Силовая функция системы тел

Силовая функция системы тел [c.323]

Силовая функция системы тел представляется формулой [11] [c.324]

Примечание. Силовая функция системы п + 1 твердых тел, элементарные частицы которых взаимодействуют по закону Гука, имеет такой простой вид (9.17) только благодаря специальному выбору собственных систем координат. При произвольном выборе собственных систем силовая функция будет иметь более сложный вид, хотя и представится конечной формулой. Но эта формула будет содержать не только координаты центров масс С,-, но и эйлеровы углы, а поэтому уравнения движения всей системы уже не разделятся на уравнения поступательного и вращательного движения по отдельности. [c.408]

Формулы, полученные в предыдущей главе, дают нам выражение для силовой функции эллипсоидального тела (полного эллипсоида или эллипсоидального слоя, однородного или обладающего эллипсоидальной структурой) и материальной частицы единичной массы, отнесенной к декартовой системе координат, совпадающей с главными осями эллипсоида. Если в этих формулах заменить / на / г, то мы получим выражение силовой функции тела на материальную точку массы х. [c.148]

С другой стороны, большие планеты солнечной системы, например, Земля, более близки по форме не к шарам, а к эллипсоидам (вращения или даже трехосным), а поэтому для приближенного представления силовых функций таких тел было бы более естественно использовать функции, имеющие более близкое отношение к эллипсоиду. [c.150]

Силовая функция системы взаимно притягивающихся тел (8.4), очевидно, не зависит от выбора абсолютной системы коор- [c.386]

В 2 этой главы было уже отмечено, что если каждое тело системы есть шар (или шаровой слой), обладающий сферическим распределением плотностей, то полная силовая функция системы приводится к виду [c.404]

Пусть 17(0, О - силовая функция системы, причем в - угол отклонения оси инерции тела от радиус-вектора орбиты. Вводится среднее по времени значение силовой ф -нкции [c.84]

Докажем, что центр масс находящейся в равновесии системы тяжелых тел занимает экстремальное положение, отложив доказательство второй части принципа Торричелли до изложения теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия при максимуме силовой функции. Ось Z направлена по вертикали вверх. Принцип возможных перемещений для равновесия системы тяжелых тел с массами и координатами аг,, у , z, дает [c.77]

Сравнение векторного и вариационного методов в механике. Векторная и вариационная механики — это два различных математических описания одной и той же совокупности явлений природы. Теория Ньютона базируется на двух основных векторах на импульсе и на силе вариационная теория, основанная Эйлером и Лагранжем, базируется на двух скалярных величинах на кинетической энергии и силовой функции . Помимо математической целесообразности возникает вопрос об эквивалентности этих двух теорий. В случае свободных частиц, движение которых не ограничено заданными связями , эти два способа описания приводят к аналогичным результатам. Однако для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. Заданные связи учитываются здесь естественным путем, так как рассматриваются движения системы лишь вдоль таких траекторий, которые не противоречат связям. При векторном подходе нужно учитывать силы, поддерживающие связи, а потому приходится вводить различные гипотезы относительно этих сил. Третий закон движения Ньютона ( действие равно противодействию ) не охватывает всех случаев. Он оправдывается лишь в динамике твердого тела. [c.19]

Когда в конструкцию намеренно вводится демпфирование, то несколько изменяются и отдельные узлы, поскольку при колебаниях конструкции ее части деформируются и в свою очередь воздействуют на присоединенные вязкоупругие элементы, рассеивающие энергию. Если для того, чтобы успешно решать задачи колебаний конструкции, используются демпфирующие материалы, то необходимо понимать не только поведение демпфирующих материалов, но также и связанную с этим задачу динамики конструкции. Для облегчения понимания часто оказывается эффективнее с точки зрения затрат исследовать математическую модель, дающую упрощенное представление о динамических характеристиках конструкции. Это могут быть математические модели самой разной сложности, начиная от системы с одной степенью свободы, соответствующей телу единичной массы, соединенному с пружиной, и кончая тонкими аналитическими представлениями о непрерывной системе с распределенными массой, жесткостью и демпфирующими свойствами, на которую действует распределенная возмущающая силовая функция. Степень сложности модели, используемой в процессе решения задачи, зависит не только от сложности конструкции, но и от времени и других ресурсов, которыми располагает инженер для решения задачи. [c.136]

При исследовании движения системы тел часто требуется определить не только вектор состояния системы у (координаты и скорости), но и силовое взаимодействие (реакции) между отдельными телами системы. В качестве наиболее простой физической модели аналогичных задач можно привести следующую задачу. Груз массой т движется со скоростью v по абсолютно жесткой балке с упругим закреплением (рис. 10.19, а). Правая опора балки представляет собой пружину с жесткостью с и демпфером жидкого трения (коэффициент трения равен а). На массу т действует случайная сила /(г), ограниченная по модулю. Между балкой и массой т возникает реакция N, которая зависит от поведения во времени функции / внутри области возможных значений. При расчетах требуется определить максимально возможное значение динамической реакции N, возникающей между массой т и балкой. [c.436]

Силы, стремящиеся изменить внутренние координаты комбинированных систем, вместе с силами, которые воздействуют со стороны каждой из систем на тела, представленные так называемыми внешними координатами, могут быть выведены из единой силовой функции, которую, взятую с обратным знаком, мы назовем потенциальной энергией комбинированных систем и обозначим через Мы предположим, что первоначально ни одна из систем Двух ансамблей и не попадает в сферу действия другой, так что потенциальная энергия комбинированной системы распадается на две части, соответствующие комбинируемым системам по отдельности. То же самое, очевидно, справедливо и для кинетической энергии ложной комбинированной системы и, следовательно, для ее полной энергии. Это может быть выражено уравнением [c.159]

Проведем из точки О как из центра сферу радиусом , охватывающую все внутренние тела, и будем рассматривать содержимое в этой сфере как свободную систему, присоединив к ее поверхности соответствующие силы гидродинамического давления. Для такой системы можем написать, что сумма моментов всех действующих сил относительно оси О х равна производной по времени от суммы моментов относительно той же оси количеств движения всех материальных точек системы. Сумма моментов сил, действующих на взятую нами систему, сложится из суммы моментов внешних сил, действующих на погруженные тела, и суммы моментов сил, имеющих силовую функцию V и действующих на частицы жидкости, потому что силы гидродинамического давления, приложенные к поверхности сферы, пересекают ось О х и не имеют относительно ев моментов. [c.440]

Исходя из этой формулы, Лагранж получает все частные и общие свойства равновесия механических систем шесть уравнений равновесия твердого тела, условия равновесия систем, подчиненных связям (способ множителей Лагранжа), условие устойчивого равновесия консервативной системы, введение силовой функции (без какого-либо названия) — вот далеко не полный перечень важнейших оригинальных вкладов Лагранжа в развитие аналитической статики. Следует подчеркнуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа является не просто формальной операцией вычислительного характера, а содержит в себе принцип освобождаемости от связей, впервые четко сформулированный и разработанный для различных случаев [4, с. 111] ...таким образом,, применяя эти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям . [c.101]

Центр тяжести системы расположен выше неподвижной точки (рис. 28.1). Учитывается внешнее вязкое трение. Сопротивление отклонению оси тела от вертикали оказывает радиальная податливая опора, обладающая упругими свойствами и гистерезисом. Показано, что реакция этой опоры представляется силовым полем, получаемым в результате применения композиции оператора Гамильтона и оператора поворота к силовой функции (после линеаризации это поле позиционной неконсервативной силы). [c.192]

Там только закон взаимодействия определялся законом Ньютона, общим для всей системы, определяемым силовой функцией каждой пары тел [c.406]

Следовательно, полная силовая функция всей системы тел, как показывает формула (9.12), также имеет простой вид [c.408]

Выражение силовой функции, так же как и составляющих силы притяжения, зависит от формы тела, от его внутреннего строения, а также от положения тела относительно избранной системы координат. [c.22]

Определяя взаимную силовую функцию любой пары тел Ti 3 (. /=1- 2,. . ., п, 1Ф]) той же формулой (1.30 ), введем силовую функцию всей материальной системы тел Ti, Тг,. .., Тп формулой [c.41]

Эта силовая функция зависит только от расстояния У точки Р до центра О слоя (или шара), а следовательно, вовсе не зависит от углов Эйлера, определяюш,их ориентацию собственной системы координат. Поэтому составляющие сил притяжения, действующих на точку Р и на тело Т (с центром приведения в точке О), найдутся по очевидным формулам [c.104]

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые важные частные случаи, в которых притягивающее тело обладает некоторой геометрической и динамической симметрией, вследствие чего разложение силовой функции надлежащим выбором системы координат может быть значительно упрощено. [c.227]

Для вычисления этого интеграла мы можем отнести тело Т к собственной системе координат с началом в точке О1, а тогда ясно, что написанное выражение представляет собой силовую функцию тела Г1 на материальную частицу с массой тг//, находящуюся в точке Ог. Следовательно, если , т), суть координаты О] относительно Ог, то ——т], — суть координаты Ог относительно Оу (оси обеих систем, по условию, параллельны), и мы будем иметь, применяя опять формулы (5.34), (5.35) и (5.37), [c.257]

Полная силовая функция t/является поэтому некоторой функцией от 6п + 6 независимых переменных, определяющих положения и ориентации всех тел системы. Полезно отметить, что силовая функция не зависит ни от времени (явно), ни от производных величин (8.1). [c.384]

Так как силовая функция U не зависит от эйлеровых углов тел-шаров, то уравнения (8.6) и (8.6 ) не будут содержать этих переменных, а поэтому порядок системы, определяющий остальные неизвестные, будет на 6k единиц ниже порядка первоначальной системы (8.7). [c.394]

Полезно отметить, что в рассмотренном случае переменные углы собственного вращения тел Мо, Mi,. .., М являются циклическими координатами системы. В самом деле, силовая функция и не зависит, как уже было замечено, от величин фо, фь. ... .., p/i- Живая сила Ti тела Mi, определяемая формулой (8.3), также не зависит от ф,, так как [c.395]

Так как силовая функция Uij взаимного притяжения двух тел Mi и Mj зависит только от разностей координат точек Gi и Gj ), то полная силовая функция U всей системы (8.4 ) зави- [c.396]

Совершенно очевидно, что во всяком другом случае мы не будем иметь полного расщепления системы (8.7) на две независимые системы, так как силовая функция V обязательно будет зависеть и от координат точек О,- и от эйлеровых углов тел Mi. [c.404]

Считая, что наименьшее из обратных расстояний Rij между телами системы таково, что третья степень его обратного значения есть величина настолько малая, что ею можно пренебречь, мы можем заменить полную силовую функцию U ее приближенным выражением U° по формуле (8.27) ). В этом приближении силовая функция будет зависеть только от прямоугольных координат точек Gi, а поэтому общие уравнения поступательно-вращательного движения разделятся на две системы. [c.405]

Таким образом, при указанной степени приближения силовой функции поступательные и вращательные движения тел не зависят друг от друга. Кроме того, очевидно, что вся система (8.28 ) распадается на п+1 независимых систем, каждая из которых определяет вращательное движение каждого из тел системы так, как будто бы оно не подвергается воздействиям внешних сил (случай Эйлера вращения абсолютно твердого тела). Известно, что каждая из систем (8.28 ) интегрируется в квадратурах при помощи эллиптических функций. [c.405]

В следующей главе будут рассмотрены более подробно различные формы, которые может иметь силовая функция. А сейчас покажем, как ее найти для системы тел, которые движутся под действием только одних сил тяжести при наличии связей. [c.126]

В предыдущих параграфах мы рассматривали задачу о разложении силовой функции притягивающего тела, форма и строе ние которого предполагались достаточно произвольными. Система координат, к которой относилось наше тело и притягиваемая материальная точка (едпничной массы), вообще оставалась какой угодно, и лишь в одном случае мы показали, как упрощается разложение, если за систему координат принять главные центральные оси инерции притягивающего тела. [c.227]

На основании классической теоремы Лежен-Дирихле (п°283), материальная система находится в устойчивом равновесии во всяком положении, в котором силовая функция (в предположении, что она существует) имеет максимум. В рассматриваемом случае работу совершает только сила тяжести, и соответствующая силовая функция проходит через максимум одновременно с направленной вниз вертикальной координатой центра тяжести равновесие будет устойчивым, если при всяком виртуальном перемещении тела центр тяжести поднимается. Мы будем считать очевидным, что равновесие не может быть устойчивым, если имеются виртуальные перемещения, при которых центр тяжести опускается. [c.281]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Функция И есть та самая функция, через производные которой Лагранж выразил силы, которыми движущаяся система действует на внешние тела. Ввиду того, что функция Я играет важную роль во всех относящихся сюда задачах, я хотел бы именно вследствие указанной ее связи с силами предложить для нее название кинетического потенциала. В различных разделах физики предложен целый ряд соответствующих названий. Сюда относится потенциал двух электрических токов Ф. Е. Неймана, электродинамический потенциалР. Клаузиуса ) Дж. У. Гиббс ) называет в термодинамике ту самую функцию, которую я называю свободной энергией, силовой функцией для постоянной температуры, тогда как П. Дюгем ) называет ту же функцию термодинамическим потенциалом. Таким образом, имеется достаточно прецедентов для выбора нового названия. [c.431]

При взаимном притяжении точек нет необходимости предполагать, что закон, по которому две точки взаимно притягиваются, будет один и тот же для любых двух точек системы напротив, можно делать в этом отношении любое допуш,ение, предполагая только, что притяжение зависит исключительно от расстояния и что какая-нибудь масса притягивается другою массою т - с той лее самой силой, с какой т. притягивается г,. Отмеченное обобщение не бесполезно так, например, Бессель высказал сомнение в том, что в мировой системе между любыми двумя телами имеет место один и тот. vi.e закон притяжения. Он высказал гипотезу, в которой вопрос рассматривался не с той точки зрения, что в законе меняется функция расстояния, а с той, чао тело солнечной системы, например, само солнце, притягивает Сатурна другой массой, чем Урана. Эта гипотеза не помешает введению силовой функции. Но кроме взаимных притяжений масс могут также присоединиться нритя-жения к неподвижным центрам. Можно даже предположить, что, конечно, является только математической фикцией, что каждый из ненодвижных [c.12]

Пример [13], Пусть твердое тело с полостью, целиком заполненной жидкостью, двн-жется вокруг неподвижной точки О в поле сил с силовой функцией (У(7з) Д-ля простоты предположим, что для точки О главные оси инерции тела н жидкости совпадают. Обозначим через А В , Су (I = 1, 2, 3) моменты инерции относительно осей соответственно твердого тела, жидкости и всей системы Уравнения движения (4) — (6) с граничным условием (7) допускают частное решеиие [c.299]

Пусть неподвижная точка тела О закреплена на расстоянии R от центра притяжения О. Поместим в неподвижную точку тела начало О неподвижной системы координат OXYZ, причем ось 0Z направлена от центра притяжения. Свяжем с точкой О еще подвижную систему координат Ox y z оси которой направлены по главным осям инерции тела. Пусть у, у у" — направляющие косинусы этих осей с осью 02. Силовая функция и ньютоновского ПОЛЯ сил, действующего на твердое тело, дается формулой (1.2.3). [c.379]

Пример 3.3.1 [Моисеев, Румянцев, 1965]. Рассмотрим устойчивость движения около неподвижной точки твердого тела с полостью, целиком заполненной однородной вязкой жидкостью. Пусть тело движется вокруг неподвижной точки О в поле сил с силовой функцией и = /(уз) У и Уг, Уг косинусы углов, образуемых с неподвижной, направленной вертикально вверх осью Охз осями системы координат Ох хгхг, жестко связанной с телом. Оси Oxj направлены по главным осям инерции системы для точки О, которые для простоты будем предполагать главными осями инерции как твердого тела, так и жидкости в полости. [c.186]

Поэтому здесь мы будем преимущественно рассматривать тело Т как притягивающее, а материальную точку Р, массу Которой примем для упрощения равной единице, как притягиваемую. Таким образом, мы можем предполагать, что гело Г Неподвижно относительно некоторой неизменной системы координат Охуг, которую будем выбирать иногда для большей простоты каким-либо особым образом. Следовательно, силовая функция и составляющие силы притяжения будут рассматриваться как [c.55]

Пус1ь притягивающее тело Т является прямолинейным ма-" риальным отрезком (стержнем ), вообще говоря, неоднородным. Тогда в обозначениях 3 гл. П мы имеем следующее выражение для силовой функции такого сгержня на внешнюю точку единичной массы, в произвольно выбранной системе [c.237]

Обозначим, как и в гл. I, через т),-, координаты точки жестко связанной с телом 7,-, и через д,, ф — углы Эйлера, определяющие ориентащ1Ю собственной системы координат с началом в точке (7г относительно абсолютных осей. Тогда силовая функция есть некоторая функция от 12 независимых переменных [c.254]

Если силовую функцию обозначить через U, то работа, совершенная силами при перемещении из одного данного положения в другое, представится определенным интегралом — Uy, где Ui и и2 — значения функции U, соответствующие двум указанным положениям тел. Отсюда следует, что работа не зависит от способа перемещения системы из одного данного положения в другое. Другими словами, работа зависит от координат начального и конечного положений и не зависит от координат любого промежуточного положения. Система сил, обладающая этим свойством, т. е. обладающая силовой функцией, называется консервативной системой сил. Это название ввел сэр Томсон У. (Thomson U ) позднее получивший титул лорда Кельвина (Kelvin). [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...