Дифференцирование приближенное

Наиболее сильным источником погрешностей при непосредственном вычислении частоты по формуле (П.72) является то обстоятельство, что если даже сама кривая прогибов функцией / (х) изображается достаточно точно, то вторые ее производные могут сильно отличаться от истины (при дифференцировании приближенных кривых погрешность может резко нарастать). Вычисление же числителя формулы (П.72), равного удвоенной потенциальной энергии изгиба вала, предполагает именно задание второй производной функции f (х)-, в то же время известен и другой способ вычисления потенциальной энергии — через работу внешних сил, при котором производные в формулу для нее не входят. [c.82]

Нормальное распределение (рис. 28) (часто называемое гауссовским) играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающееся на практике распределение. Даже в тех случаях, когда распределение заведомо не является нормальным (например, для механических характеристик материала, которые всегда положительны), им нередко пользуются для приближенной замены реальных законов распределения, так как усечения обычно невелики. Кроме зтого, если случайная величина распределена нормально, то распределение остается нормальным и после линейного преобразования случайной величины (включая операции дифференцирования и интегрирования). [c.107]

Классические значения поступательной и вращательной составляющих теплоемкости идеального газа могут быть вычислены подстановкой соответствующих классических сумм состояний в уравнение (4-13). Вместе с тем те же выражения можно получить дифференцированием по температуре приближенного классического выражения для внутренней энергии в функции температуры при условии постоянства объема. [c.121]

На практике приближенное равенство погрешностей 5, и 2 осуществляется, например, с помощью коррекции величины шага дифференцирования при 1б1(уо)1 > 52(Тй)1 величина Дх уменьшается, а при 51 О о )1 < 1 2(Уо )1 увеличивается в определенное число раз. [c.70]

На этом свойстве краевого эффекта строится приближенная теория его расчета. При дифференцировании функций, изображающих затухающие колебания с большим коэффициентом затухания, значение производной всегда больше значения самой функции на величину коэффициента затухания. Поэтому при выводе основных уравнений краевого эффекта возможно везде, где суммируются усилия, деформации и перемещения оболочки с их производными, принимать во внимание лишь производные [c.243]

Значения температуры в узлах сетки являются искомыми, поэтому для получения приближенного решения задачи необходимо отрегулировать эти значения температуры таким образом, чтобы обеспечивался минимум функционала (23.26). Условием минимума функционала является равенство нулю первых производных от него по температурам во всех узлах сетки. В результате дифференцирования (23.26) по всем неизвестным температурам получается система линейных алгебраических уравнений. Последующее решение этой системы уравнений каким-либо известным методом дает приближенное решение исходной задачи. [c.247]

Приближенное выражение для скорости vb можно получить дифференцированием формулы (5.6). Действительно, [c.88]

Уравнения (125) показывают, что при малом затухании эффективные комплексные характеристики можно получить прямо из аналитических или численных упругих решений. Очевидно, что, если берется приближенное упругое решение, то ошибка в вещественной части F вязкоупругих свойств идентична погрешностям упругого решения, в то время как относительная ошибка тангенса угла потерь может быть больше, так как в его выражение входят производные от упругих решений. Кроме того, численное упругое решение можно использовать даже в том случае, когда тангенсы углов потери составных частей композита не являются малыми. Однако если в рядах Тейлора необходимо сохранить члены второго и более высоких порядков, то результирующее уравнение для эффективных комплексных характеристик окажется гораздо сложнее, а дифференцирование численного решения введет новые погрешности это устанавли- [c.152]

В разд. Е мы рассмотрим некоторые приближенные формулы для прочности слоистого композита. Законы масштабного изменения прочности при переходе от модели к прототипу можно, однако, получить из точного уравнения (30) для напряжения разрушения без знания этих приближенных соотношений. Логарифмическое дифференцирование уравнения (31) для случая большого числа N параллельных элементов снова приводит к простому соотношению (32а), хотя значение п = L/8 также увеличивается с увеличением размера. Заметив, что безразмерное напряжение s включает в себя произведение ширины отдельных элементов w (толщина слоистого композита) на а и что N — где W — общая [c.194]

Получение таких данных с точностью, достаточной для проведения практических расчетов, связано с применением того или иного вида аппроксимации. Наиболее перспективным является использование сплайн-аппроксимации, представляющей относительно новое направление в теории приближения функций,-дающей существенно большую точность при численном дифференцировании диаграмм деформирования по сравнению с расчетами с использованием метода наименьших квадратов и других аналогичных методов, связанных с аппроксимацией полиномом с одними и теми же коэффициентами во всей области определения функции. [c.122]

Производные, входящие в коэффициенты уравнения (29), могут быть определены дифференцированием формул вида (2). Эти формулы неудобны для практического использования из-за необходимости выполнять операции логарифмирования при расчетах. Поэтому укажем ниже более простой способ расчета производных. Для этого получим приближенную формулу адиабатического расхода газа, завышающую в самом неблагоприятном случае лишь на 3% величину критического расхода газа относительно его точного значения. Покажем вывод формулы на примере расхода [c.86]

Показатель отнесен к четвертому уровню табл. 3.2. Естественно, что величину гораздо легче нормировать, чем К и ЛГ,,, так как при этом можно привлечь данные, полученные при исследовании устройств, отличающихся массой, числом позиций и требованиями к повторяемости позиционирования. Приближенность определения не имеет большого значения на этапе проектирования. А при эксплуатации она может быть дифференцированно определена и нормирована для группы механизмов путем статистической обработки данных, собранных при исследовании родственных конструкций. Как будет подтверждено ниже, для резко различных условий работы поворотно-фиксирующих устройств автоматов и механизмов позиционирования манипуляторов нормы на величины ам, применяемые при проектировании, следует существенно дифференцировать (в отдельных случаях может потребоваться и уточнение структуры зависимостей). [c.45]

Для приближенного (численного) дифференцирования /(а) последняя заменяется одной из интерполяционных формул [c.304]

Испытательная аппаратура. Вследствие дифференциальной зависимости между перемещением, скоростью и ускорением каждая из указанных величин может измеряться либо непосредственно, либо при помощи другой величины с последующим автоматическим дифференцированием или интегрированием в соответствующей аппаратуре. При отсутствии приборов для автоматического дифференцирования и интегрирования последующая обработка результатов измерения производится графическими или приближенными аналитическими способами. [c.432]

Погрешность определения Ох по формуле (4.13) весьма значительна. Она связана в основном с дифференцированием опытных профилей температуры и возрастает по мере приближения к центру трубы [16]. Одновременно по тем же причинам увеличивается и неопределенность, связанная с выбором выражения для Vt. Существуют формулы для Vt, КОТО-рые сходны между собой вблизи стенки (за исключением вязкого подслоя) и заметно отличаются в центральной части [17-19]. [c.94]

Однако, как следует из рассмотрения природы кромочных потерь, изложенной в начале параграфа, определение по выражению вида (71) и в случае дифференцированного определения т является приближенным. [c.50]

Поскольку в первом приближении можно принять = а из дифференцирования известно, что d n и), то [c.321]

Дифференцирование уравнения (1-32) и последующие преобразования в основном соответствуют предыдущему выводу. Однако все операции здесь уже приходится проводить с точностью до членов второго порядка малости и в дополнение к функции (1-29) использовать приближенное соотношение [c.16]

Еще раз отметим, что принятые здесь нормы жесткости являются весьма приближенными. Они введены только для учебных расчетов с тем, чтобы показать студентам порядок величин. Отраслевыми стандартами и инструкциями предусматривается дифференцированный подход к определению норм жесткости с учетом дополнительных факторов, например ширины и высоты зуба шестерни, скорости вращения, точности зубчатой передачи, радиального биения конца вала и т. п. Этот подход выходит за рамки курса сопротивления материалов и здесь не рассматривается. [c.498]

Приближенный способ учета влияния податливости подшипников качения на критические скорости (собственные частоты) заключается в следующем. При дифференцировании зависимости (97) по f находят жесткость подшипника при статической нагрузке W = Wo . [c.174]

Практически прибегают к приближенному графическому дифференцированию кривых Г = ф (х) и (р (х)у для чего отрезок, соответствующий длине очага [c.50]

Только что рассмотренный итерационный процесс для вычисления предельного углового ускорения Шц (t) движения ротора переменной массы непосредственно связан с соотношением (6.51), полученным путем дифференцирования приближения (t) к предельной угловой скорости t). Из этого соотношения (6.51) видно, что, вообш е говоря. [c.238]

Очевидно, что точность решения при определении напряжений меньше, чем при нахождении перемещений в связи с тем, что при дифференцировании приближенных функций их производные оказываются еще более приближенными. При х = НА, если п = 1, метод Рэлея—Ритца дает М = —2 )/2 qp, что на 2,8 % отличается от М = —(3/32) qP, соответствующего решению по формуле (3.7 ). Однако и здесь, если использовать большее число членов ряда (3.8), можно близко подойти к точному решению. [c.67]

Величину коэффициента режима можно достоверно определить путем дифференцированного изучения условий и режимов эксплуатации и их влияния на долговечность, что составляет задачу статистической теории долговечноети. При отсутствии уточненных данных можно в качестве первого приближения принимать для средних условий эксплуатации Преж = 1 тяжелых 1,2-1,5 легких — 0,7-0,8. [c.23]

Можно показать [26], что для широкого класса гладких функций знание точного значения величины не приводит к заметному снижению погрешности. Нечувствительность погрешности к величине позволяет при определении шага дифференцирования использовать весьма приближенное значение (верхнюю оценку) величины полученное на основе качественной информации о характере дифференцируемой функции. Применение изложенных юображений упрошает программу. [c.71]

Метод решения вариационного уравнения Лагранжа. Уравнение Лагранжа (6.41) дает удобный метод приближенного решения задач МДТТ без дифференцирования напряжений. Это особенно важно при решении задач теории пластичности. Представим выражение Oijbeij в виде [c.128]

Дирихле задача 130 Дифференциальное приближение разностной схемы 160 Дифференцирование численное 10 [c.228]

Вид функции g(t) можно приближенно определить с помощью графического дифференцирования переходной функции h i). При t j> О функция g(t] сначала монотонно растет и достигает в некоторой точке tm максимального значения. Затем при t > tm она монотонно убывает, стремясь при t- oo к нулевому значению. На рис. 5.3 изображены графики функций g t) при различных значениях Ре. В том случае, когда Ре- оо, т. е. гидродинамическая структура потоков в абсорбере близка к структуре, описываемой моделью идеального вытеснения, g t) имеет вид колоколообразной функции. При этом чем больше Ре, тем меньше интервал переменной t, на котором g(t) сильно отличается от нуля. В пределе, когда в аппарате имеет место режим идеального вытеснения, получаем g(t)— 6(r — t), где С — некоторый коэффицент. При Ре- 0 максимум функции g t) становится все менее острым, а точка tm, в котором он достигается, приближается к началу координат. В пределе, когда в аппарате реализован режим идеального вытеснения (Ре = 0), функция g(t) имеет максимум, равный 1/т при i = 0, а при t > О экспоненциально убывает к нулю. [c.221]

Относительно природы самой основной задачи здесь нужно сделать одно существенное замечание. Вспомним, что если мы исключим частные законы сопротивления, плохо соответствующие действительности, то не сможем найти интегралы основной задачи точно, а определим их только приближенно, выводя из баллистических таблиц. Если некоторая функция определена посредством графика, вычерченного непрерывно механическими средствами или полученного путем графической интерполяции из какого-нибудь разрывного ряда точек, заданного в виде числовых таблиц, то интегрирование можно будет выполнить при помощи подходящих способов суммирования, с приближением, сравнимым с тем, которое имело место при построении графика. Наоборот, операция дифференцирования, поскольку требуется, чтобы от точки к точке оценивалось направление касательной, порождает неуверенность в том, что мы не придем таким путем к значительно ббльшим ошибкам. Поэтому в баллистическом случав нельзя прийти к приемлемым результатам, выводя общий интеграл уравнений (41) и (42) из интеграла основной задачи через интегралы соответствующих однородных уравнений (в вариациях). В этом случае лучше прямо получить последний интеграл, применяя к однородным уравнениям те же сгмые способы табличных и графических приближений, которые служат для решения основной задачи. [c.115]

Выбор аппроксимирующих функций — наиболее ответственный этап приближенного решения. Аппроксимирующие функции, с одной стороны, должны удовлетворятьграничным условиям и физическому смыслу задачи, с другой стороны, должны быть удобными для математической обработки. В данной задаче, если считать форму пластины, близкой к квадратной, то учитывая результаты решенной в 21 задачи устойчивости свободно опертой пластины, можно ожидать, что потеря устойчивости защемленной пластины будет происходить с образованием одной вы-пучины (рис. 4.15,6). Тригонометрические функции удобны для операций дифференцирования и интегрирования, поэтому, ограничившись первым членом ряда (4.58), можно принять [c.170]

Каждый учебный материал может быть дифференцирован по глубине изучения. При этом выделяются уровни знаний — знакомств, копий, умений и трансформаций. Очевидна необходимость количественной оценки степени приближения учебного материала к заданному уровню формирования деятельности. Для этих целей иами предложен критерий уровня ПДМ [c.392]

Для приближенного представления производной можно также использовать формулы безразностного дифференцирования для )равно-отстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках. В частности, если функция 6 представляется интерлоляционным полиномом Лагранжа через свои значения на трех кривых б - , 0г, 01+1, производные по координате выражаются следующим образом [c.87]

В численном отношении левые члены уравнений (2) на экваторе весьма малы. Найдем такое приближенное решение, которое в каждой точке экватора дает алгебраические уравнения d =Dy = Q. Решение упро-шается, если производные определять численным дифференцированием, после чего решение подставляется в левую часть уравнения. Затем с помощью упрощенных алгебраических уравнений подсчитываются новые значения а и 9. Повторяя этот прием 1 или 2 раза, получаем желаемую точность. Для расчета эллипсоида следует пользоваться уравнениями (III.12) и (III.13). [c.369]

Аналогичная методика может быть использована для построения приближенных решений более сложных нелинейных задач. Однако трудности вычислений возрастают настолько быстро, что при практических расчетах удается провести исследование лишь для усеченных систем низкого порядка. Для анализа нелинейных уравнений, получаемых путем замыкания по принципу квази-гауссовости, можно рекомендовать метод дифференцирования по параметру нелинейности, т. е. метод сведения к задаче Коши с последующим численным интегрированием по способу Рунге— Кутта. [c.27]

Однако при оценке точности получаемых таким образом приближенных решений следует соблюдать осторожность. Рассмотрим, например, применение метода Релея — Ритца в сочетании с принципом стационарности потенциальной энергии. Этот метод обеспечивает хорошее приближенное решение для перемещений, если допустимые функции выбраны соответствующим образом. Однако точность в распределении напряжений, вычисленных с использованием приближенных значений перемещений, нельзя признать удовлетворительной. Это становится очевидным, если вспомнить, что в определяющих уравнениях, полученных приближенным методом, точные уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях заменяются их взвешенными средними и что точность приближенных решений уменьшается при дифференцировании. Таким образом, уравнения равновесия и граничные [c.20]

Выбрав соответствующим образом функции и , Vo, щ, г> (г = I.....п) и число п, можно получить хорошее приближенное описание д ормированного состояния. Однако точность определения напряженного состояния из (1.42) с постоянными а Ь как правило, не столь хороша. Это становится ясным, как только мы вспомним, что заменили уравнения равновесия (1.4) и граничные условия в напряжениях (1.12) Зп-членным выражением с весовыми коэффициентами (1.41), а также то, что точность приближенного решения понижается при дифференцировании. Уравнения равновесия и краевые условия в напряжениях при применении этого метода обычно удовлетворяются, по крайней мере локально, с невысокой точностью. [c.33]

Для момеитной функции (3.28) поля и,-(г) в корреляционном приближении с учетом линейности операторов осреднения и дифференцирования имеем [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...