Функция Лагранжа тяжести

Последнее выражение имеет отрицательный знак, так как (ср. рис. 38) положительное направление Y и у совпадает с направлением силы тяжести. Функцию Лагранжа, равную Т —У, мы обозначим здесь через Л, так как через L мы уже обозначили длину маятника. Тогда [c.260]

Рис. 63. Первое прочтение два типа траекторий движения под действием силы тяжести (направленной вниз) при наличии магнитного поля, ортогонального плоскости (промежуточный вариант — траектория типа циклоиды). Наблюдается не падение, а дрейф. Левый рисунок, в отличие от правого, действителен лишь до тех пор, пока модуль начальной скорости не превосходит некоторого предела, при превышении которого траектория сразу пойдет вверх. Второе прочтение рисунка изменение углов прецессии и нутации в случае Лагранжа. Причина качественного сходства траекторий в обеих задачах — наличие линейных по скоростям членов в функциях Лагранжа и Рауса соответственно

Пусть в поле силы тяжести имеем твердое тело массы т с осью симметрии и неподвижной точкой О, расположенной на этой оси. Функция Лагранжа L в данном случае имеет вид [c.175]

Рассмотрим осесимметричное тело, подвешенное на шарнире, который укреплен в вертикальном подшипнике (рис. 5.15). Трением в подшипнике пренебрежем, а трение в шарнире будем считать вязким. Изучим движение системы по инерции. Пусть 0, ф — обоб-ш енные координаты системы, С — осевой момент инерции тела, А — экваториальный момент инерции относительно оси подвеса тела, I — расстояние от оси шарнира до центра тяжести тела, т — масса тела, g — ускорение силы тяжести. Составим выражение функции Лагранжа L и функции диссипации F [c.299]

А — экваториальный момент инерции тела относительно оси шарнира, g — ускорение силы тяжести, ф, гр, 0 — углы, определяющие конфигурацию системы (рис. 5.18). Пренебрегая трением в подшипнике и учитывая вязкое трение в шарнирах, напишем уравнения движения системы. Составим выражение функции Лагранжа [c.303]

Как в первой, так и во второй модели будем считать, что, кроме сил реакции со стороны опорной плоскости, виртуальная работа которых равна нулю, на велосипед действует лишь сила тяжести. При таких условиях динамика велосипеда характеризуется функцией Лагранжа L, при составлении которой достаточно ограничиться линейными и квадратичными членами малых величин 0, -ф, х Вместе с тем предположим, что в рассматриваемой системе происходит рассеяние энергии из-за наличия вязкого трения в рулевой колонке. Для учета этой диссипации введем функцию Релея [c.340]

Учитывая однородность поля тяжести и сферическую симметрию связи, совместим начало координат с центром сферы, ось Ог направим вдоль вектора g, а за независимые координаты возьмем, сферические углы 6 и ф (рис. 5.1). Тогда, функцию Лагранжа можно записать в биде [c.241]

Как видно из формулы (3), ось волчка все время движется в направлении, перпендикулярном силе тяжести, что в действительности возможно, лишь при специальном выборе начальных условий. Рассмотрим строгое решение поставленной задачи. Учитывая, что кинетическая энергия волчка равна энергии вращения (см. (8.17)), найдем функцию Лагранжа как функцию углов Эйлера и их производных (см. (8.63)) [c.373]

Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движения симметричного волчка [А = В ф С) массы т в однородном ноле тяжести, если центр масс волчка находится на его оси динамической симметрии на расстоянии I от неподвижной точки. [c.123]

Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движения однородного стержня массы т и длины 2/ в однородном ноле тяжести. Найти движение стержня. [c.123]

Обратимся к примеру 6 (рис. 4.10). Система из двух точек, соединенных нитью, имеет четыре степени свободы и движется без трения в однородном поле тяжести. Составим функцию Лагранжа. Положим [c.230]

Гироскоп с потенциалом, зависящим только от угла нутации. Случай Лагранжа — Пуассона. Здесь, кроме А = В, надо еще положить лгд =Уо О, а потенциал, предполагаемый зависящим только от 0, можно рассматривать как функцию от единственного аргумента Уз = os 6. Мы уже знаем, что эти условия выполняются как при изучении влияния притяжения отдаленным телом Земли на ее вращение вокруг центра тяжести (п. 50), так и в задаче о движении тяжелого гироскопа (случай Лагранжа — Пуассона), для которого имеем U = [c.334]

Рассмотрим элемент стержня (рис. 7.1) при движении. Он отличается от элемента стержня, используемого в статике (см. рис. 3.3), тем, что его центр тяжести имеет поступательную скорость V и угловую скорость (О. в общем случае на элемент стержня могут действовать распределенные силы и моменты (рис. 3.3). При исследовании движения стержня внутренние силовые факторы (векторы Q и М), а также и, v и (о являются функциями s и t, что приводит к уравнениям в частных производных. В гл. 3 рассмотрены два случая возможных переменных при описании кинематики сплошной среды (переменные Эйлера и Лагранжа). На элемент стержня, показанного на рис. 7.1, действует сила инерции [c.161]

Точка движется в однородном поле тяжести по гладкому цилиндру радиуса R, ось которого образует угол а с вертикалью. Найти реакцию связи как функцию положения точки в цилиндрических и декартовых координатах с помощью уравнений Лагранжа I рода. [c.106]

Точка движется в однородном поле силы тяжести по гладкой сфере радиуса а. Найти реакцию сферы как функцию координат и скорости с помощью уравнений Лагранжа I рода. [c.106]

В 1788 г. Лагранж и независимо от него в 1815 г. Пуассон рассмотрели случай тяжелого симметричного гироскопа тело имеет ось материальной симметрии и поэтому 1х = 1у, а единственная заданная сила —это сила тяжести гироскопа, причем центр тяжести лежит, очевидно, на оси симметрии, но не совпадает с неподвижной точкой (иначе снова имели бы случай Эйлера) Лагранж и Пуассон получили общее решение снова в эллиптических функциях. [c.252]

GAB (связанной с диском) направим но оси симметрии диска. Координатами центра тяжести G будут т]. а sin 0, где а — радиус диска. Функция Лагранжа запишется в виде [c.137]

Используя эти уравнения для отыскания движения тела отно сительно Земли, отбросим, как пояснено выше, член В связи с соображениями, изложенными в п. 42, центр тяжест тела обычно делают неподвижным относительно Земли, так чт( в силовой функции не появляются члены, вызванные силой тя жести. Член, представленный символом К, также можно опу стить (п. 33). Если, кроме силы тяжести, на тело не действую-другие активные силы, то функция Лагранжа приводится к вид] [c.51]

Тогда эти центробарические компоненты будут теми же функциями времени и новых переменных элементов, которые могли быть выведены иначе посредством исключения из интегралов (Q2). Они будут строго представлять (путем распространения теории на эти ранее упоминавшиеся интегралы) компоненты скорости возмущенной планеты т относительно центра тяжести всей солнечной системы. Мы предпочли (и это вполне соответствует общему направлению нашего метода), чтобы эти центробарические компоненты скорости были вспомогательньши переменньши, объединяемыми с гелиоцентрическими координатами. Их возмущенные эначения были в этом случае строго выражены формулами невозмущенного движения. Этот выбор сделал необходимым видоизменить эти последние формулы и определить орбиту, существенно отличающуюся теоретически (хотя мало отличающуюся практически) от орбиты, так блестяще разработанной Лагранжем. Орбита, которую он себе представлял, была более просто связана с гелиоцентрическим движением единственной планеты, следовательно, она давала для такого гелиоцентрического движения как скорость, так и положение (планеты). Орбита, которую мы избрали, быть может, более тесно связана с концепцией множественной системы, движущейся относительно ее общего центра тяжести и подверженной в каждой ее части влиянию со стороны всех остальных. Какая бы орбита ни была в будущем принята астрономами, следует помнить, что обе они одинаково пригодны для описания небесных явлений, если числовые злементы каждой системы будут соответствующим образом определены при наблюдениях, а элементы другой системы орбит будут выведены из результатов наблюдения в процессе вычисления. Тем временем математики решат пожертвовать ли частично простотой той геометрической концепции, исходя из которой выведены теории Лагранжа и Пуассона для простоты другого рода (которая хотя еще не введена, но была бы желательна для этих превосходных теорий), получаемой благодаря нашим достижениям в строгом выражении дифференциалов всех наших собственных новых переменных элементов через посредство единственной функции (поскольку до сих пор казалось необходимым употреблять одну функцию для Земли, возмущенной Венерой, и другую функцию для Венеры, возмущенной Землей). [c.281]

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижно точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а вое силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось сиАГметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (симметрический тяжелый гироскоп — волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции. [c.246]

По существу уже в работе 1760 г., посвященной применению принципа наименьшего действия в динамике с использованием исчисления вариаций он с единой точки зрения выводит законы сохранения импульса и момента импульса на основе евклидовой симметрии пространства. Исходным при этом является принцип наименьшего действия, предполагающий выполнение закона сохранения энергии. На этой основе Лагранж получает прообраз своей общей формулы динамики , а затем, рассматривая в качестве допустимых виртуальных перемещений бесконечно малые сдвиги системы вдоль декар товых осей X, у, гж бесконечно малые вращения вокруг этих осей, получает в отсутствие внешних сил законы сохранения импульса и момента импульса. В работе 1777 г. он снова возвращается к открытому им методу вывода законов сохранения из евклидовой симметрии пространства, формулируя, однако, требования симметрии в отношении введенной им (и несколько ранее Д. Бернулли ) потенциальной или силовой функции системы. Б обеих его работах оставалась невыясненной симметрия закона сохранения энергии, а симметрии законов сохранения импульса и движения центра тяжести отождествлялись, совпадая с трансляционной симметрией пространства. [c.226]

ДОЛЖНО бы быть влияние на движение планет сопротивляющейся среды Даламбер исследова вращение планет около центра их тяжести и объяснил яв.яение прецессии Лагранж в своем методе изменения произвольных постоянных положил основание исследованию пертурбационной функции наконец, в появившейся в 1799 г. небесной механике Лапласа приложение теоретической механики к астрономии достигло своего апогея. [c.317]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Наиболее общий признак равновесия материальной системы формулируется началом возможных перемещений (принцип Лагранжа), В рассматриваемом случае все действующие силы (силы упругости и силы тяжести) обладают потенциальной функцией и принцип Лагранжа может быть выражен следующим образом необходимым и достаточным условием равновесия служит равенство нулю приращения потенциальной функции всех действующих сил (и внешних и внутренних) при любых возможных отклонениях от рассматриваемого положения. Характер равновесия (устойчивое или неустойчивое) исследуется с помощью принципа Дирихле в устойчивом состоянии [c.765]

Замечание (по поводу полиномов степени 3 типа II). Пусть Г1 — треугольник с вершинами 2, Рз и центром тяжести Хх, а ф —аффинное отображение, преобразуюш,ее Г1 в Д (рис. 15) и такое, что С, = ф(Р ), /=1, 2, 3, / = ф(51). Положим для функционалов G l(M) = g Q ) G 2 g)=дig Qi), Glз g)=дr Ql), =1,2, 3, и G g)=g R), а через Л,й и Л обозначим базис Лагранжа пространства полиномов степени 3, ассоциированный с функционалами G k и О, , =1, 2, 3. Пусть, наконец, Ьц, и — сужения на Тг функций базиса Лагранжа из и, ассоциированного с функционалами Р и г, к = , 2, 3. Обозначая через а,у элементы матрицы Якоби преобразования ф- , обратного к ф, легко проверить следующие соотношения [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...