Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Кривизна поверхности

В табл. 2 для справок приводятся коэффициенты первой и второй квадратичной формы (кроме Li2> который равен нулю) для поверхностей второго порядка отрицательной кривизны, задаваемых уравнениями (13.7.1). [c.193]

Теперь можно с новой точки зрения посмотреть на второе из равенств (1.5.5) или (1.5.7), т. е. на уравнение Гаусса. Из него вытекает, что К полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы. Это чрезвычайно важное положение возвращает нас к затронутому в 1.1 понятию об изгибании поверхностей. Эта деформация характеризуется тем, что первая квадратичная форма поверхности остается неизменной, и можно теперь сделать вывод, что при изгибании поверхности остается неизменной также и ее гауссова кривизна, хотя главные кривизны, конечно, будут меняться. [c.22]

Таким образом, если соответствующим подбором параметра коэффициент А, первой квадратичной формы поверхности нулевой кривизны обращен в единицу, то второй коэффициент этой квадратичной формы А и отличный от бесконечности главный радиус кривизны будут линейно зависеть от о. [c.158]

В этой главе рассмотрены вопросы нахождения всех основных элементов локальной топологии поверхности Д и) - касательных прямых, нормали, касательной плоскости, главных направлений, нормальных и главных кривизн и пр. Показано как от различных способов аналитического описания и дискретного задания поверхности перейти к обобщенному ее представлению в натуральной форме, а именно - через коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм поверхности Д и [c.14]

Таким образом, для поверхностей нулевой кривизны, отнесенных к линиям кривизны, справедливо следующее утверждение если один из коэффициентов первой квадратичной формы равен единице (Л = 1), то второй коэффициент первой квадратичной формы (В) и отличный от нуля главный радиус кривизны (В2) являются линейными функциями координаты а. [c.235]

Условия интегрируемости (1.54) дают три векторных равенства. Разлагая векторы Г1, Гг и п и сравнивая коэффициенты при них, приходим к девяти скалярным уравнениям, которые связывают между собой а р и бар, их производные. Среди этих девяти уравнений существенными являются только три формула Гаусса и Петерсона— Кодацци. Формула Гаусса выражает один из важнейших результатов теории поверхностей, а именно полная кривизна поверхности выражается с помощью метрических коэффициентов первой квадратичной формы и их производных. Кривизны поверхности и к при изгибании меняются по отдельности, а величина К=к к2 остается неизменной. Если задана первая квадратичная форма, то вторая квадратичная форма выбирается не про-извольно, а связана с первой квадратичной формой соотношениями [c.30]

Здесь к и 2—главные кривизны поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности имеют вид (координаты и обозначим соответственно и т]) [c.45]

Здесь kl, kz — главные кривизны поверхности, oj, — первая и вторая основные квадратичные формы поверхности. Дискриминант пространственной метрической формы выражается в виде [c.51]

Шесть величин, определяющих деформации срединной поверхности оболочки и изменения ее кривизны (ei, ej, Yi-j, Xi, а, х ), выражаются с помощью уравнений (5.33) через три компонента (и, о, ш) вектора перемещения. Поэтому между упомянутыми шестью величинами имеются некоторые тождественные соотношения. Смысл этих соотношений — условий совмеот-ности деформаций — состоит в том, что элементы срединной поверхности, получившие деформации вц e , Y12 и изменения кривизны и кручения i, Xj, Xi, должны составлять единую непрерывную поверхность. Проще всего получить эти соотношения, потребовав, чтобы коэффициенты, характеризующие первую и вторую квадратичные формы деформированной поверхности В, [c.240]

Знание элемента дуги любой линии на поверхности, которое дои стигается измерениями, производимыми на самой поверхности т доступными двумерным суш.ествам, на ней обитаюш.им , определяе-первую квадратичную форму поверхности и с нею внутреннюю геометрию поверхности к внутренней геометрии принадлежат составляю-ш,ие метрического тензора и все величины, определяемые по ним, т. е. элемент площади, символы Кристоффеля первого и второго рода, геодезическая кривизна линии на поверхности. Задачи разыскания геодезических линий, определения операций ковариантного дифференцирования и параллельного переноса вектора на поверхности также относятся к внутренней геометрии. При изгибании поверхности, не сопровождаемом изменением длин линий на ней, перечисленные величины остаются неизменными — они представляют инварианты изгибания. Нормальная кривизна не является, конечно, инвариантом изгибания. Этим объясняется, что коэффициенты второй квадратичной формы принципиально не могут быть вычислены при задании только метрического тензора. Их определение было связано с введением вектора нормали т поверхности. [c.799]

Равенства (4.24.3) имеют силу только для случая, когда срединная поверхность отнесена к линиям кривизны. Первое из них показывает, что компоненты изгибной деформации Xj, равно как и Ej, сз, Ej, совпадают с теми компонентами, которые использованы в основопологающей трактовке теории оболочек [84]. Однако для компоненты т здесь принято другое определение, предложенное, по-видимому, впервые в 136] и ставшее теперь общепринятым (для компонент изгибной деформации предлагались и другие определения, как, например, в [30]). Равенства (4.24.3) показывают, что компоненты изгибной деформации связаны с изменениями, которые испытывают в процессе деформации коэффициенты второй квадратичной формы. [c.51]

Первая квадратичная форма, определяя внутреннюю геометрию поверхности, не позволяет судить о форле самой поверхности. Формы поверхности могут быть различными при одной и той же первой квадратичной форме. Такие формы можно получить изгибанием поверхности без изменения ее внутренней гешетрии так называемым изометрическим преобразованием поверхностей. При изшетрическш преобразовании поверхность ведет себя как абсолютно гибкая и нерастяжимая среда. Для изучения кривизны линий на поверхности необходимо привлекать понятие второй квадратичной формы. [c.18]

Так как символы Кристоффеля Г р и Гаэ,у выражаются через коэфф1йциенты первой квадратичной формы Gap. видим, что-(2.69), (2.70) суть уравнения относительно Gap, Вар. Уравнение Гаусса (12.69) выражает гауссову кривизну поверхности чере коэффициенты первой квадратичной формы. Уравнения Кодаццн (2.71) есть следствие того, что второй фундаментальный тензор поверхности представляет собой градиент вектора нормали. [c.69]

Линии кривизны на поверхности Д детали в общем случае могут быть найдены как результат интегрирования уравнения, которое в обозначениях Раусса для коэффициентов Е,, Р,, О, первой, и Ь,, М,, К, второй Ф2,д основных квадратичных форм имеет вид [c.489]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...