Форма квадратичная вторая первая

Форма квадратичная вторая 17 -- первая 13 [c.512]

Принято говорить, что вторая квадратичная форма вместе с первой квадратичной формой определяют внешнюю геометрию поверхности. Смысл этого [c.18]

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей второго порядка, отнесенных к географической системе координат, выписаны в табл. 1 (коэффициент во всех случаях равен нулю). Из нее видно, что географическая система координат на поверхности второго порядка не ортогональна. Исключение представляют поверхности вращения второго порядка (случай а = Ь). [c.188]

Значения упругих модулей а, - можно определить лишь из трехмерных постановок (см. гл. 8 и 10 о стержнях и пластинах). Опыт расчета модулей в стержнях показывает, что кривизна в матрице энергии как квадратичной формы дает, во-первых, малые добавки к диагональным элементам, и, во-вторых, порождает недиагональные элементы (перекрестные связи). Сведения о возмущении линейных алгебраических систем позволяют предположить, что зависимость модулей - 64 от кривизны (тензор Ь) и связанные с Ь перекрестные члены (их нет в [c.219]

Первая из них с точностью до постоянного множителя равна потенциальной энергии деформации стержневой системы на векторах усилий 1=51. По смыслу потенциальной энергии деформации (аналогично (2.28) для одного элемента) она является положительно определенной. Вторая квадратичная форма получается из первой путем линейного преобразования векторов [c.161]

Условия интегрируемости (1.54) дают три векторных равенства. Разлагая векторы Г1, Гг и п и сравнивая коэффициенты при них, приходим к девяти скалярным уравнениям, которые связывают между собой а р и бар, их производные. Среди этих девяти уравнений существенными являются только три формула Гаусса и Петерсона— Кодацци. Формула Гаусса выражает один из важнейших результатов теории поверхностей, а именно полная кривизна поверхности выражается с помощью метрических коэффициентов первой квадратичной формы и их производных. Кривизны поверхности и к при изгибании меняются по отдельности, а величина К=к к2 остается неизменной. Если задана первая квадратичная форма, то вторая квадратичная форма выбирается не про-извольно, а связана с первой квадратичной формой соотношениями [c.30]

Условимся обозначать символом ( ) совокупность членов, не содержащих вторых производных от координат <7. Заметим, далее, что производные от коэффициентов ajk как по t, так и по не содержат вторых производных от обобщенных координат. Если силы, действующие на точки системы, зависят лишь от времени, координат точек и их скоростей (см. гл. И), то обобщенные силы, стоящие в правых частях уравнений (22), могут зависеть лишь от времени, координат и их первых производных. Поэтому результат подстановки в уравнения (22) вместо Т квадратичной формы можно представить следующим образом [c.141]

Первый член выражения (19) есть квадратичная форма (т. е. однородная функция второй степени) от обобщенных скоростей, второй — линейная форма от тех же скоростей, с от скоростей совсем не зависит. При этом все коэффициенты Uij, bi и с суть функции координат i7i, 2- времени t. [c.456]

В общем случае это соотношение выполняется только при положительности первого и отрицательности второго слагаемого. Но, в частности, одно из слагаемых может равняться нулю. Такую возможность необходимо учитывать особо, она касается и неравенства (12.29). Действительно, квадратичная форма (12.31) имеет определитель, совпадающий с определителем системы уравнений Гиббса—Дюгема (9.49), который, как было показано ранее, при независимых q, равен нулю. В общем случае знак неравенства (12.29) должен, следовательно, быть дополнен знаком равенства. [c.122]

Следовательно, кинетическая энергия Т представима суммой трех функций, однородных относительно обобщенных скоростей. Первое слагаемое То не зависит от обобщенных скоростей, второе— Т есть линейная форма обобщенных скоростей и То — квадратичная форма обобщенных скоростей. [c.130]

Следовательно, даже тогда, когда функция Ь Лагранжа является квадратичной формой обобщенных скоростей, функция Раута после исключения циклических обобщенных скоростей будет иметь в своем составе как члены второго измерения относительно нециклических обобщенных скоростей, так и члены первого и нулевого измерений. [c.350]

Квадратичная форма положительна, если диагональные члены матрицы коэффициентов формы и все миноры второго порядка положительны. Первое условие приводит к неравенствам [c.473]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

ПО степеням часть первой степени равна нулю, в то время как часть второй степени представляется в виде определенной квадратичной формы <р. [c.167]

Поэтому если мы будем рассматривать координаты s как бесконечно малые или, что равносильно, вместо каждого представим соответствующий дифференциал то увидим, что первый дифференциал функции (20) будет равен нулю, тогда как второй дифференциал определится формой так как эта последняя представляет собой определенную квадратичную форму, то мы заключаем, что для. функции (20) выполняются условия существования максимума или минимума. Наоборот, если эти условия удовлетворены, то достаточно вместо отдельных подставить соответствующие для того чтобы снова придти к равенству (18), где функция 9 будет представлять собой определенную квадратичную форму. [c.167]

В результате второго преобразования первую квадратичную форму (Т) привели к сумме квадратов. Остается выполнить третье преобразование, которое привело бы матрицу второй квадратичной формы ([/) к диагональному виду, не нарушив вида матрицы первой квадратичной формы. С этой целью используем в качестве матрицы преобразования Мр — фундаментальную матрицу матрицы Р, т. е. [c.148]

Если нагрузка р > О мала, то квадратичная форма Пг, задаваемая выражением (18.110), положительно определена, полная потенциальная энергия П в положении равновесия имеет минимум и по теореме Лагранжа это положение устойчиво. По мере возрастания нагрузки р>0 в выражении (18.110) отрицательно определенное второе слагаемое Ег = —р 2 начнет подавлять первое слагаемое /г, так что квадратичная форма Пг превратится либо в неопределенную по знаку, либо в. отрицательно определенную. Тогда по признакам предыдущего пункта положение равновесия будет неустойчивым. Переход от устойчивости к неустойчивости, т. е. критическое состояние системы, соответствует тому уровню нагружения ) р = р, при котором квадратичная форма Пг утрачивает положительную определенность. Следовательно, при р = р можно указать такое откло- [c.385]

Обратим внимание на то, что квадратичная по смещениям часть изменения П полной потенциальной энергии не зависит от дополнительного осевого перемещения бш = и вполне определяется поперечным смещением 6v = г]ди1. Первое слагаемое в правой части последнего равенства выражает энергию изгиба, соответствующую искривлению стержня. Второе слагаемое — это либо энергия дополнительной осевой деформации, если при переходе в искривленную форму равновесия 0 [c.389]

На этом основании можно утверждать, что поверхность задается коэффициентами первой и второй квадратичных форм о точностью до своего положения в пространстве. [c.228]

Таким образом, при заданных аависимостях от а и р коэффициентов первой и второй квадратичных форм уравнение поверх- [c.228]

Детерминированные методы поиска различаются подходами к моделированию гиперповерхности целевой функции. В основном эти методы используют линейную тактику и называются методами первого порядка (градиентные методы, метод касательных, метод хорд). Методы, аппроксимирующие поверхность целевой функции квадратичными формами, называются методами второго порядка (методы параболического программирования). [c.118]

Коэффициенты 1ц, L. , называют коэффициентами второй квадратичной формы. С помощью коэффициентов первой и второй квадратичных форм определяются кривизны нормальных сечений, проходящих через aj- н аг-линии [17] 1ц/А 2), [c.125]

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм деформированной поверхности [c.134]

Здесь Gif = G ji (i, j, k = а, P) — символы Кристоффеля второго рода. Символы Кристоффеля выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы [c.22]

Первые два уравнения носят название уравнений Кодацци, третье уравнение — уравнение Гаусса. Задание шести коэффициентов первой и второй квадратичных форм, удовлетворяющих уравнениям (2.13), определяет поверхность с точностью до положения ее в пространстве. [c.22]

При выводе выражений единичных векторов и коэффициентов второй квадратичной формы удерживались только члены первого порядка малости, члены второго порядка малости, содержащие произведение величин ги уь г, гц, отбрасывались. [c.27]

Из этого равенства можно получить три отличающихся друг от друга энергетических принципа в зависимости от того, через какие переменные выражена удельная потенциальная энергия Л. Задавая ее квадратичной формой А е) [см. (3.2.3) гл. III] компонент деформации, придем к принципу минимума потенциальной энергии системы исходя же из квадратичной формы Л (а) компонент тензора напряжений [(3.2.8) гл. III], получим принцип минимума дополнительной работы. В первом принципе варьируются перемещения, во втором — компоненты напряжения. Наконец, в смешанном принципе стационарности удельная [c.148]

Так как в деривационные формулы входят только коэффициенты первой и второй квадратичных форм, то правая часть равенства (1.3.7) будет полностью определяться значениями величин Л1 , Mi, М2, пР, At, Ln, [c.16]

Отсюда вытекает одна из основных теорем теории поверхностей коэффициенты первой и второй квадратичных форм данной поверхности определяют эту поверхность с точностью до М", М , Ml, л , т. е. с точностью до ее положения в пространстве. [c.16]

В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия, как известно, минимальна. Если на тело не действуют никакие внешние силы, то F как функция от 1 должно иметь минимум при Uih = 0. Это значит, что квадратичная форма (4,3) должна быть положительна. Если выбрать тензор таким, что иц = О, то в (4.3) останется только первый член если же выбрать тензор вида Uih = onst-6 , то останется только второй член. Отсюда следует, что необходимым (и, очевидно, достаточным) условием положительности формы (4,3) является положительность каждого из коэффициентов К и [c.22]

Получившаяся квадратичная форма называется первой квадра тнчной формой поверхности. Значение второй квадратичной фермы как функции вектора скорости перемещения г(/) по определению равно (г, п), где п — нормаль. Так ка [c.165]

Шесть величин, определяющих деформации срединной поверхности оболочки и изменения ее кривизны (ei, ej, Yi-j, Xi, а, х ), выражаются с помощью уравнений (5.33) через три компонента (и, о, ш) вектора перемещения. Поэтому между упомянутыми шестью величинами имеются некоторые тождественные соотношения. Смысл этих соотношений — условий совмеот-ности деформаций — состоит в том, что элементы срединной поверхности, получившие деформации вц e , Y12 и изменения кривизны и кручения i, Xj, Xi, должны составлять единую непрерывную поверхность. Проще всего получить эти соотношения, потребовав, чтобы коэффициенты, характеризующие первую и вторую квадратичные формы деформированной поверхности В, [c.240]

Как указывалось в п. I. 12, возможность установления квадратичной зависимости между соосными тензорами является следствием теоремы Кейли — Гамильтона (I. 10.11), позволяющей заменить степени тензора выше второй его нулевой, первой и второй степенями. Этим указывается другой способ вывода закона состояния. Форма связи рассматриваемого тензора напряжения с соответствующей мерой (или тензором) деформации задается квадратным трехчленом, коэффициенты которого далее определяются по условию интегрируемости вариации удельной потенциальной энергии деформации. Легче всего это проследить на примере энергетического тензора напряжений Q, через который эта вариация непосредственно определяется по формуле (2.1.1) [c.648]

Особо должна быть рассмотрена система координат, нормально связанных с поверхностью S. Такие координаты используются в теории оболочек. В этих координатах компоненты метрического и дискриминантного тензоров и символы Кристоф-феля выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности S (табл. З.Ю). [c.95]

В табл. 4.7 приведены коэффициенты первой и второй квадратичных форм и символы Крнстоффеля для некоторых наиболее распространенных систем координат. Эти величины дают возможность легко записать все формулы из 1—7 в развернутой форме. В ) екоторых системах ортогональных координат (например, в круговых цилиндрических) метрические коэффициенты Оаз—константы, поэтому символы Кристоффеля обращаются п нуль, и выражения для ковариантиых производных упрощаются. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...