Волновые функции плоская волна

Чтобы перейти в импульсное представление, введем базисные одночастичные состояния /) = р) = р,о-), где р — импульс, а а указывает на спиновое состояние частицы. Соответствующие одночастичные волновые функции — плоские волны (1.2.39). Используя теперь общие соотношения (1.2.57), запишем гамильтониан (1.2.61) через операторы рождения и уничтожения а . Простые преобразования дают [c.36]

Разложение волновой функции в ряд Фурье. Если волновая функция плоских волн Ф = /(ti) = /( — х/с) имеет период Т и /(т]) =/(т1 + Т), то ее можно разложить в ряд по гармоническим функциям [c.165]

Как хорошо известно, свободный электрон не может поглотить один фотон. Это невозможно, так как при таком поглощении не могут одновременно выполняться законы сохранения энергии и импульса. Такое утверждение в равной мере справедливо как для нерелятивистских, так и для релятивистских электронов. Этот факт отражен в уравнении (3.87), где, как легко заметить, матричный элемент I I Фл) обращается в нуль при к Ф к, если волновые функции — плоские волны. Поглощение Друде, рассмотренное раньше, оказалось возможным благодаря рассеивающим центрам, которые могут отнимать импульс при поглощении. Подобным же образом, когда имеется периодический кристаллический потенциал, решетка может отнять импульс и разрешить поглощение. В обоих случаях, если пользоваться теорией возмущений, что обычно и делают, дополнительный потенциал можно представить с помощью псевдо-потенциала. Обратимся теперь к решению этой проблемы. [c.358]

Слагаемые (5) имеют разную структуру и происхождение. Первое из них отлично от нуля лишь для упругих переходов г = J и отвечает свободному пролету частицы без всякого ее взаимодействия с комплексом. Это слагаемое представляет собой 5-волновую часть дельта-функции закона сохранения импульса частицы (к к ), будучи прямо связано с 5-волновой частью плоской волны в выражении для волновой функции (первое слагаемое в (2)). Заметим, что от рассматриваемой сингулярности легко избавиться в рамках ЭКС-метода, кладя в его основу не У и а величину — Е ) и). Это, как [c.312]

Простейшим примером волновой функции с неопределенной четностью является плоская волна. Однако при взаимодействии плоской волны с ядром возникает состояние с определенной четностью. Например, если частицы медленные, то взаимодействие происходит с I = О, так что четность образующегося состояния будет равна произведению четностей взаимодействующих частиц. [c.91]

Ввиду очень слабого взаимодействия нейтрино с веществом его волновую функцию можно считать плоской волной [c.151]

Для частиц с заданным импульсом р волновая функция гр до рассеяния имеет вид плоской падающей волны [c.491]

Ф. Блохом было доказано, что волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, имеющим период решетки, представляют собой плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодичностью решетки, т. е. [c.215]

Ясно, что лучше всего было бы определить точную волновую функцию электронов, движущихся в металле с беспорядочно распределенными примесными центрами, и вычислить среднее значение -Ь (г )ф(г) по поверхности постоянной энергии. Однако решение такой задачи сопряжено с непреодолимыми трудностями. Можно ожидать, что когерентность волновой функции возбужденного состояния (для основного состояния это не обязательно так) будет нарушаться на расстоянии порядка средней длины свободного пробега. Поэтому введение предложенного Пиппардом множителя является разумным. Необходимость такого множителя вытекает из следующих рассуждений. Предположим, что центры рассеяния беспорядочно распределены в перпендикулярном к оси х слов шириной w и что вне этого слоя примеси отсутствуют, как это показано на фиг. 9. Тогда решения уравнения Шредингера вне слоя имеют вид плоских волн. Если предположить, что рассеяние некогерентно, то можно с помощью общей теории рассеяния точно вычислить (ф (г ) ф (г)) при условии, что гиг лежат вне слоя. [c.717]

Итак, нам надо решать уравнение (4.5) и найти его решение, удовлетворяющее условию (4.7). Поскольку на потенциал U (х) никакие специальные условия не накладываются, то решение уравнения (4.6) должно при i7( )- -0 перейти в решение для свободных электронов. Поэтому разумно конструировать искомую волновую функцию ф(х) в виде суперпозиции плоских волн типа Подстановкой какой-нибудь из них в (4.7) легко убедиться в том, что для выполнения граничных условий должно выполняться как минимум условие [c.57]

Этот результат составляет знаменитую теорему Блоха, которая для трехмерного случая гласит собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию Uk (г), периодическую в решетке кристалла [c.60]

Такому же условию ортогональности к остовным волновым функциям и должны удовлетворять пробные функции г ). Между тем интеграл типа (П1.6) для плоских волн этому условию не удов- [c.67]

Очевидно, если из плоской волны вычесть все вклады, приводящие к неравенству нулю (Адп, то мы и придем к искомому результату. В этом случае волновая функция должна иметь вид [c.68]

Полученные результаты для поведения волновых функций в зависимости от г позволяют объяснить существование энергетической щели следующим образом. Линейная комбинация плоских волн (бегущих) приводит к появлению стоячих волн с пучностями на ионе (4.54а) и между ионами (4.546). Это значит, что при Ug<0 электроны (отрицательный заряд) скапливаются в окрестности положительных ионов, где потенциальная энергия наименьшая. Такое распределение заряда приводит к понижению энергии, отвечающей данной волне. Скопление же отрицательного заряда в области между ионами (высокой потенциальной энергии) приводит к повышению потенциальной энергии. В результате энергии, отвечающие разным волнам, различны, что и объясняет возникновение зон разрешенных и запрещен-,ных энергий. [c.77]

Плоские волны и фазовая скорость. Из оптики известно, что плоская волна с частотой со и волновым вектором к может быть представлена в комплексной форме в виде функции [c.57]

При г- оо волновая функция ф(г, И) должна иметь асимптотический вид суперпозиции падающей (вдоль оси 2) плоской волны и рассеянной сферической волны [c.105]

Уравнение (3.25) выражает суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Для волны, идущей вдоль оси х, i5 = О и tj (х, t) = А ехр [t kx — со/)]. Для волны, распространяющейся противоположно оси х, А = О и (х, t) = В ехр [— I kx + (о/)]. В общем случае, когда направление распространения волны не, совпадает с осью д , стационарным решением уравнения Шредингера является волновая функция [c.100]

Эффект Допплера. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в системе В под углом 0 к оси X. Представим ее с помощью волновой функции [c.338]

Электроны в потенциальной яме рассматриваются как плоские волны и описываются с помощью волновых функций. [c.139]

В частных решениях (1.28) и (1.30) конкретный вид функций / и g был несуществен. Дальнейшее изучение динамического поведения упругих тел связано, по существу, с решением вопроса о выборе конкретных выражений для fug, дающих возможность удовлетворить систему дополнительных условий, отражающих взаимодействие упругого тела с другими объектами, и его начальное состояние. При этом оказывается, что произвольные волновые движения, которые описываются уравнениями (1.16), в общем случае могут быть образованы суперпозицией плоских волн, имеющих различные направления распространения и амплитуду [981. [c.23]

Заметим, что выражения (4.68) можно записать в комплексной форме, если представить синусы и косинусы через экспоненциальные функции. При этом можно показать, что каждая составляющая поля Е записывается как сумма восьми членов вида exp[i kxx куу kzZ —(i)t)- -компл. сопр.], т. е. как сумма восьми плоских волн, распространяющихся вдоль направлений, определяемых восемью волновыми векторами с компонентами [c.187]

В случае когда периодичность исчезает, функции Е, (х) и Н (х) становятся не зависящими от х, а нормальные моды — плоскими волнами с волновым вектором, равным блоховскому. Наша основная цель состоит в определении Е, (х), Н, (х) и нахождении дисперсионной зависимости w(K). [c.170]

Вывод теорем сложения для сферических волновых функций базируется на разложении плоской волны по сферическим волновым функциям и на интегральном представлении последних [50]. Если rq, 0g, фд) и fh, 0к, фй) — две сферические системы координат и положение второй относительно первой задается координатами ее начала Oh Rhq, Qhq, фк ) (полагаем, что оси Xq, Ун, Zh и Xk, Ук, Zk параллельны и одинаково ориентированы), то теоремы сложения для скалярных и векторных функций имеют вид [c.38]

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123] [c.83]

В результате (9.31) содержится утвержденпе, составляющее теорему Блоха. Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения функции плоской волны ехр(гй-г) на функцию иь(г), которая является периодической функцией в кристаллической решетке [c.321]

Полагая сначала псевдоволновые функции плоскими волнами, мы потребуем, чтобы они удовлетворяли периодическим граничным условиям на поверхностях кристалла. Тогда плотность состояний в пространстве волновых векторов будет просто 0/(2л) , где Я — объем кристалла. В этом можно убедиться на примере, когда пространство ограничено плоскостями прямоугольной призмы. В направлении х расстояние в обратном пространстве между двумя состояниями будет 2л/11, где 1 — размер в направлении х. Соответственно на одно состояние будет приходиться в обратном пространстве объем (2я) /11Ь21з. а плотность состояний будет равна просто обратной величине. Этот результат остается справедливым и для объема более сложной формы. В каждом из указанных состояний может находиться по одному электрону с разными спинами, так что плотность электронных состояний как раз равна удвоенной плогности состояний волновых векторов. [c.125]

Если в модели Кроннга — Пении положить Д = 20 и а = 1, то решениями задачи станут с хорошей точностью связанные состояния свободного атома. Рассматривая их как состояния сердцевины , постройте OPW для волнового вектора я/а. Каковы действительная и мнимая части этой функции Плоские волны (или OPW) ие обязательно брать нормированными, но внутренние состояния, конечно, должны быть нормированными. [c.257]

Плоская волна проникает в профилированный штрих, причем отдельные его элементы создадут запаздывание по фазе, так как волновая поверхность достигнет разных участков штриха в различные моменты времени. Это запаздывание по фазе с.ледует учитывать при расчете дифракционной картины. Оно приводит к тому, что функцию (sinu/i )2 в выражении (6.49) нужно заменить другой, более сложной функцией, зависящей от геометрии штриха. Соответственно изменится и распределение интенсивности между главными максимумами. Второй множитель в соотношении (6.49), определяющий взаимодействие элементарных дифрагировавших пучков, останется практически прежним. [c.299]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

Из более поздних работ остановимся на работе Стотта, Барановского и Мэрча [84], в которой было теоретически исследовано влияние валентности металла на характеристики вакансий. При этом было учтено, что электроны не свободны, а двпл утся в периодическом потенциальном поле решетки, т, е. их волновые функции являются не плоскими волнами типа а имеют блоховский вид [c.109]

В более общем виде колебание в плоскости фронта волны А В (рис. 51) может быть охарактеризовано Рис. 51. Распростране- с помощью волновой функции W, записанной в ком-ние плоского волне- плексном виде [c.88]

Подтверждённая на опыте идея де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме микрочастиц принципиально изменила представления об облике микромира. Поскольку всем микрообъектам (по традиции за ними сохраняется термин частицы ) присущи и корпускулярные и волновые Boit TBa, то, очевидно, любую из этих частиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классич. понимании этих слов. Возникла потребность в такой теории, в к-рой волновые и корпускулярные свойства материи выступали бы пе как исключающие, а как взаимно дополняющие друг друга, В основу такой теории — волновой, или квантовой, механики — и легла концепция де Бройля, уточнение к-рой привело к вероятпоетпой интерпретации В. дс Б. В 1926 М. Борн (М. Вогл) высказал идею о том, что волновым законам подчиняется величина, описывающая состояние частицы. Она была названа волновой функцией (г з). Квадрат модуля ар определяет вероятность нахождения частицы враал. точках пространства в разные моменты времени. Волновая ф-ция свободно движущейся частицы с точно заданным импульсом и является В. де Б. в частном случае движения вдоль оси X она имеет вид плоской волны [c.331]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

В 1—3 показано, что ири переводе изображения ИК-объекта, находящегося на бесконечности, геометрические аберрации (кроме дисторсии) отсутствуют при произвольных апертурах преобразования и произвольном положении ИК-объекта. Поэтому преобразование изображения бесконечно удаленного объекта заслуживает самостоятельного рассмотрения. В ситуациях, когда плоская ИК- волна распространяется в направлении, перпендикулярном линейному источнику, а также при неперпендикулярных, но близких к оптической оси в пространстве объектов Zir направлениях и малых апертурах преобразования, вопрос фактически решен ранее (предыдуш,ие два раздела параграфа). Попытаемся обобщить полученные результаты на случай произвольного распространения ИК-волны и произвольных апертур. Задача сводится к анализу взаимодействия в нелинейной среде цилиндрической волны накачки и плоской волны ИК-излучения с волновым вектором kir. Из формулы (4.60) следует, что геометрическое изображение на суммарной частоте расположено на бесконечности. Функция Грина в этом случае принимает вид плоской волны, волновой вектор которой определяет направление наблюдения. Фаза энспоненты в подынтегральном выражении в (2.27) может быть записана следующим образом [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...