Схема Лакса — Вендроффа

В работе [19] проанализированы ошибки различных конечно-разностных методов решения задачи о распространении ударных волн в трубе, заполненной газом. Рекомендуется решение указанной задачи с помощью комбинированной схемы, состоящей из двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа и метода коррекции потоков. Такой вывод согласуется с широко известными фактами высокой точности двухшагового метода Лакса — Вендроффа при изучении широкого класса нестационарных течений жидкости [172] и метода коррекции потоков при расчете ударных волн [28]. [c.144]

Исходя из сказанного выше, для исследования кавитационных колебаний жидкости выбрали комбинацию двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа с методом коррекции потоков. [c.144]

Двухшаговая схема Лакса — Вендроффа заключается в следующем [c.144]

Уравнение (3.219) в том виде, как оно записано, является безусловно неустойчивым уравнением со слабой расходимостью, обусловленной тем, что здесь множитель перехода имеет вид G = 1 +0(А/2) см. Лилли [1965]. Так как неустойчивость слабая, эту схему можно использовать для расчетов нестационарных течений невязкой жидкости при условии, что полное время решения невелико. Лилли [1965] обнаружил, что эта схема точнее схемы Лакса — Вендроффа [1964] (см. разд. 5.5.5). Наличие вязких членов в уравнении (3.220) стабилизирует это уравнение, давая возможность выбрать шаг М в зависимости от числа Рейнольдса Re (см. задачу 3.11). [c.116]

Эти два способа вывода схемы, один из которых основывается на квадратичной интерполяции по пространственной переменной, а другой — на разложении второй производной по времени, приводят к одинаковым результатам, так как уравнение (3.226) дает связь между производными и д%/дх . Однако эта связь справедлива только в случае уравнения для невязкой жидкости при постоянном и. В этом случае схема Лейта совпадает со схемой Лакса — Вендроффа и другими двухшаговыми схемами Лакса — Вендроффа, основанными на разложении по времени (см. гл. 5). [c.120]

Рис< 5.1. Расчет распространения ударной волны при М = 3 на эйлеровой сетке при помощи двухшаговых схем Лакса - Вендроффа с максимальным числом Куранта 0.95. По оси абсцисс отложено расстояние, по оси ординат — давление. Ударная волна распространяется слева направо. Показаны распределения давления через равные промежутки времени. (Заимствовано из работы Тайлера [1970].) а — двухшаговая схема Рихтмайера, 6, = 0 б — модифицированная схема Мак-Кормака, 6,=0 в — двухшаговая схема Рихтмайера, 6i = 0,15 г — модифицированная схема Мак-Кормака, 6, =0 325 [c.343]

Схема Лакса — Вендроффа 365 [c.365]

Схема Лакса — Вендроффа [c.365]

Схема Лакса — Вендроффа 367 [c.367]

Схема Лакса — Вендроффа состоит в применении центральных разностей по пространственным переменным в разложении (5.72). Опуская для простоты индекс I, будем иметь в /-й узловой точке [c.369]

Схема Лакса — Вендроффа 371 [c.371]

Схема Лакса — Вендроффа может применяться и в лагранжевых переменных в этом случае она является единственной схемой, не приводящей к размазыванию скачка (Лаке и Вендрофф [1964], Рихтмайер и Мортон [1967], Ван Леер [1969]). [c.372]

Двухшаговая схема Лакса — Вендроффа [c.373]

Двухшаговый вариант схемы Лакса — Вендроффа, гораздо более простой, чем первоначальная схема, в особенности для многомерных задач, был предложен Рихтмайером [1963] ). Здесь первый шаг проводится по схеме Лакса (см, разд. 5.5.4), а на втором шаге применяется схема чеха )да (см. разд. 3.1.6). Для векторного уравнения (4.66а) данная схема записывается следующим образом [c.373]

Ввиду успешности этих численных экспериментов и легкости обобщения на многомерные задачи искусственную вязкость Тайлера (5.91) можно рекомендовать для класса двухшаговых схем Лакса — Вендроффа. [c.379]

Очевидно, что эта схема дает для стационарного решения ту же искусственную вязкость, что и схема Лакса — Вендроффа. [c.380]

Комбинированная разностная схема обладает улучшенными по сравнению со схемой Лакса — Вендроффа диссипационно-дисперсионными характеристиками. Порядок точности комбинированной схемы приближается к третьему. [c.145]

К классу схем сквозного счета относятся некоторые разностные схемы, в которых вязкость не присутствует в явном виде. Отметим схему Лакса [247], которая имеет первый порядок точности и воспроизводит монотонный профиль решения в зоне разрыва благодаря наличию аппроксимационной вязкости. В работе [223] приведена двухшаговая схема типа Лакса — Вендроффа второго порядка точности, сохраняюш,ая монотонность на разрывах вследствие специального выбора шага промежуточного слоя. С. К. Годунов [37] разработал для нестационарных уравпений газово динамики разностную схему первого порядка точности, основанную на аппроксимации интегральных законов сохранения. В работах [73, 74] опа перенесена на случай стационарных течений газа. Обоснование этой схемы и многочисленные применения содержатся в работе [37]. Дальнейшим развитием схемы С. К. Годунова явилась разработка монотонной разностной схемы второго порядка точности в работе [96]. Для сквозного счета, во всяком случае для не очень сильных ударных волн, представляют интерес также так называемые Я-схе-мы [254]. [c.89]

Размазывание ударной волны при помощи неявной схемной вязкости осуществляется и в некоторых других методах. Так, в настоящее время широко применяется схема Лакса — Вендроффа [1960] и ее двухшаговые варианты, например схема Рихтмайера (см. Рихтмайер [1963]). В методе PI и в его модификации EI (метод взрыва в ячейках), разработанной в 1964 г. Мадером, размазывание скачков достигается за счет введения конечного числа рассчитываемых частиц. Этот прием дает также возможность рассматривать поверхности раздела в жидкости (см. Харлоу и Уэлч [1965, 1966], а также Дали [1967]). В методе PI , как и в более раннем методе Куранта — Изаксона — Риса [1952], используются односторонние разности для первых производных по пространству и таким образом вводится своего рода схемная вязкость (см. гл. 3), однако эти методы сохраняют истинные характеристические свойства дифференциальных уравнений. Хотя во всех этих методах неявно используются диссипативные члены, размазывающие ударные волны, для обеспечения устойчивости каждого из них в некоторых частных случаях требуется введение дополнительных членов с явной искусственной вязкостью. [c.23]

Отметим здесь, что ни линейный анализ устойчивости, ни даже само ее определение не являются вполне удовлетворительными. Филлипс [1959] привел пример того, что он назвал нелинейной устойчивостью она возникает из непостоянства коэффициентов уравнений (Лилли [1965]). Томмен [1966] показал, что при использовании двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа или схемы Лакса — Вендроффа — Рихтмайера (Рихт- [c.27]

Некоторые схемы, аналогичные схеме Лейта, обсуждаются в работах Касахары [1965] и Фишера [1965а]. Эти схемы и схема Лейта похожи на схему Лакса — Вендроффа и ее двухшаговые варианты, которые будут рассматриваться в гл. 5. Хотя схемы Лакса — Вендроффа были разработаны для течений сжимаемой жидкости, они представляют интерес и для течений несжимаемой жидкости (Лилли [1965]), несмотря на то что эти схемы приводят к сильному затуханию коротковолновых возмущений. [c.127]

В работе Лонгли [1960] были опробованы четыре различные разностные схемы, и при этом оказалось, что из-за использования уравнений в консервативной форме все они дают правильные значения скорости скачка. Гари [1964] показал, что применение схемы Лакса — Вендроффа к уравнениям в неконсервативной форме приводит к значительным погрешностям в величине скорости скачка (хотя волна разрежения рассчитывается несколько точнее). [c.318]

Схема фон Неймана — Рихтмайера по-прежнему широко употребляется и часто успешно конкурирует с более новыми схемами. Шварц [1967] применил ее для расчета в сферических координатах задачи релятивистской газодинамики о гравитационном коллапсе звезды. Хикс и Пелцл [1968] обнаружили, что при расчете сильных скачков и волн разрежения она дает лучшие результаты, чем схема Лакса — Вендроффа (разд. 5.5.5, 5.5.6 см. также сравнения в разд. 5.4.4). Лаваль [1969] при помощи схемы фон Неймана — Рихтмайера исследовал процесс [c.348]

Упражнение. Показать, что для одного уравнения (5.47) с й = 4 = onst схема Лакса — Вендроффа (уравнения (5.72) — (5.74)) сводится к схеме Лейта (разд. 3.1.13). [c.370]

Как и в схеме Лейта (разд. 3.1.13), в схеме Лакса — Вендроффа в нестационарном случае отсутствует искусственная диффузия, однако из-за наличия ненулевых коэффициентов при цроизводпых д и/дх и д Ч1/дх имеются дисперсионные ошибки третьего порядка и ошибки, обусловленные затуханием, четвертого порядка (Рихтмайер и Мортон [1967]). Для стационарных решений анализ, аналогичный проведенному в разд. 3.1.13, показывает, что стационарное решение зависит от At. [c.370]

Скоглунд и Гей [1969] видоизменили двумерный вариант схемы Лакса — Вендроффа, представив члены в уравнении (5.76) в следующем виде [c.372]

Значения Р1 на втором шаге вычисляются по значениям и1 < полученным на нервом шаге. Первый шаг можно рассматривать как предварительный, а смысл имеют только результаты второго шага в каждом цикле. Хотя эта схема по виду не похожа на первоначальную схему Лакса — Вендроффа (уравнения (5.72) — (5.74)), однако подстановка (5.79а) в (5.796) показывает, что в случае линеаризоваипой системы уравнений с постоянными коэффициентами эти схемы эквивалентны. [c.373]

Упражнение. Показать, что для уравнений с постоянными коэффнцнен-тамн двухшаговая схема Рихтмайера и схема Лакса — Вендроффа эквивалентны. [c.373]

Следуя Рихтмайеру [1963], стало традицией любую схему, которую можно интерпретировать как разложение в ряд Тейлора до членов второго порядка по времени включительно, называть двухшаговой схемой Лакса — Вендроффа или схемой типа Лакса — Вендроффа и т. д. Представляется, что это слишком широкая и несколько неточная классификация она объединяет, иаиример, как схемы Адамса — Бэшфорта (разд. 3.1.12) и Хойна (разд. 3.1.15), разработанные ранее схемы Лакса — Вендроффа, так п схемы Лейта (разд. 3.1,13) и Мак-Кормака (которая будет обсуждаться ниже). Мы сознаем, что отдельные схемы должны классифицироваться конкретнее, но, следуя традиции, приводим их все в настоящем разделе. [c.374]

Синглтон [1968] ввел в двухшаговую схему Лакса — Вендроффа расшенление по времени, вычисляя предварительные значения в точках (( /2, /) по одномерной схеме Лакса в направлении л и предварительные значения в точках (г, / Д) по одномерной схеме Лакса в направлении у. Первый шаг для уравнения (5.80) будет нри этом иметь вид [c.376]

Рассмотрим другие двухшаговые схемы типа Лакса — Вендроффа и их приложения. Рубин с соавторами [1967] брал схему Бёрстейна (5.82) для расчета одномерного течения излучающего газа. Уоткинс [1970] разработал новую двухшаговую схему решения жестких уравнений (см. разд. 3.6.5), описывающих течения, в которых происходят химические реакции. Кенцер [19706] экспериментировал, ироводя расчеты течения без скачков при помощи различных весовых комбинаций и различных чередований схемы Лакса и схемы чехарда подобно тому, как это сделано в схеме Рихтмайера (5.79). [c.378]

Стренг [1963] описал схему, аналогичную первоначальной схеме Лакса.— Вендроффа (5.72) — (5.74), а впоследствии Гурли и Моррис [19686] дали ее многошаговый вариант с расщеплением по времени Марчука (разд. 3.1.13). Фройдигер с соавторами [1967] разработал схему с перекидыванием , для условной устойчивости которой необходимо наличие в уравнениях физических вязких членов (при малых числах Рейнольдса). Гурли и Моррис [1971] рассчитывали одномерные ударные волны, вводя разностные представления из двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа в схему классики (см. разд. 3.1.18, а также Эймс [1969]). Боули и Принс [1971] обобщили двухшаговую схему Лакса — Вендроффа для применения на расчетной сетке с трапециевидными ячейками. [c.378]

Как и в первоначальной схеме Лакса — Вендроффа, во всех этих вариантах двухшаговой схемы для затухания осцилляций за сильными скачками может понадобиться дополнительное введение явной искусственной вязкости. Лапидус [1967], а также Эрдош и Заккаи [1969] добавляли члены с искусственной вязкостью типа Русанова (см. разд. 5.4.3). В работе Тайлера и Эллиса [1970] проводится сравнение этих способов и способа Тайлера обеспечения добавочного демпфирования. В случае одномерного модельного уравнения (5.1) Тайлер заметил связь, существующую между различными схемами при значении входящего в схему Русанова параметра (о = 1/С она сводится к схеме Лакса, а при и = С — к схеме Лакса — Вендроф- [c.378]

Абарбанель и Цвас [1969] исследовали класс схем, основанных па многократном применении иервопачальной схемы Лакса— Вендроффа (5.72) — (5.74). Обозначим схему Лакса — Вендроффа (5.72а) оператором L и запишем [c.379]

Максимальное значение k и коэффициент Г, выбор которого приводит к явной или неявной схеме, могут изменяться. При maxk- oo и Г=1 схема превращается в полн" -тью неявную схему Лакса — Вендроффа [c.380]

Абарбанель и Цвас применяли данную схему для расчета одномерного распространения ударной волны в лагранжевых переменных. Они нашли, что проведение итераций более эффективно, чем введение явной искусственной вязкости, предложенное Лаксом и Вендроффом [1960]. Наиболее суровыми условиями проверки схемы являются большие перепады давлений на скачках и малые значения показателя адиабаты у. Для отношения давлений на скачке, равного 4, и для у ==1.2 схема (5.95), [c.380]

Алгоритм переноса с коррекцией потоков (алгоритм РСТ), первоначально разработанный Борисом [1971], был затем улучшен и обобщен (Бук, Борис и Хейн [1975]) и в результате превратился в мощный метод расчета скачков и других областей с большими градиентами. На первой его стадии используются различные схемы, например схема Лакса — Вендроффа, схема с донорными ячейками, схема чехарда , в которые включена явная или неявная искусственная вязкость. На второй стадии, называемой антидиффузионным шагом, диффузионные ошибки частично уничтожаются (и почти полностью уничтожаются в областях вне скачка в улучшенном варианте алгоритма). Главной особенностью этого алгоритма является ограничение [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...