Потенциальная энергия теорема

Так же как и в теории температурных напряжений с симметричным тензором напряжений, можно и здесь дать обобщение некоторых вариационных теорем теоремы о минимуме потенциальной энергии, теоремы о минимуме дополнительной энергии и обобщенную вариационную теорему Рейсснера. [c.847]

Потенциальная энергия теорема о--, [c.671]

Доказательство теоремы состой из двух частей. Первая часть доказательства содержит выбор значения потенциальной энергии /7. Во второй части доказывается существование положительных чисел г], и ri2, отличных от нуля, обеспечивающих выполнение условий устойчивости. [c.422]

Перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии деформации по этой силе (теорема Кастильяно). [c.390]

ТЕОРЕМА О МИНИМУМЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ [c.392]

Обозначим неизвестную реакцию через X. Тогда на основании теоремы о минимуме потенциальной энергии деформации [c.393]

Даваемое теоремой условие устойчивости равновесия является лишь достаточным и не позволяет судить о том, что будет, если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума. [c.387]

Рассмотрим теперь вопрос о том, как оценить состояние покоя консервативной системы в положении, в котором она не имеет минимума потенциальной энергии. Ответ на этот вопрос содержится в специальных теоремах А. М. Ляпунова [c.336]

Теорема Н. Г. Четаева. Если в изолированном положении равновесия потенциальная энергия, предполагаемая аналитической функцией обобщенных координат, не имеет минимума, то равновесие неустойчиво. [c.311]

Первая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия V (q) консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении V (q) в ряд по степеням, q, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Теорема Четаева. Если потенциальная энергия V (q) является однородной функцией q и если в положении равновесия она не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Теорема. Если в положении равновесия строго диссипативной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным, то оно асимптотически устойчиво. [c.230]

Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, без ограничения общности предполагается, что изучаемому положению равновесия соответствует начало координат фазового пространства. Потенциальная энергия за счет выбора аддитивной постоянной нормируется так, что в положении равновесия V(0)-0. [c.231]

Координаты 9 (/= ,..., ) также представляют собой обобщенные координаты системы. Обобщенные координаты Qj,. .., 0 , в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид (46) и (47), называются главными (или нормальными) координатами системы. В силу указанной выше теоремы линейной алгебры для [c.237]

Вычисление потенциальной энергии системы материальных точек является одним из этапов решения задач при использовании теоремы об изменении кинетической энергии, уравнений Лагранжа второго рода и т. д. [c.331]

Если в положении равновесия значение потенциальной энергии не является минимальным, то для суждения об устойчивости равновесия следует применить теоремы А. М. Ляпунова, которые формулируются следующим образом. [c.580]

Теорема 2.8. Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума и это определяется по членам второго порядка в разложении (2.22) независимо от членов высшего порядка, то положение равновесия неустойчиво. [c.87]

Теорема 2.9. Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет максимум и это определяется по членам наинизшего порядка, действительно присутствующих в разложении П, то положение равновесия неустойчиво. [c.87]

Теорема 3.13.4. (Интеграл энергии в относительном движении). Если связи, стесняющие относительное движение точки, идеальны и таковы, что ее действительное элементарное перемещение принадлежит множеству виртуальных, активные силы потенциальны с потенциальной энергией II и переносная сила инерции Ге обладает силовой функцией Д, то в относительном движении справедлив интеграл энергии [c.276]

Теорема 6.13.1. В принятых предположениях сумма потенциальных энергий гравитационных сил и сил инерции принимает минимальное значение, когда наибольшая ось эллипсоида инерции направлена вдоль радиуса-вектора центра масс, а наименьшая — по нормали к плоскости орбиты. [c.508]

Теорема 8.7.1. (Лагранж). Положение равновесия склерономной системы, находящейся под действием потенциальных сил, устойчиво, если в этом положении силовая функция достигает изолированного максимума (потенциальная энергия — изолированного минимума). [c.570]

Доказательство. Воспользуемся теоремой 8.7.1 Лагранжа. Если матрица В положительно определена, то потенциальная энергия системы [c.596]

Потенциальную энергию П будем отсчитывать от положения равновесия, полагая, что в этом положении П = 0, Сказанное не нарушает общности рассуждений, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Зададим произвольное, но достаточно малое положительное число Р. Опишем из точки О сферу радиуса р и область D, ограниченную этой сферой. Тогда для любой точки на границе области D будет выполняться неравенство П>0, так как в точке О функция П=0 и на УСЛОВИЮ теоремы имеет минимум. [c.198]

Согласно условию теоремы, в положении равновесия системы потенциальная энергия, являющаяся для стационарного силового поля только функцией обобщенной координаты, имеет изолированный минимум. Следовательно, Птш = Я (0) = 0 и функция Я (д) в малой окрестности д = 0 принимает только положительные значения. Ее график в этой окрестности имеет вид, указанный на рис. 275. Кривая П = П (д) обращена вогнутостью в сторону положительных значений Я (д), т. е. вверх. [c.387]

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового 1юля зависит только от одной обобщенной координагы q, равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т. е. Я(0) = 0. По ус1ювию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, i. е. /7 1п = Я(0) = 0, и функция U = n(q) в малой окрестности =0, принимая только положительные значения, является возрастающей функцией ц, т. е. имеет вид, представленный на рис. 108. [c.422]

Пример 63. Пользуясь теоремой о минимуме потенциальной энергии определить реакцию шгрнирно-подвижной опоры бруса малой кривизны, изображенного на рис. 392. Брус нагружен сосредоточенным моментом в опорном сечении В. [c.393]

Один общий критерий, устанавливающий достаточное условие устойчивости равновесия консервативной (см. 127) системы, дает следующая теорема Лагранжа — Дирихле если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системыв этом положении является устойчивым. [c.387]

Теорема (Лагранжа— Дирихле )). Есш в некотором положении консервативной системы потенциальная энергия, являющаяся непрерывной функцией q, имеет строгий изолированный [c.225]

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какой-либо оси расстояние между точками системы не меняется, не меняется и потенциальная энергия системы, а значит, и функция Лагранжа. Очевидно, преобразование (80) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Таким образом, все условия, которые теорема Нётер накладывает на однопараметрическое семейство преобразований, выполнены. В силу этой теоремы имеет место первый интеграл (69). В данном случае все d fi/da для координат у и г, так же как и д 1да, равны нулю, а функции ф, для координат х таковы, что дц>11да—. Поэтому в формуле (69) член, содержащий гамильтониан, обращается в нуль, а оставшаяся в правой части [c.291]

Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

Теорема 2.7. (теорема Лагранжа Дирихле). Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.86]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточные уаювия устойчивости положения равновесия. Если же в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то вопрос об устойчивости часто можно решить при помощи следующих теорем Ляпунова о неустойчивости. [c.87]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Теорема Лежен Дирихле. Отметим интерес-"ь,е свойства равновесия еха и.ес х циальном поле, при которых систем В потенциальном поле потенциальная энергия си- 1) если система находится в покое [c.400]

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в. положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, н которой потеициаль-ная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае [c.438]

Заметим, что при равновесном положении системы потенциальная энергия, согласно теореме Дирихле-, должна иметь минимум, а потому ее производная [c.439]

Как видно 113 этого равенства, при О =0 потенциальная энергия системы имеет минимум, что, по теореме Дирихле (см. 49), означает устойчивое равновесие. Разложим os в в ряд. Тогда [c.441]

Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произвольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не саму потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же будем так определять эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном устойчивом положении, при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, потому что равновесие является устойчивым, а потенциальная энергия в этом положении (Я = 0) согласно теореме Лежен Дирихле (см. 38) должна иметь минимум. [c.265]

По теореме Дирихле потенциальная энергия в положении устойчивого равновесия системы имеет минимум, следовательно, вто- [c.268]

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. 38) и этим обстоятельством следует воспользоваться так,, чтобы в положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также рав]1ялась нулю. По теореме Дирихле равновесие [c.283]

Таким образом, движение механической системы при минимуме потенциальной энергии в точке О будет происходить в области D. Следовательно, равновесие системы будет устойчивым и теорема Лагранжа— Дирихле доказана. [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...