Теорема о минимуме потенциальной энергии

ТЕОРЕМА О МИНИМУМЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ [c.392]

Обозначим неизвестную реакцию через X. Тогда на основании теоремы о минимуме потенциальной энергии деформации [c.393]

Теорема о минимуме потенциальной энергии 415 [c.415]

Пример 63. Пользуясь теоремой о минимуме потенциальной энергии, определить реакцию шарнирно-подвижной опоры бруса малой кривизны, изображенного на рис. 396. Брус нагружен сосредоточенным моментом в опорном сечении В. [c.416]

Теорема о минимуме потенциальной энергии. Пусть Ыц — система перемещений, соответствующая состоянию равновесия системы, а бм — некоторая система малых перемещений, отличающая новое возможное состояние от равновесного. Тогда в новом состоянии перемещения [c.197]

Сначала получим аналог теоремы о минимуме потенциальной энергии. Рассмотрим функционал [c.330]

По теореме о минимуме потенциальной энергии системы наилучшее приближение в выбранном классе аппроксимирующих вектор и функций обеспечивается значениями коэффициентов, сообщающих минимум выражению (2.3.2). Это приводит к системе 3/г линейных уравнений [c.154]

При исследовании и решении задач теории упругости широко применяются энергетические (вариационные) методы. В их основе лежит использование тех или иных энергетических теорем (вариационных принципов, а в задачах с краевыми условиями в форме альтернативных равенств и неравенств и вариационных неравенств). Подробное изложение энергетических теорем с анализом класса задач, для которых та или иная из них наиболее эффективна, содержится, например в [19, 90,93, 123, 134, 135, 138, 225]. В дальнейшем понадобится главным образом теорема о минимуме потенциальной энергии, а также теорема о минимуме дополнительной работы. Приведем необходимые определения и формулировки. [c.94]

Теоремы о минимуме потенциальной энергии системы и дополнительной работы позволяют строить приближенные решения задач теории упругости, выбирая представления решения через те или иные допустимые поля смещений или напряжений и устраняя произвол в такого рода представлениях из условий минимальности энергии (дополнительной работы). Этот подход нашел широкое применение в инженерных расчетах (см. [90,93, 134] и указанную там литературу). [c.96]

С помощью теоремы о минимуме потенциальной энергии можно сформулировать ряд частных утверждений, касающихся вида дифференциальных уравнений в перемещениях и связанных с ними естественных граничных условий для задач об изгибе балок, мембран, плит, оболочек, для кручения бруса, плоского напряженного состояния в пластинках и т. д. [c.124]

Вторая форма теоремы о минимуме потенциальной энергии 125 [c.125]

В 4.6 была сформулирована вторая форма теоремы о минимуме потенциальной энергии [c.157]

Итак, мы получили обобщение на стационарную задачу термоупругости теоремы о минимуме потенциальной энергии. Эта теорема утверждает, что среди всех геометрически возможные положений равновесия в действительности осуществляется то, для которого функция Г достигает минимума. [c.468]

Здесь следует сделать предостережение, состоящее в том, что как выведенная ранее теорема о минимуме потенциальной энергии, так и только что приведенное неравенство справедливы лишь для односвязного тела. Это вытекает из того, что лишь в односвязном теле заведомо обеспечена однозначность поля перемещений. [c.472]

Величина П—потенциальная энергия тела — имеет экстремум. Поступая так же, как и в теории симметричной упругости, можно показать, что функционал П достигает абсолютного минимума. Согласно теореме о минимуме потенциальной энергии, из всех перемещений и и поворотов ш, удовлетворяющих заданным граничным условиям, потенциальная энергия достигает абсолютного минимума только на одном поле перемещений и поворотов, а именно на поле и, а>, которое удовлетворяет условиям равновесия. [c.835]

Так же как и в теории температурных напряжений с симметричным тензором напряжений, можно и здесь дать обобщение некоторых вариационных теорем теоремы о минимуме потенциальной энергии, теоремы о минимуме дополнительной энергии и обобщенную вариационную теорему Рейсснера. [c.847]

Удельная потенциальная энергия деформации является положительно определенной величиной (см. п. 2.3.3). Это свойство используется, например, для доказательства единственности решения линейной задачи теории упругости. Кроме того, на этом основаны теоремы о минимуме потенциальной энергии и соответственно дополнительной энергии. В классической линейной теории упругости удельная потенциальная энергия деформации U (ец) является квадратичной функцией компонент деформаций (и благодаря этому достаточно хорошо аппроксимируется). [c.54]

Излагаемый метод основан на использовании теоремы о минимуме потенциальной энергии деформации, выраженной через напряжения (начало Кастильяно). Начало Кастильяно [5 ] является выражением условия неразрывности деформаций в энергетической форме. Поэтому при построении приближенного решения с использованием начала задаются напряженным состоянием, которое [c.82]

Для отыскания последних воспользуемся теоремой о минимуме потенциальной энергии деформации цилиндра. [c.89]

Подчеркнем, что четвертые производные, появляющиеся в члене Л ы в теореме Грина, не требуются для справедливости теоремы о минимуме потенциальной энергии в вариационной формулировке. Обратное тоже верно. Предел функций, имеющих непрерывные четвертые производные и стремящихся к решению, может оказаться функцией другого типа, а идея пополнения состоит в получении допустимого (условиями минимума) пространства функций, удовлетворяющих лишь главным крае- [c.90]

Выражения для предельных значений упругих констант, полученные на основании вариационного анализа. Как указывалось в обзоре методов анализа упругости гетерогенных композиций [6], Пауль [8] установил предельные значения упругих констант для различных систем, используя теоремы о минимумах добавочной энергии и потенциальной энергии (энергии деформирования). Для бинарной композиции верхний (Gup) и нижний Gip пределы модуля упругости при сдвиге определяются по формуле [c.152]

Мы получили обобщенную на задачи теории температурных напряжений теорему о минимуме потенциальной энергии. Эта теорема гласит среди всех геометрически возможных положений равновесия действительным положением является то, для которого функция Г минимальна. [c.92]

Рассмотрим теперь вопрос о том, как оценить состояние покоя консервативной системы в положении, в котором она не имеет минимума потенциальной энергии. Ответ на этот вопрос содержится в специальных теоремах А. М. Ляпунова [c.336]

Согласно этим теоремам задача об устойчивости равновесия или стационарного движения твердого тела с жидкостью приводится к задаче минимума потенциальной энергии V или измененной потенциальной энергии W системы. В случае полного заполнения жидкостью полости выражения V ш W являются функциями конечного числа переменных qj. В случае частичного заполнения полости V и W представляют собой функционалы, зависящие от формы объема т и свободной поверхности жидкости, а также от положения тела. Так как свойство минимума является локальным, то для строгого решения задачи минимума, за исключением особых случаев, можно ограничиться рассмотрением величин второго порядка малости. Поэтому для решения этой задачи можно использовать методы теории малых колебаний, если смещение свободной поверхности от положения равновесия представить в виде ряда пф системе собственных функций соответствующей краевой задачи. Таким методом был решен ряд конкретных задач о минимуме V и W (Н. Н. Моисеев, 1952 Г. С. Нариманов, 1956 В. В. Румянцев, 1962). Однако вычисления при [c.33]

Сначала рассматривается арка под действием сплошной нагрузки p = onst. Освобождаем правый конец и нагружаем его статически возможной силой Т = — рг, направленной по касательной к оси. При сделанных допущениях относительно деформаций эта сила на основании теоремы о минимуме потенциальной энергии будет истинной. Действительно, потенциальная энергия системы при нулевых моментах (см. задачу 7.73) оказывается равной нулю. [c.373]

Все эти интегральные теоремы составляют основу второй части основной теории, а именно средств реализации. Аналог теоремы о минимуме потенциальной энергии является существенным при формировании конечно-элементного подхода для решения соответствующей задачи. Теорема Бетти используется при получении решений с помощью граничных интегральных уравнений [19], хотя, как заметил Риккарделла [20], этот подход оказался не настолько эффективным, как ожидалось. [c.331]

Равенство интегралов плотностей упругой энергии в гетерогенном и осредненном однородном материалах позволяет получить оценки эффективных постоянных, используя теоремы о минимуме потенциальной энергии деформирования. Из предположения об однородности деформаций в композите получается оценка эффективных постоянных сверху — оценка Фойгта [1]. Предположение об однородности напряжений дает оценку снизу — оценку Рейсса. Обычно жесткости компонентов композитов рс1зличаются довольно значительно. Широта спектра возможных значений эффективных харсжтерисгик, предсказываемого вилкой Фойгта—Рейсса, ставит под сомнение их практическзпо ценность. Сужение вилки Фойгта — Рейсса возможно при конкретизации геометрии взаимного расположения и формы областей, занимаемых компонентами композита. [c.16]

При сдвиговом деформировании композита полидис — персной структуры сферические оболочки не испытывают подобные деформации, поэтому таким способом нельзя получить точные выражения для сдвигового модуля. Однако поля деформаций, соответствующих подобному деформированию оболочек, допустимы в смысле теоремы о минимуме потенциальной энергии. Это соображение позволило заметно улучшить верхнюю оценку для матричных композитов с жесткими наполнителями. [c.18]

Удельная потенциальная энергия деформации является положительно определенной величиной. Это свойство используется, например, для доказательства единственности решения лииейпой задачи теории упругости. Кроме того, па этом основаны теоремы о минимуме потенциальной энергии (см. 4.1) и максимуме дополпительпой энергии (см. 4.2). [c.43]

Теорема о минимуме энергии. С теоремой об однозначности решения связана теорема о минимуме потенциальной энергии. Рассмотрим случай когда отсутствуют массовые силы и на граничной поверхности заданы сме- едия Потенциальная энергия деформации тела равна объемному интегралу от упругого потенциала, распространенному по пространству, которое занимает тело. Мы можем выразить теорему следующим образом смещения, удовлетворяющие диференциальным уравнениям равновесия и условиям на граничной поверхности, сообщают потенциальной энергии деформации наименьшее значение по сравнению со значением, которое ей сообщает всякие другие смещения, удовлетворяющие лишь тем же условиям на граничной поверхности. [c.182]

Остается дать уравнения равновесия в ортогональных криволинейных координатах. Эти уравнения получим общим способом, применяя теорехму о минимуме потенциальной энергии. Эга теорема, записанная в прямоугольной системе координат, имеет вид [c.176]

Как видно 113 этого равенства, при О =0 потенциальная энергия системы имеет минимум, что, по теореме Дирихле (см. 49), означает устойчивое равновесие. Разложим os в в ряд. Тогда [c.441]

Таким образом, движение механической системы при минимуме потенциальной энергии в точке О будет происходить в области D. Следовательно, равновесие системы будет устойчивым и теорема Лагранжа— Дирихле доказана. [c.199]

Теорема Четаева. Если потенциальная энергия П коя-серватавной системы является однородной функцией отклонений qi,. ., qn и в положении равновесия qi —. .. = = О не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво. Примеры. 1. Пусть П = Л(1 — osa ) п=. Функция П [c.199]

Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В п. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локального минимума потенциальной энергии остается справедливой, т. е. устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов, полученных Томсоном, Тэтом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы. В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона-Тэта-Четаева. [c.535]

Знак постоянной с зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координатй д. Согласно теореме Лагранжа — Дирихле потенциальная энергия консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т. е. П"(0)>0. Отсюда следует, что с > О вблизи устойчивого положения равновесия. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...