Дифференциальные первого порядка обыкновенны

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном , позволяющий S уравнений Лагранжа вида (126.3) преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями Гамильтона. [c.366]

Уравнения (132.5) называются каноническими уравнениями механики, или уравнениями Гамильтона. Уравнения Гамильтона представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Интегрирование этих уравнений дает 25 величии с/,, (/2..... qs, Ри Рг,. ..у Ps в функции времени t и 2s [c.369]

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Приняв h - сх.2, на основании выражений (6.41) имеем [c.165]

Уравнения (1.27) и (1.29) образуют систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые называются уравнениями Гамильтона [3, 5, 10]. [c.14]

Пусть дана динамическая модель объекта, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.78]

В раскрытом виде (5.24) представляет. собой известную систему из п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.126]

Если теперь подставить полученные выражения в интегральное соотношение количества движения (59), то получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения толщины пограничного слоя Ь х) или параметра Л(а ), однозначно связанного с б. После того как распределение толщины пограничного слоя и параметра Л вдоль обтекаемого контура найдено, можно вычислить напряжение трения по формуле (61) и профиль скорости по формуле (60) в произвольном сечении пограничного слоя. [c.303]

Рассмотрим наиболее простой пример построения разностной схемы для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. [c.59]

Построение разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений более высоких порядков, а также дифференциальных уравнений в частных производных принципиально не отличается от их построения для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Тем не менее применительно к уравнениям в частных производных возникают и некоторые специфические трудности, связанные, например, с выбором сетки, большим разнообразием возможных вариантов построения разностных схем, выбором способов их решения и т. д. [c.60]

Можно привести отдельные примеры, когда удается получить решение системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей исходную задачу, в виде конечной формулы, причем это решение при измельчении сетки стремится к точному решению исходной задачи. В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. [c.226]

Покажем, что функции U, Р, R удовлетворяют системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого, согласно (2.93), (2.94), положим [c.68]

Наиболее простым оператором рассматриваемого типа является оператор, задаваемый с помощью одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами [c.43]

В конце раздела 2.2. уже был приведен простой пример отыскания весовой и передаточной функций объекта, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Теперь будут изложены основные способы определения весовой, переходной и передаточной функции линейных объектов с сосредоточенными параметрами, математическая модель которых включает только обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим общий случай, когда коэффициенты уравнений являются произвольными функциями времени, т. е. объект не является стационарным. [c.82]

Общий интеграл этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка получается стандартным способом. Составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений [c.493]

Отметим, что классические уравнения движения (1.32) или (1.34) являются системой конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. С их помощью по заданным значениям величин г (0), / (0) в нулевой момент времени можно определить эти же величины г (t), р (/) в момент времени t. [c.22]

Используя этот оператор, получаем из (4.6) обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции р=р(.1) при граничном условии l = k при р = 0. В более общем случае краевые условия можно записать в виде Z = Z, при р = ро, где нагрузка ро, соответствующая началу движения конца трещины, должна задаваться на основании экспериментальных данных. Например, уравнение (28.8) в этом случае примет вид [c.247]

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большинство рассмотренных выше схем решения одного дифференциального уравнения первого порядка может быть легко обобщено для решения системы N уравнений [c.38]

Для простейших динамических моделей механизмов с одной степенью свободы уравнения движения могут быть представлены в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При установлении ти повых уравнений ограничимся рассмотрением только тех уравнений движения, которые выражаются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка относительно обобщенной координаты или первого порядка относительно обобщенной скорости, хотя в механизмах с приводом от электродвигателя и в механизмах с голономными связями порядок дифференциального уравнения движения механизма может быть выше второго ). Обобщенные силы считаем в общем случае зависящими от обобщенных координат, обобщенной скорости, времени и первой производной момента сил движущих или сил сопротивления по времени. [c.162]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Каждое из полученных таким путем уравнений (9.23) содержит лишь одну координату и лишь одну частную производную — как раз по этой координате. Поэтому эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, которые можно свести к квадратурам, разрешая их относи-dWi [c.313]

Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно, и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка) интегралом называется соотношение вида [c.244]

Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифференциальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ [c.270]

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и ранга п, т. е. систему состоящую из п уравнений с п неизвестными функциями X от одного независимого переменного t, мы сразу же будем предполагать, что система приведена к нормальному виду т. е. разрешена относительно производных [c.270]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Таким образом, МКЭ позволяет свести задачи нестационарной и стационарной теплопроводности к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.34) первого порядка относительно узловых температур и системы линейных алгебраических уравнений [c.57]

Для определения усилий, действующих на зубцы, можно воспользоваться уравнением статики (4.1), продифференцировав его по /, и уравнениями совместности скоростей перемещений, аналогичными уравнениям (6,38), с подстановкой в эти последние зависимостей (8.4)—(8.6). Сделав это, получим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида [c.114]

Уравнение (9-24) определяет систему i обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Следовательно, мы от уравнения (4-18) пришли к системе уравнений (9-24), которые следует решать на аналоговой вычислительной машине. Подставив в выражение (9-24) значения 4 = 1, 2, 3. .., получим систему уравнений [c.349]

Благодаря соотношению (1-10) дифференциальное уравнение (1-1) в частных производных относительно t (г, т) оказалось преобразованным в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно й (г) (напомним, что здесь лапласиан относится только к пластине, цилиндру и шару с одномерными температурными полями). Влияние времени т на перепад (г, т) в уравнении (1-18) сохранилось непосредственно через скорость W и косвенно через зависимость коэффициентов Uq, ky , k , n , Д и от /о W- Основными членами уравнения (1-18), согласно условиям (1-7), (1-16) и (1-8), (1-17), являются линейные комплексы (v и bja . В первые квадратные скобки уравнения заключены члены первого порядка малости, а во вторые— члены второго порядка малости. [c.12]

Одна из возможностей интегрирования уравнения (17) связана с отысканием решения в автомодельном виде. Введением безразмерных переменных преобразуем уравнение (17) к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого всегда можно получить если не точно в замкнутом виде, то приближенно методами численного интегрирования. [c.125]

Обыкновенные уравнения дифференциальные первого порядка 1 — 206 Овал Кассини I — 265 Овальность — Контроль 4 — 34 [c.446]

Метод Лиувилля приведения произвольной системы диффер-н-циальных уравнений к канонической форме. Даны обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида [c.429]

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона—Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системц а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы. [c.297]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являются весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему S обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобныд перейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, Ц ,) величины qi, и qi, не являются HesaBH nMbLNm переменными, поскольку (/ —это производные по времени от qu- Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести s новых переменных, г, согласно соотношениям [c.123]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Чтобы вайти полное решение г, т. е. решение, содержащее две проиаволь . иые постоянные, очевидно необходимо только найти значение р — с, и, г, а), которое, будучи подставлено в выражение pdx - -y dy, обрад1,ает его в полный дифференциал, после чего остается определить г из уравнения dz =р dx q dy. Последняя операция требует интегрирования одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, благодаря чему в войдет, кроме я, вторая постоянная Ь. Значит всё дело состоит в определении р как функции й от. г, у, г и от произвольной постоянной а таким ибразом, чтобы выражение pdx -f- 7 х, у, г, р) dy было полным дифференциалом. Для этого необходимо, чтобы при дифференцировании р по у получалось то же значение, что и при дифференцировании у по ж, т. е, должно быть выполнено уравнение [c.149]

По на1пему методу система обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к одному уравнению в частных производных первого порядка, матем ищется полное решение этого уравнения, и производные, взятые от этого решения по произвольным постоянным, дают систему интегральных уравнений. Но решение уравнения в частных производных может принимать чрезвычайно разнящиеся друг от друга формы разыскивая эти различные формы, мы получаем разлитаые по виду системы интегральных уравнений, которые однако должны по своему значению совпадать друг с другом. Это и есть тот путь, следуя которым мы будем доказывать теорему Абеля. ЛГы будем иеюдить т уравнения в частных производных [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...