Матрица упругих констант

М+4В](4 (9.8.37) Матрица [/)] упругих констант для изотропной оболочки определяется зависимостями (9.5.4). После подстановки формул (9.8.36) и (9.8.37) в выражение (9.8.35) и интегрирования по Z левой части уравнения условие равновесия тонкой оболочки вращения, соответствующее принципу возможных перемещений, [c.177]

Подставляя компоненты матрицы (6.17) в формулы (2.27) и (3.78) преобразования тензоров напряжений и деформаций, находим, что матрица упругих констант для среды, [c.203]

Если среда обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, то она называется ортотропной, а матрица упругих констант (в системе координат, в которой координатными плоскостями являются плоскости симметрии) имеет форму [c.203]

Доказать, что для ортотропной упругой среды (с тремя ортогональными плоскостями упругой симметрии) матрица упругих констант имеет вид (6.19). [c.215]

Подробно провести операцию по сведению матрицы упругих констант (6.19) для ортотропного материала к матрице для изотропной среды (6.20). [c.216]

Написать матрицу упругих констант для среды, имеющей ось упругой симметрий порядка N=4. Считать при этом Сцм = [c.217]

С34 = Сз5 = Сзе = О, Сз1 = Сзг. Аналогично, используя остальные пять соотношений для напряжений, запишем матрицу упругих констант так [c.218]

Матрица упругих констант в данном случае имеет вид [c.223]

Машинная реализация осесимметрической задачи теории упругости почти идентична реализации на ЭВМ двумерной задачи. Поскольку ни плоская деформация, ни плоское напряжение не имеют отношения к осесимметрическому случаю, матрицу упругих констант здесь выбирать не приходится. Координаты элемента в осесимметрической задаче должны быть отнесены к глобальной системе координат. Для одномерной, двумерной или трехмерной задач координаты элемента могут быть отнесены либо к местной, либо к глобальной системе координат. [c.234]

Матрица упругих констант [c.12]

В частности, для изотропного материала при изменении температуры Г по сравнению с температурой свободного от напряжений тела имеем е " =е =б =схГ, 7).г =0. Матрица упругих констант совпадает с матрицей для плоско-деформированного состояния лишь с тем отличием, что здесь для учета третьей компоненты напряжений необходимо добавить строку и столбец. Для изотропного материала имеем [c.329]

Заключенное в скобки и обозначенное точками выражение представляет собою функцию упругих констант, которая зависит от Vj. Но эта зависимость не должна нас интересовать. Существенно то, что сопротивление раскрытию трещины происходит за счет пластической деформации матрицы, оно уменьшается с уменьшением объемной доли матрицы, т. е. увеличением Vj. При У/ = 1 следует считать G = О, что мы и делали по существу, предположив, что разрыв одного волокна в цепочке приводит к раз- [c.702]

Выражения для расчета упругих констант слоя с искривленными волокнами приведены в табл. 3.3. Они получены из известных формул пересчета компонент матрицы податливости при повороте главных осей упругой симметрии 13 материала вокруг оси 2 в соответствии с (3.10) и (3.11). [c.63]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

Расчет эффективных упругих констант в плоскости композиционного материала ( ,, Е , 12, <3 2) с учетом компонент матрицы жесткости в случае плоского напряженного состояния несколько проще, чем в случае плоской деформации. Это связано с тем, что компоненты матрицы податливости в плоскости материала при плоском напряженном состоянии находят обращением матрицы жесткости второго порядка, а при плоской деформации после обращения матрицы жесткости необходимо еще учесть добавки к полученным компонентам матрицы [c.73]

Движение дислокаций в сплаве, упрочненном когерентными выделениями, определяется [141] полями искажений кристаллической решетки в окрестности когерентных выделений (зон), различием упругих констант и энергией дефектов упаковки выделения и матрицы, увеличением поверхности зоны при срезе частицы, взаимодействием между дислокациями и вакансиями (образование перегибов) и другими факторами. [c.71]

Для материалов со слабой поверхностью раздела большой интерес представляет распределение радиальных напряжений на границе раздела волокно — матрица. Распределения напряжений, представленные на рис. 1а — 1д, взяты из ранее неопубликованной работы [4]. Упругие константы были приняты соответствующими обычному стеклопластику с полиэфирной смолой. На рис. 1а изображен основной элемент для квадратной укладки волокон. Из условий непрерывности границы элемента должны в процессе нагружения оставаться прямолинейными. На рис. 16 дано полярное представление усадочных температурных напряжений при [c.335]

Композиционные материалы состоят из разнородных компонентов, отличающихся друг от друга коэффициентами линейного расширения и упругими константами, поэтому остаточные напряжения в композиции возникают в процессе ее охлаждения от температуры получения. Предполагается, что вначале при охлаждении в матрице происходит свободная пластическая деформация до тех пор, пока матрица не перейдет в упругое состояние. Решение задачи о температурных остаточных напряжениях в ориентированных композициях можно свести к решению задачи о распределении напряжений в цилиндрическом сердечнике с оболочкой. Задача вначале решается в упругом приближении. Воспользуемся конечными формулами [24] для расчета радиальных а , тангенциальных сГд и осевых напряжений в матрице на границе раздела с волокном [c.62]

Если допустить, что Yi равно деформации в изолированном сферическом включении t-того компонента в бесконечной изотропной упругой матрице, подвергающейся в бесконечности сдвиговым напряжениям и имеющей упругие константы (пока неизвестные) гетерогенной композиции (рис. 3.3, а), то сдвиговая деформация в сферическом включении является однородной и равной [c.154]

Если число фаз в гетерогенной композиции больше двух, характеристика ее морфологии и выбор метода расчета упругих и вязкоупругих свойств значительно усложняется. В качестве примера рассмотрена тройная композиция, представляющая собой смесь двух типов гомогенных частиц наполнителя с различными упругими константами матрицы. Расчеты верхнего и нижнего пределов по уравнениям (3.4) и (3.5) можно производить прямым путем, однако при использовании уравнений (3,11) и (3.12) возникает некоторая неопределенность. Эти уравнения, в принципе, можно использовать непосредственно для расчета модулей многокомпонентных систем, однако лучшие результаты дает двухступенчатое применение уравнений [17]—сначала для расчета модуля композиции с одним типом частиц, а затем для расчета модуля композиции в целом на основе полученных данных о модуле матрицы с учетом свойств другого типа частиц дисперсной фазы. По-видимому, не существует теоретического обоснования порядка такого двухступенчатого расчета. Было показано [46], что результаты, полученные для модуля упругости при сдвиге при ступенчатом использовании уравнения (3.14), зависят от порядка чередования типа частиц наполнителя при расчете и не эквивалентны результатам расчета при использовании трехкомпонентной формы уравнения (3.12). Определенную роль при этом играет относительный размер частиц наполнителей разных типов. Кажется естественным, что если размер частиц наполнителя одного типа в среднем значительно больше второго, то меньшие частицы и матрица совместно образуют более эффективную матрицу для более крупных частиц. Экспериментальные данные по [c.168]

Матрица [D] упругих констант для изотропной оболочки определяется зависимостью (3.105). После подстановки формул 9.36) и (9. 37) в выражение (9.35) и интегрирования по г. левой части уравнения получим условие равновесия тонкой оболочки вращения, соответствующее принципу возможных перемещений, в виде [c.262]

Поскольку dw — полный дифференциал, дш/де т — О тге — Стп п-Дифференцируя обе крайние части по е , имеем d dwldem)lden = = Стп. Вследствие того, что левая часть симметрична по m и и, aw — функция только состояния, заключаем, что порядок дифференцирования не имеет значения, т. е. из энергетических соображений накладываются дополнительные ограничения Стп = Спт Smn = =Snm и матрицы упругих констант симметричны, т. е. из 36 остается 21 неодинаковая константа. Вследствие симметрии кристалла число независимых констант уменьшается. [c.23]

Если упруп е свойства среды не зависят от выбора системы координат, использованной для их описания, то такую упругую среду называют изотропной. Среда, которая не является изотропной, называется анизотропной. Упругие свойств.а твердого тела, подчиняющегося закону Гука, выражены коэффициентами С/<лг, поэтому в общем случае анизотропное тело имеет следующую матрицу упругих констант [c.202]

Сз8 = С45 = С54 = 81 = Свг = Свз = О и матрица упругих констант принимает вид (6.19). Читателю предлагается проверить, что упругая симметрия относительно (третьей) плоскости Х1Х3 при такой матрице получается автоматически. [c.216]

Если число сфер в модели велико, то благодаря их гексагональной упаковке всю модель можно рассматривать как соответствующий кристалл с осью симметрии, совпадающей с осью 2, для которого справедлива следующая матрица упругих констант Сц, входящих в формулу (1,52) для открытой системы [Гасман Ф., 1951 г.] [c.22]

В безграничной изотропной матрице. Пусть система ре-лаксировала затем к радиусу Го. Включение будет находиться в состоянии равномерного всестороннего расширения пли слсатия, которое может считаться вызванным соответствуюш[им эквивалентным давлением Р. Сохраняя принятые в 3 обозначения ос> Ц, о для упругих констант матрицы и х, р,, о, для включения и замечая, [c.93]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Некоторое сужение вилки Хилла, определяющей расчетный интервал изменения упругих констант композиционного материала, достигается вариационными методами. При этом изменение ширины вилки, как показано Хиллом, зависит от упругих свойств компонентов материала. Если относительная разность модулей упругости велика, что характерно для материалов на основе полимерной матрицы, то применение вариационных методов не приводит к существенному сужению вилки Хилла. [c.55]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Сведение трехмерноармированной среды к однонаправленно-армированной. Суть третьего подхода заключается в том, что арматура материала, уложенная в двух направлениях, усредняется со связующим в макроскопически однородную анизотропную матрицу, упругие характеристики которой определяют по расчетным зависимостям для ортогонально-армированного материала. Расчет упругих констант последнего подробно изложен в работе [49]. Анизотропная матрица представляется пронизанной волокнами третьего направления. Выражен ния для расчета упругих констант трехмерноармированного композиционного материала, полученные на основе подхода работы [49], приведены в табл. 5.2. Верхние индексы в скобках при упругих постоянных обозначают направление укладки арматуры, нижние — компоненты матрицы податливости. [c.125]

Подводя итоги, можно сказать, что мы описали способ определения эффективных коэффициентов jj, Dap. т. е. матрицы жесткостей на растяжение, матрицы совместного влияния и матрицы жесткостей на изгиб соответственно, а также эффективных коэффициентов расширения для анизотропных слоистых композитов или для материалов, в которых упругие константы меняются по одной координате. Постановка задачи является строгой в рамках трехмерной теории упругости неоднородных тел. Не предполагалось локальной симметрии материала, т. е. в каждой точке среды упругие определяющие соотношения могли содержать 21 независимый модуль. [c.59]

Как только были созданы вычислительные программы для расчета перемещений в характерном элементе системы волокно — матрица, стало доступным рассмотреть широкий класс возможных расположений волокон и свойств компонентов. Можно исследовать частные случаи нагружения параллельно направлению укладки волокон, перпендикулярно этому направлению, случаи сдвига параллельно и перпендикулярно волокнам и с.лучаи температурной усадки. Более общие результаты можно получить при суперпозиции этих простых видов нагружения. Таким образом, возможно определить основные константы композита, распределения напряжений и деформаций в матрице, распределение напряжений около границы раздела волокно — матрица, а также на основе различных критериев можно предсказывать разрушение. Справедливость результатов обычно проверяется точностью предсказания упругих констант однонаправленных композитов. Предсказания прочности знаяительно менее надежны. [c.335]

Как и в большинстве теорий прочности композитов, в анализе, использующем критерий тина Хплла, в качестве основной технологической единицы слоистого материала принимается однонаправленный слой. Модули композита, его матрицы жесткости и податливости вычисляются по четырем независимым упругим константам материала слоя при помощи обычных процедур преобразования и интегрирования (см. разд. 4.3). Деформации композита, вызванные любой приложенной нагрузкой, определяются при помощи его упругих свойств. Затем рассчитываются деформации е,/ и напряжения ац каждого слоя, и при помощи критерия прочности Хилла оценивается напряженное состояние каждого слоя [c.152]

В данной главе использована модель системы волокно — матрица, представляющая собой регулярный массив волокон круглого поперечного сечения, помещенных в матрицу, имеющую форму прямоугольной призмы (рис. 7.3). Напряженное состояние этой микроструктуры исследовано при помощи метода конечных элементов (элементов в виде треугольных призм, в которых напряжепное состояние однородно). При таком подходе каждый компонент композита представлен большим числом элементов. Увеличение числа элементов приводит в общем к повышению точности расчета упругих констант слоя и позволяет получить более близкое к реальному распределение напряжений, возникающих при термомеханических воздействиях. [c.258]

Анизотропный материал задается матрицей упругости (матрицей Гука), которая содержит в верхнем треугольнике 21 независимую константу. При моделировании конструкции двумерными конечными элементами применяется двумерная моле.ть анизотропного материала, характеризующаяся шестью независимыми упругихш константами. [c.215]

О. — модель Хилла — Будянского каждая фаза [ о очереди рассматривается как сфера (1), окруженная бесконечной изотропной упругой матрицей (2) с упругими константами гетерогенной композиции. [c.153]

Разными авторами было предложено несколько методик расчета четырех упругих констант однонаправленных волокнистых композиционных материалов по свойствам компонентов — волокон и матрицы, различающихся только принимаемыми приближениями и допущениями. [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...