Галеркина представление

Приведем также более точное решение задачи с помощью метода Бубнова-Галеркина для системы уравнений (1.13), (1-14), представленной в виде [c.95]

Выражение вектора перемещения через вектор Галеркина (2.34), который удовлетворяет уравнению (2.36), называется представлением Галеркина. Заметим, что в случае отсутствия массовых сил, как следует из (2.32), (2.36) и (2.30), векторы перемещения и и Галеркина Г будут бигармоническими, а дилатация в — гармонической функцией. [c.87]

Ввиду формальностей вывода представления Галеркина может показаться,что оно не является общим, т.е. не всякое достаточно гладкое решение уравнения Ламе может быть представлено в виде [c.87]

Теперь, чтобы получить решение Кельвина, достаточно воспользоваться представлением Галеркина. Решим сначала уравнение (2.36) для специальной правой части [c.90]

Достаточная точность представления этих величин в формулах (7.3.9), (7.3.10) обеспечивается сходимостью процесса Бубнова — Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма второго рода (см. [185]) и должным выбором значения параметра L. [c.207]

Заметим, что Т. Круз, Д. Сноу и Р. Уилсон 1239] для получения фундаментального решения в осесимметричном случае использовали векторное представление Галеркина действия сосредоточенной силы в цилиндрической системе координат. [c.54]

Решение задачи для внешнего вязкоупругого однородно стареющего слоя строится при помощи упругомгновенного решения, получаемого на основе представления Галеркина (4.29), и теоремы 1.1. Выражение для радиального перемещения его внутренней поверхности имеет вид [c.131]

В разд. 3.3 отмечалась связь общего решения уравнений теории упругости с гармоническими функциями. Оказывается, что существуют аналогичные представления общего решения системы (1.7) через три бигармонических потенциала—представления Б.Г. Галеркина. Более того имеет место следующее свойство решения уравнений теории упругости в отсутствие массовых сил каждая из компонент смещения W/, являющаяся четырежды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей [c.88]

Найдено также обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [7] на случай связанной задачи термоупругости [54] [c.278]

Получение достаточно строгих решений для динамического нагружения упруго-пластических балок встречает серьезные трудности, которые удается преодолеть только в отдельных случаях нагружения и опирания балок. В работе И. Л. Диковича (1962) описано решение для движения свободно опертой балки под действием внезапно приложенной равномерной нагрузки, постоянной во времени и не превышаюш ей. по величине предельную статическую нагрузку. В некоторый момент времени в середине балки образуется пластический шарнир, после чего рассматривается движение двух половинок балки, из анализа которого получается выражение для перемеш ений, которое остается справедливым до тех пор, пока угловая деформация в пластическом шарнире не изменит знака. Для упро-щ ения И. Л. Диковичем предложены приближенные методы, например метод Бубнова — Галеркина. Как это часто делается в нелинейных задачах, удерживайся один член аппроксимирующего ряда. При этом приходилось вводить допущение о стационарности пластических шарниров, которое, как известно, с ростом интенсивности внезапной нагрузки перестает оправдываться и может привести к серьезным погрешностям. Весьма перспективно применение ЭВМ к расчету балок. Так, В. К. Кабулов (1963) для представления изгибных колебаний консольной балки переменной жесткости воспользовался системой неравных сосредоточенных масс, подвешенных к невесомому упруго-пластическому элементу. [c.317]

Отсюда можно заключить, что в общее решение уравнений (7.7) должны входить только три независимые гармонические функции, что и позволяет положить в (8.8) Фо—0. Однако, как это было указано еще П. Ф. Папковичем (которому принадлежит приведенная выше форма общего решения уравнений Ляме), сохранение Ф в (8.8) в ряде случаев оказывается целесообразным, поскольку это придает методу большую гибкость и позволяет в отдельных конкретных случаях существенно упростить выкладки за счет возможности произвольного выбора Фд. Наряду с (8.8) было предложено много других форм представления общего решения уравнений классической теории упругости через функции, подчиняющиеся достаточно простым дифференциальным уравнениям. (Начало исследований в этом направлении было положено Б. Г. Галеркиным, который выразил это общее решение через три независимые бигармонические функции.) [c.194]

В случае областей О со сложной геометрией, когда задачу на собственные значения не удается решить точно, обращаются к методу конечных элементов [226]. Указанный метод основан на том, что дискретизацию исходной краевой задачи можно строить на функциях, лежащих за пределами —области определения оператора Ь. Идея метода состоит в замене пространства конечномерным подпространством пробных функций, лежащих в которое строится следующим образом. Область О делят на части, в каждой из которых прибегают к полиномиальному или даже линейному представлению пробных функций с соблюдением условий непрерывности на границах раздела. В связи с этим уместно отметить, что метод Галеркина применяется и к решению задач на собственные значения Ьи = %и. Идея состоит в использовании отношения Рэлея [c.12]

Можно показать, что прн использовании конечно-разностного подхода приближенное решение отличается от точного, причем с течением времени это различие растет. Метод Галеркина оказывается очень точным, и полученные результаты (не представленные здесь) удовлетворительны даже для временных шагов, равных половине периода собственных колебаний системы. [c.41]

Метод коллокации во многих отношениях подобен методу Галеркина. Он предусматривает такой выбор коэффициентов а1 [1=, М) в представлении [c.69]

Проекционные методы имеют более широкое применение по сравнению с вариационными, которые могут быть сведены к адекватному выбору базисных функций. Однако, когда это возможно, представляется интересным использовать принцип виртуальных перемещений, поскольку он дает физическую интерпретацию, помогающую определить некоторое число глобальных величин с минимумом дополнительных расчетов и, что особенно важно, с высокой точностью, достигаемой за счет соответствия между физической сущностью этих величин и вариационным аспектом (часто энергетическим) метода расчета. Рассмотрим вариационные формулировки, а затем проекционный метод, называемый методом Галеркина, и проведем параллель между этими представлениями [c.14]

Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а), и точное решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют приближенные методы — вариационные методы Рит-ца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина, Треффца, Власова — Канторовича, метод конечных разностей и т. д. [c.185]

Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может быть найдено в форме (9.11), если векторная функция и скалярная функция ф удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона (9.15) и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает четыре скалярные функции — скалярную функцию ф и три проекции вектора i j. Представление, в котором ф является не гармонической, а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо от него Б. Г. Галеркиным. [c.226]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Из приближенных методов расчета наиболее простым и дающим результат, практически не отличающийся от результатов точных способов расчета, можно рекомендовать предложенный Л. А. Шу-бенко [43] и основанный на использовании способа Галеркина для приближенного решения дифференциального уравнения (135). Способ Галеркина основан на представлении формы упругой линии изогнутого вала в виде суммы [c.88]

Представленный нелинейш,ш гидродинамический процесс является многопараметрическим, и его численному моделированию должен предшествовать подробный качественный анализ, который и составляет предмет данного исследования. Это тем более оправдано, что практика численных расчетов разрывных течений доставляет, как известно, осциллирующие решения, которые нуждаются в однозначной физической интерпретации. А именно требуется обнаружить существенные черты исходной задачи, являющиеся причинами нелинейных колебаний в гидродинамической системе. Для исследования краевой задачи (3.6)-(3.14) применяем подход, связанный с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Воспользуемся методом Бубнова-Галеркина [112], который приводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для существенных степеней свободы. Это дает возможность изучрггь бифуркационные ситуации и установить пороги возникновения автоколебаний. [c.88]

Уравнение свободных колебаний можно решать при граничном условии GJ d%/dr)= Кв1 для общего случая закрепления конца. Решением является ряд ортогональных тонов с учетом упругости проводки управления и упругости лопасти на кручение. Однако это разложение дает равенство GJQe — Ke e у комля лопасти, что предполагает равенство нулю заданного системой управления угла установки и обратной связи от изгиба к углу установки. Это типичный результат для нормальных тонов он означает, что сосредоточенные силы и моменты в конечных точках лопасти не могут быть учтены. Возникает также проблема учета демпфера ВШ шарнирной лопасти, поскольку нормальность тона предполагает, что момент в шарнире всегда равен нулю. По этой причине установочные и упругие крутильные колебания в представленном анализе разделены. Вообще говоря, установочные колебания достаточно хорошо описывают крутильные колебания лопасти многих несущих винтов. Связанные жесткий и упругие тоны кручения могут быть использованы при анализе несущего винта методами Рэлея — Ритца или Галеркина (см. разд. 9.9) с надлежащим представлением граничных условий. [c.388]

В уже упомянутых численно аналитических методах (Ритца, Бубнова Галеркина и др.), а также в интенсивно развиваемых сейчас методах граничных элементов (гранич пых интегральных уравнений) использование аналитических конструкций, в частности, интегральных представлений решения или способов сведения дифференциальной зада чи к решению системы интегральных уравнений, может дать чрезвычайно экономичные приближенные численные алгоритмы. Иногда они позволяют при решении, например. [c.23]

В работе р] амплитудная краевая задача решалась методом Бубнова — Галеркина в приближении, содержавшем по две полиномиальные базисные функции в разложениях ф и 0. Основной результат вычислений представлен на рис. 138, где изображено минимальное критическое число Грасхофа в зависи- [c.346]

Очень интересное представление поля перемещений через три функции (которые при отсутствии массовых сил являются бигармоническими) дал Галеркин. При выводе этих уравнений мы будем пользоваться способом, указанным Моисилом ), в котором применяется простой формализм, пригодный для решения систем дифференциальных уравнений. [c.188]

Представленное здесь общее решение, использующее функции Папковича — Нейбера, Галеркина и Лява, в принципе можно применить и для краевой задачи, в которой на плоскости хз = О задано вертикальное перемещение и нулевые напряжения сгз1 и аз2. Функция Буссинеска, упомянутая в 5.5, также может пригодиться для решения приведенных в 5.9 и 5.10 краевых задач. [c.223]

Разделение уравнений (1) и (2) можно произвести двумя ме тодами. Первый, предложенный Миндлином ) и Нейбером ), приводит к обобщенному представлению Папковича — Нейбера второй, предложенный Сандру ), является обобщением представления Галеркина. Займемся вторым методом, выражая перемещение и и поворот (О через две функции напряжений ф и Мы используем выражения, полученные в эластокинетике (формулы (15) и (16) 13.12), отбрасывая в них производные по вре [c.842]

Систематическое изучение пространственных задач теории упругости было предпринято Б. Г, Галеркиным. Используя найденное им представление общего интеграла уравнений теории упругости через три бигармо-нические функции (1930) и применяя ряды, он развивал с начала тридцатых годов метод расчета толстых плит, предполагающий выполнение условий для произвольных нагрузок на торцах и интегральных условий на боковой поверхности им были изучены плиты прямоугольные, круглые, секторные, треугольные (1931, 1932), В 1931 г. Галеркин построил решение задачи о равновесии слоя, подверженного действию нормальной нагрузки. При помощи рядов, содержащих функции Бесселя и Ханкеля, Галеркин рассмотрел задачу о равновесии полого цилиндра и его части (1933), а позже получил частные решения задачи об осесимметричной деформации полой сферы (1942). [c.17]

А. С. Космодамианский (1961, 1962) применял метод Бубнова — Галеркина. Для искомых комплексных потенциалов ф и "ф он пользовался представлениями в виде бесконечных сумм функций специальногр вида с неопределенными коэффициентами и получал для приближенного решения систему конечного числа алгебраических уравнений. Метод приводит к особенно хорошим результатам в случае круговых отверстий. [c.60]

Метод конечных элементов, по крайней мере его основы, известен уже более полувека, но настоящий взлет он получил лишь с развитием современных средств информатики. Интегральные представления известны достаточно давно благодаря работам Галеркина, Ритца, Куранта и Гильберта [1-4] (здесь отмечены только эти работы, как внесшие наиболее существенный вклад). Однако применение интегральных представлений расширялось по мере того, как разрабатывались методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей. Действительно, громадная работа по решению линейной системы с несколькими десятками уравнений и таким же количеством неизвестных отталкивала большинство инженеров, и такими вычислениями занимались лишь немногие специалисты, которые, впрочем, разрабатывали всевозможные ухищренные методы, применявшиеся в течение ряда лет, некоторые из которых используются еще и сегодня (Сутвел, Якоби, Гаусс). [c.7]

Если весовые функции выбирают идентичными базисным функциям, т. е. фр= /р, то данная разновидность метода мо(мен-тов йазывается методом Галеркина. Достоинством этого метода является то, что )ряд интегральных характеристик решения (например, излучаемая мощность и др.) обладает стационарными свойствами (см. 6.4), т. е. слабо зависит от точности представления (ИСКОМОГО тока. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...