скажем, на оси х). Такое эксцентрическое положение равновесия определяется молекулярными или кристаллическими силами. Далее мы примем, что рассматриваемый оптический электрон в молекулярной или кристаллической системе принадлежит к электронам, образующим связь. Зависимость потенциальной энергии от смещения центра тяжести размазанного облака заряда оптического электрона определяется электростатическими и квантовомеханическими силами, обусловленными всеми взаимодействующими с ним носителями заряда, а также симметрией молекулы или кристаллической решетки предсказание детального хода потенциала для общего случая сделать невозможно, так как при тех или иных конкретных условиях могут иметь место самые разнообразные потенциальные функции. Однако возможно указать общее свойство интересующих нас типичных потенциальных функций по порядку величины квадратичные силы приближаются к линейным силам, если смещение центра тяжести достигает значения межатомного расстояния (Р 10- о м). Для силовых постоянных имеет место соотношение [c.111]

Использование базиса для представления оператора, в особенности гамильтониана, хорошо известно в квантовой механике. В качестве иллюстрации уместно построить представление гамильтониана в том же самом базисе Это позволит также пояснить происхождение вырождения, связанного с симметрией. При действии гамильтониана на некоторую функцию // получается новая функция, которую можно опять разложить по функциям нашей полной системы. Матрицу гамильтониана, таким образом, можно определить с помощью соотношения [c.37]

Сверхзвуковые волны 216 Света смешение 60 Свойства распространения, зависимость от напряженности поля 119, 185 Сегнетоэлектрнки 26 Симметрии соотношения (для функций системы) 46 Спектр частот дискретный 59, 95 Спектрограф нелинейный 178 Среды без потерь 74 Стационарность 95 Стоксова линия 135, 144, 201 Суммарная частота 28, 60, 177 [c.240]

В настоящем параграфе мы разберем вопрос об отношении изложенной в 2 формальной схемы к действительным опытам, изучаемым физической статистикой. Изложенная в 2 теория основана на представлении о ячейках, соответствун)-щих максимально полным опытам. Действительно, в том случае, если состояние системы охарактеризовано максимально полно, вероятности перехода, как мы предполагали, целиком определены (на основании принципов одной только квантовой механики). Кроме того, мы предполагали, что вероятности перехода удовлетворяют соотношению симметрии — pj. . Для того чтобы придать теории физический смысл, мы должны определить, при каких условиях опыта справедливы упомянутые предположен11Я, и, в частности, определить, какие максимально полно определенные состояния могут играть роль ячеек рассматриваемой теории. Изложенная в предыдущем параграфе формальная схема лишь тогда будет соответствовать результатам статистической механики, когда полученную в этой схеме равновероятность ячеек можно будет сопоставить с законом равномерного распределения вероятности на поверхности заданной энергии. В формулах статистики подразумевается, как известно, равномерное распределение на поверхности полной энергии системы. Если бы мы допустили закон равномерного распределения на некоторой другой поверхности фазового пространства, то мы пришли бы в противоречие с основными формулами статистики в такой же мере, в какой эта поверхность отличалась бы от поверхности полной энергии. Между тем, если бы мы, в соответствии с этим, допустили, что совокупность ячеек соответствует поверхности (слою) заданной полной энергия, а каждая отдельная ячейка соответствует состоянию с определенной полной энергией, то мы пришли бы к противоречию с условием p j. O при г А, так как вероятность перехода между стационарными состояниями равна, очевидно, нулю. Единственная возможность устранить это противоречие — возможность, находящаяся в согласии с основными чертами теории 2, заключается в следующем рассматривать равновероятность не стационарных состояний — собственных функций полной энергии, а почти стационарных [c.143]

Можно показать ), что условие того, что упругая энергия является однозначной функцией деформации, состоит в равенстве коэффициентов и При этом число независимых коэффициентов уменьшается от 36 до 21. В совершенно аэлотропном материале, в котором нет пространственной симметрии (например, для кристаллов триклинной системы) упругие свойства среды определяются значениями 21 различной величины. Если материал имеет оси или плоскости симметрии, находятся новые соотношения между этими коэффициентами (Ляв, стр. 172) и число независимых упругих постоянных существенно уменьшается. Например, для кубического кристалла остаются только три независимые постоянные. [c.17]

Таким образом, даже после обращения к принципу материальной независимости от системы отсчета и в частном случае материала с максимально возможной степенью симметрии из термомеханики не следует в. общем случае такое расщепление эффектов температурных градиентов и деформаций, которое предполагалось автора.мй работ классического направления. Однако из дальнейшего допущения о том, что реакции h м I аф-финны по D и grad 0, такое расщепление, действительно, уже следует. В силу (21) 1,2 функция может быть аффинной, только если она линейна, а i может быть аффинной, только если flo линейна. Из (25) сразу видно, что если линейна, то единственно возможное определяющее соотношение для h — это закон Фурье, а именно (XIV. 7-16). Таким же образом, на основе не выписываемого здесь аналога соотношения (25) для диссипативных напряжений легко показать, что единственный случай, когда функция Ad линейна, — это случай, когда выполняется классическое определяющее соотнощение теории Стокса — Дюгема (XIV. 7-2). [c.457]

Выявление возможных опасных режимов работы турбомашины удобно производить с помощью построения резонансных диаграмм. На рис. 8.3 показана резонансная диаграмма для колебаний консольных рабочих лопаток компрессора, установленных на абсолютно жестком вращающемся диске (сплошные линии соответствуют собственным частотам лопаток, жестко закрепленных в диске штриховые — шарнирному креплению). Резонансные режимы, соответствующие пересеечниям функций p—p(Q), описывающих изменение собственных частот в зависимости от частоты вращения, с лучами (Оти==/ в 2, определяющими изменение частот возбуждения, отмечены кружками. Здесь каждая из собственных частот должна трактоваться как имеющая кратность, равную S, где S — порядок симметрии системы, совпадающей с числом одинаковых лопаток, установленных на диске. Поскольку в силу абсолютной жесткости диска каждая лопатка способна колебаться с данной собственной частотой независимо от других S степеней свободы), то точка пересечения линии собственной частоты с лучом любой гармоники соответствует 5 резонансам S лопаток. Соотношение фаз колебаний во времени различных лопаток определяется возбуждением. Относительный сдвиг фаз вынужденных колебаний двух соседних лопаток А-у= (2я/5)тв. [c.145]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Ландау и Лифшиц [33, 34] приводят другое доказательства симметрии трансляционного тензора, однако, как можно заметить, существование этого тензора ими не доказывается. Вернее, они предполагают заранее, что сила, действующая на произвольное тело, может быть выражена в виде линейной векторной функции ее скорости. Доказательство симметрии этого тензора проводится на основе сложной цепи рассуждений, базируюш,ихся на соотношениях взаимности Онзагера и термодинамике необратимых процессов. Это остроумное доказательство замечательно в том смысле, что сама жидкость явно в анализе никогда не фигурирует, если не считать того, что ее мгновенное термодинамическое состояние предполагается полностью заданным, когда известны мгновенные положения и скорость частицы. В частности, обычные уравнения динамики жидкости вообпде не привлекаются ). Для проанализированных ими неустановившихся движений допупде-ние о том, что мгновенное термодинамическое состояние системы жидкость — частица единственным образом определяется мгновенным положением и скоростью частицы, равноценно одновременному пренебрежению в уравнениях движения жидкости как конвективными членами, так и членами, связанными с локальным ускорением, и допупдению о несжимаемости жидкости. Поэтому к этим результатам можно относиться как к опосредованному подтверждению соотношений Онзагера ). [c.191]

Трусделл, 1962) было высказано предположение, что во втором приближении матрица несимметрична (другими словами, по мнению Трусделла соотношения Стефана-Максвелла (2.3.29) не носят универсального термодинамического характера, а являются математическим феноменом, присущим лишь первому приближению теории Чепмена-Энскога). Позднее, в работе Макенфус, 1973) предпринималась попытка получить соотношения (2.3.28) из кинетической теории газов в любом приближении, но был сделан неверный вывод о том, что поправочные множители к бинарным коэффициентам диффузии (учитывающие высшие приближения при разложении возмущенных функций распределения отдельных компонентов в ряды по полиномам Сонина-Лаггера) зависят только от числа приближений теории Чепмена-Энскога и числа N (количество компонентов в системе), но не зависят от самих взаимодействующих компонентов кроме того не был получен явный вид этой поправки. Обобщенные соотношения Стефана-Максвелла и формулы для поправок к бинарным коэффициентам диффузии в любом приближении коэффициентов молекулярного переноса были выведены для частично ионизованных смесей впервые в работе Колесниченко, 1979) (в которой был рассмотрен предельный случай нулевого магнитного поля) и в работах Колесниченко, 1982 Колесниченко, Маров, 1982) (с учетом сильного магнитного поля, вносящего анизотропию в коэффициенты переноса). Там же была показана симметрия коэффициентов сопротивления в полном согласии с соответствующим результатом термодинамики необратимых процессов Колесниченко, Тирский, 1976). [c.99]

Термоупругое тело относится к системам с мгновенной обратимой реакцией. Деформации в термоупругих телах представляют собой однозначные функции Оц и Т. Таким образом, для этого случая коэффициенты Aijjnn и Сц Вц = 0) в определяющих уравнениях (2.1) представляют собой некоторые обычные функции от Oij и Т, удовлетворяющие, кроме того, условию существования полного дифференциала. К тому же выводу можно прийти, используя термодинамический метод. Дальнейшие упрощения в уравнения (2.1) привносятся при наличии свойств физической или геометрической симметрии системы (например, изотропии), малости деформаций, линейности соотношений (2.1), изотермичности процесса. В рамках таких моделей удалось найти эффективное решение многих важных задач о деформации твердых тел. Соответствующие направления в механике твердого деформируемого тела изучались в многочисленных работах советских авторов (В. В. Болотин, Л. А. Галин, Э. И. Григолюк, Н. И. Мусхелишвили, В. В. Новожилов, Г. С. Писаренко, И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницын, Г. Н. Савин, В. И. Феодосьев и др.). Работы по этим разделам освещены в других обзорах этого тома. [c.369]

Полученные нами результаты показывают, что как только в определяющие соотношения наряду с пространственными гра-Диентами включаются в качестве независимых переменных временные производные, большинство классических эффектов расщепления пропадает. Температурные градиенты могут вызвать напряжения даже в неподвижном теле, а деформация может влиять на характеристики теплопроводности тела. Поскольку эффекты такого рода наблюдаются редко, проведенное до сих пор рассмотрение следует дополнить анализом, дающим более конкретные результаты. Например, в силу (21) мы можем ожидать, что для семейства движений, для которых grad0->O и G->0, функция 0D должна быть приблизительно линейной по D, 3 — приблизительно линейной по gradS. Однако, прежде чем обратиться к вопросам такого приближения, мы воспользуемся принципами материальной независимости от системы отсчета и материальной симметрии, которые покуда не упоминались при рассмотрении термомеханики. Роль этих принципов, мы проиллюстрируем сейчас на простом примере. [c.456]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...