Интегрирование ортогональность

Подставляя (3.1.18) в (3.1.17) и учитывая свойство ортогональности сферических функций, произведем интегрирование. Имеем [c.92]

Обратимся к вопросу об интегрировании уравнений равновесия нити. Пусть вектор г точки нити в некотором ортогональном репере имеет координаты г = (г),Г2, гз). Имеем четыре неизвестные функции [c.366]

Подставив это выражение в формулу (47,5) и производя интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций sin 0 и sin п0 с и 1), получим [c.265]

При подстановке w в уравнение (8.33) в общем случае мы не получим тождественного нуля, т. е. L (w) =5 0. В каждой точке х, у области интегрирования А величина L (w) будет иметь свое значение вместо требуемого по (8.33) нуля. Ее называют функцией-ошибкой. Если бы L (w) был точный ноль, то функция L (w) была бы ортогональна к любой функции F х, у) в области А, т. е. [c.250]

При построении этих уравнений применялась формула интегрирования по частям с использованием условия (0/(с1/) = = оз,(6/) = 0. Поскольку разыскиваются лишь ограниченные (можно показать, что из условия ограниченности следует обращение решения в нуль) на концах решения уравнения (8.7), то индекс уравнения будет равен (—т). А это значит, что уравнение оказывается разрешимым лишь ири выполнении условия (3.14) гл. I, выражающего ортогональность правой части всем собственным функциям союзного уравнения (обращающимся в бесконечность на концах), что и приводит к условиям на постоянные С/. [c.429]

Дифференциальные уравнения движения в ортогональных криволинейных координатах приводятся в курсах теории упругости. В результате интегрирования этих уравнений по толщине оболочки с учетом равенств (2) и (4) можно получить следующие уравнения движения, описывающие как слоистые, так и однородные оболочки [163] . [c.219]

Когда исходные данные, служащие для образования уравнений движения системы, т. е. определение системы и функция сил, не зависят ни от направления осей координат, предполагаемых ортогональными, ни от положения их начала, то дифференциальные уравнения движения не содержат величин, относящихся к направлению осей, и не изменяются, когда рассматривается прямолинейное и равномерное движение начала. Из этого мы заключаем, что среди величин, введенных при интегрировании этих уравнений, содержится девять величин, относящихся к направлению осей координат, положению в данный момент их начала и прямолинейному и равномерному движению этого начала. Этого заключения нельзя сделать при криволинейном или неравномерном движении, так как тогда вследствие сил инерции вид дифференциальных уравнений будет зависеть от характера этого движения. [c.387]

Коэффициенты разложения находятся путем умножения обеих частей (2.14) на Н х) и интегрирования по а в бесконечных пределах с использованием соотношения ортогональности (2.12) [c.48]

Можно свести ряд к единственному члену, сокращая множитель в правой и левой частях уравнения, умножая обе части уравнения на и производя интегрирование по всей системе и используя ортогональность собственных функций для определения амплитуды каждой формы колебаний, получим [c.225]

Для определения функций времени 5,- ( ) умножим обе части уравнения (IV. 117) на Х,(а ) и проинтегрируем результат по всей длине стержня. При интегрировании в правой части исчезнут все слагаемые, кроме -го (вследствие свойства ортогональности собственных функций), и для 5,- t) получится формула [c.266]

Неоднородное интегральное уравнение (95.8) имеет решения только в том случае, если его левая часть (неоднородность) ортогональна к решениям однородного уравнения. Этими решениями являются (см. 91) аддитивные интегралы = 1, ф= С1 ихр = с . Мы предоставляем читателю убедиться (см. задачи к этому параграфу) в том, что левая часть (95.8) после умножения на 1, с и интегрирования по с, обращается в нуль. [c.535]

В любом случае при составлении граничных условий для пологой или непологой оболочки надо помнить, что погонная меридиональная сила Tj соответствует силе Тго только безмоментного напряженного состояния, а погонная сила Qr и момент соответствуют лишь смешанному напряженному состоянию. Направления сил и не ортогональны. Расчетная для оболочки сила на торце складывается из безмоментной силы я проекции силы Qr на касательную к меридиану. Величины Qr и на торце оболочки служат для определения констант интегрирования однородных уравнений смешанного напряженного состояния, когда заданы силовые граничные условия. [c.154]

Комбинация явных и неявных схем для интегрирования -задачи Коши по параметру с дискретной ортогональной прогонкой для решения линеаризованных пошаговых краевых задач использовалась в работах [119, 351, 352,354,35 ,358,361]. [c.187]

Математическое обеспечение метода ортогональной прогонки. Рассмотренный метод решения краевых задач и вычисления матриц жесткости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка основан на последовательном решении задач Коши, т. е. связан с численным интегрированием системы п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.155]

Пакет процедур математического обеспечения метода ортогональной прогонки содержит программные модули, выполняющие операции с действительными и комплексными переменными интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными данными [c.242]

Заметим, что при численном интегрировании методом ортогональной прогонки системы уравнений, получающейся из (1) после отделения угловой координаты <р, наличие точки поворота дополнительных трудностей не вносят. Поэтому приводимые ниже выкладки имеют в основном целью выяснить качественную сторону явления и получить формулу (5.13). [c.281]

Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова — Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [c.222]

После подстановки выражения (1.67) в уравнение (1.63), умножения обеих частей на (г) и интегрирования по 2, учитывая ортогональности собственных функций, получим уравнение [c.25]

На рис. 1.16 представлены результаты численного интегрирования выражения (1.34). На рис. 1.16, а приведены зависимости доли ортогональной компоненты А от величины ЛГ, пропорциональной средней мощности накачки, при у = 0° и у = 45 для z [001] (кривые / и 2 соответственно). Там же представлена зависимость А для z [111] (кривая 5). Заметно сущему ственное различие асимптотических значений А при увеличении ЛГ для активных элементов с 2 [111] и 2 [001]. [c.48]

При выполнении интегрирования в выражении (10) все члены второго и третьего порядков, кроме приведенных в зависимости (15), оказываются тождественно равными нулю из-за ортогональности тригонометрических функций. Взаимодействие изгибных форм с радиальной симметричной формой колебаний описывается лишь членами третьего порядка. Зато в выражении (10) существенное взаимодействие различных изгибных форм движения описывают члены четвертого порядка. Это взаимодействие в зависимости (15) не учтено. Сохранены лишь несвязанные члены четвертого порядка й и Этого достаточно, чтобы предотвратить неограниченное нарастание изгибных форм колебаний, которое могло бы произойти при отбрасывании всех - членов четвертого порядка. [c.30]

Чтобы вычислить интегралы по обеим полусферам, удобно рассмотреть разделяющую их плоскость и ввести в качестве переменных интегрирования полярные координаты (г, г) точки, полученной в результате ортогонального проектирования сферы на эту плоскость. Когда точка описывает всю сферу, ее образ дважды описывает соответствующий круг — образ -точки плюс-полусферы и образ точки минус-полусферы. Если принять во внимание элементарные геометрические соображения, которые дают [c.37]

Основное различие между (10.12) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных ранее, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо простого интеграла (типа Коши). Неудобство в настоящем случае заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши и — -ш) и двухкратным интегрированием такая теория необходима для доказательства полноты и ортогональности. [c.210]

Основное различие между (10.14) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо однократного (типа Коши). Трудность заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши и — хю)- и двукратным интегрированием такая теория необходима для конструктивного доказательства полноты и ортогональности. Однако эту теорию можно построить [37], используя некоторые результаты теории обобщенных аналитических функций 38]. В общем случае, если о = а + Ф — комплексная переменная, то обобщенная аналитическая функция / — ф является ком- [c.362]

При численном интегрировании ургьвнений Пуассона накопление вычислительных погрешностей нарушает взаимную ортогональность базисных векторов, и они перестают быть единичными. [c.450]

Ортогональ11ость собственных функций. 1ве собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл от произведения одной из этих функций на функцию, комплексно сопряженную с другой, взятый по всей области интегрирования, равен нулю. [c.100]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

ПЛОСКОСТИ 21+22 +. ..+2 =0. При ЭТОМ вслбдствие ортогональности Ег = Проинтегрировав по 2 от — оо до оо, что даст константу, не зависящую от t, перейдем от остальных /, к сферическим координатам р, 01, 02,. .., 02л-2- Интегрирование по всем 0 снова дает константу, не зависящую от /, так что [c.176]

Задачу решали в квазистационарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-дефор-мированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Линейную краевую задачу решали на основе метода ортогональной прогонки. Рассматривали только физическую нелинейность, обусловленную работой материала за пределами упругости (пластичность, ползучесть), Физически нелинейную задачу для каждого полуцикла нагружения сводили к ряду линейных на основе последовательных приближений fl91. [c.220]

При решении контактной задачи в качестве исходного приближения выбирается решение линейной бесконтактной задачи. Эффективность подобного подхода при решении контактных задач нелинейной теории оболочек продемонстрирована в работах [121,127, 1291. Линейные краевые задачи решаются методом ортогональной прогонки С. К. Годунова. Коэффициенты матрицы [С] и вектора [D] (11.27) получаем численным интегрированием по формулам Ньютона — Котеса четвертого порядка. Уравнения (11.24) — (11.29), дополненные граничными условиями (П. 12) и условиями сопряжения (11.23), полностью определяют НДС осесимметрично нагруженной конструкции из оболочек вращения на п-т приближении итерационного процесса. Если необходимо получить ряд решений при пошаговом изменении нагрузки q, то начальное приближение для находим экстраполяцией по решениям для. ... .. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда модуль максимального относительного расхождения компонент yt вектора решения Y для каждой точки ортогона-лизации меньше наперед заданного значения [c.39]

Для получения этого решения в работе [15] был использован видоизмененный метод Фурье (функции sin га не являются ортогональными) и контз рное интегрирование [16]. Решение легко получить при помощи преобразования Лапласа. В статье [17] указаны более полные численные данные, чем данные, приведенные на рис. 30. [c.236]

В случае однородной среды интегрирование уравнения (2.3.10) дает ф(г) = к-г, где к = 2тги/Х. Вывод уравнения (2.3.10) мы предлагаем читателю провести самостоятельно в качестве упражнения (задача 2.5). Уравнение (2.3.10) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины ф, определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам ф т) = onst, и, следовательно, описываются также уравнением [c.41]

Для решения этого уравнения разобьем объемный заряд на достаточно тонкие плоские слои толщиной Az, ортогональные к оси z. Поверхностная плотность заряда в слое с координатной Zq равна р х, у, z) Az. Найдем потенциал Ф (х, у, z, Zq), который создает в диэлектрических слоях структуры ПВМС слой заряда с координатой Zq. Затем полный потенциал Ф х, у, z), удовлетворяющий уравнению (7.45), получим в результате интегрирования по переменной Zq [c.146]

Аналогично (4.23) это соотношение выполняется для каждого собственно ортогонального тензора Q m- Постоянная интегрирования в (4.29) пропуш,ена, что следует из возможности подстановки ts= = 6 s. Подставляя (1.17) и подбирая как в (4.24), находим o = o(Ua ) (4.30) [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...