Эйлера консервативные

Из этого следует, что экстремум интеграла (145.1) будет только для таких кривых //(х), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению (145.9), называемому уравнением Эйлера (оно было опубликовано впервые в 1744 г.). Уравнение (145.9) при x = t и f = L совпадает с уравнением Лагранжа второго рода для консервативной системы с одной степенью свободы. [c.403]

Уравнения движения материальных систем можно найти и на основании принципа Эйлера — Лагранжа. Конечно, в этом случае была бы получена система уравнений, описывающая движение материальной системы со стационарными связями в консервативном силовом поле. Интегральные принципы механики по своему содержанию эквивалентны системам уравнений движения, которые из них вытекают. [c.210]

Можно показать, что в случае консервативных систем, т. е. систем, удовлетворяющих закону сохранения энергии, принцип Эйлера — Лагранжа является следствием принципа Гамильтона. Вместе с тем последний остается справедливым и для неконсервативных систем. [c.18]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Именно Гамильтон, преобразовав принцип Даламбера, впервые дал точную формулировку принципа наименьшего действия. Форма, в которой применяли этот принцип Эйлер и Лагранж, справедлива лишь для консервативных (склерономных) систем. [c.391]

Ну, а если сила может перемещаться только по линии своего действия Консервативна она или нет Почему система, показанная на рис. 96, где сила сохраняет и линию своего действия и направление, не имеет форм равновесия, от-личных от исходной, в то же время как для Рпс, 96, ранее рассмотренного стержня (см. рис. 65, г), когда сила была направлена постоянно по нормали к жесткому диску, задача благополучно решается по Эйлеру И в том, и в другом случае, кстати говоря, работа сил при одинаковых перемещениях получается одинаковой, поскольку силы по горизонтали не смещаются. [c.136]

Применяется также и другой метод определения критической нагрузки в случаях, когда наряду с невозмущенной формой равновесия имеется смежная возмущенная форма равновесия. Если существует смежная равновесная конфигурация, то тело может внезапно перейти от одной равновесной конфигурации к другой при воздействии малых внешних возмущений. Мы будем рассматривать задачу устойчивости способом, который иногда называют эйлеровым методой, для тела, нагруженного неконсервативными внешними нагрузками [21, 23]. Заметим, что, как указано в [23], задача устойчивости для консервативных систем должна изучаться не только методом Эйлера, решающим задачу статической устойчивости, но и динамическим методом, который позволяет определить колебательные формы ухода от исходного положения равновесия системы. [c.99]

Для консервативных систем статический и энергетический критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивости, получающиеся при использовании статического метода, являются дифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой приводит энергетический критерий. [c.267]

Будем считать, что массовые силы консервативны или отсутствуют. Тогда при предположениях, сделанных в данной главе, справедлив интеграл Эйлера — Бернулли. Поэтому вместо уравнений Эйлера используем условие отсутствия вихря и интеграл Эйлера — Бернулли. [c.130]

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничтожаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости [c.221]

Кинетическая энергия является инвариантом, если несжимаемая жидкость не ограничена или ограничена покоящимися стенками, внешние силы консервативны с однозначным потенциалом П и вязкость равна нулю. Действительно, из уравнений Эйлера (1.10) следует [c.77]

Модель Кирхгофа ярко иллюстрирует различия между механикой Ньютона—Эйлера и механикой Лагранжа. В первой силовыми факторами служат лишь силы и моменты. Во второй же силы считаются обобщенными и определяются по виртуальной работе (а-в консервативных системах — по энергии). [c.204]

В задачах устойчивости чрезвычайно важно учитывать поведение нагрузки при деформации системы. Ведь в уравнения входит вариация д, она равна нулю лишь для мертвых нагрузок. Распространены следящие нагрузки, т. е. меняющиеся по некоторому определенному закону при смещениях частиц тела. Статический подход Эйлера работает для следящих нагрузок, если они консервативны, т. е. обладают потенциалом (не зависящим явно от времени). О консервативности нагрузок можно судить по их источнику таковы, например, силы тяготения, электростатические и упругие. [c.259]

Например, вариационный принцип Эйлера — Лагранжа в форме, указанной Якоби, позволил, по-видимому, впервые, установить явную связь между метрикой пространства, в котором движется изображающая точка, кинетическими характеристиками механической системы и потенциальной энергией консервативного поля, в котором движется механическая система. Далее было установлено, что при отсутствии активных [c.7]

Вдоль главной диагонали матрицы тензора кинетических напряжений, определенного в переменных Эйлера, как видно из формулы (2.78), располагаются слагаемые, входящие в кинетическую энергию системы, а также плотность р и соответствующие реакции внутренних связей, введенные в состав как консервативные силы. Как известно из лагранжевой механики, кинетическая энергия системы является основной величиной, определяющей движение системы. По-видимому, этим и объясняется возможность составления уравнений движения без привлечения остальных компонент тензора Н1к к построению системы уравнений (4.13), определяющих обобщенные импульсы. [c.97]

При одинаковых по величине консервативных и неконсервативных сжимающих сил флаттер не наступает и имеет место только эйлеров тип потери устойчивости. [c.183]

Для консервативных систем статический и динамический критерии приводят к одним и тем же значениям критической нагрузки. В математическом отношении статический критерий приводит к хорошо изученной проблеме собственных значений для линейных дифференциальных уравнений. Используя статический метод, Эйлер впервые изучил устойчивость сжатого упругого стержня. [c.348]

Принцип Эйлера — Лагранжа. В отличие от предыдущего, этот принцип применим только к консервативным системам, т.е. системам, полная механическая энергия которых сохраняется. В таком случае идеальные голономные связи являются стационарными, а действующие силы потенциальные стационарные. [c.287]

Для моделирования развития возмущения в газе с постоянным показателем адиабаты у решаются уравнения Эйлера в консервативной форме [c.114]

Действительное движение материальной системы со стационарными голономными связями в консервативном силовом поле отличается от иных кинематически возможных эквиэнергетиче-ских движений тем, что для произвольного промежутка времени лагранжево или якобиево действие, найденное для действительного движения, стационарно. Иначе говоря, первая вариация лагранжевого действия и других его форм, определенная для произвольного промежутка времени соответственно закону действительного движения, равна нулю. Условие (II. 149) или (11. 150) —это необходимые, но недостаточные условия наличия экстремума функционалов, которыми выражается якобиево или лагранжево механические действия. Конечно, как будет видно из дальнейшего, это утверждение относится и к форме действия, предложенной Эйлером. [c.204]

Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело наложены не-голономные связи, нам потребуется применить специальные приемы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена связь качения , которая может быть учтена с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа, как это делается в 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из щести обобщенных координат TpeJ< [c.177]

Заметим, что этот принцип сразу же переходит в принцип Эйлера — Лагранжа, когда система консервативна и когда К задается в виде Я + pn+i. Поскольку последняя переменная t = qnJ - является теперь циклической, импульс рп+ может быть заменен на — и последний член в подинтеграль-ном выражении в (6.10.23) можно опустить. [c.222]

Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо выполнение теоремы Бетти о взаимности работ. По сути дела условие самосопряженности краевой задачи можно трактовать как форму записи этой теоремы. Выйолнение теоремы Бетти гарантируется, если силы консервативны. Поэтому достаточным условием применимости метода Эйлера к решению задачи устойчивости равновесия системы является наличие потенциала внешних сил. Граница между консервативными и неконсервативными силами не совпадает точно с границей применимости метода Эйлера в том смысле, что и некоторые проблемы с неконсервативными силами удается решить методом Эйлера. Однако вопрос, каким дополнительным требованиям должны удовлетворять неконсервативные силы, чтобы задача могла быть решена методом Эйлера, остается открытым. [c.373]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Примером другой сложной ситуации, связанной с потерей устойчивости, является стержень, нагруженный следящей силой, те. силой, которая сохраняет направление конца стержня, к которому она приложена (рис. 12.37). Исследования показывают, что при такой нагрузке у стержня имеется единственное состояние равновесия — прямолинейное. Так как по критерию Эйлера (см. 12.2) в критическом состоянии должны появляться смежные состояния равновесия, то казалось бы, прямолинейное состояние такого стержня можно считать устойчивым всегда. Но такое заключение ошибочно, поскольку появление смежных форм равновесия — липть один из возможных признаков потери устойчивости. Исследование движения стержня, нагруженного следящей сжимающей силой, показывает, что существует такая сила, при превышении которой малые возмущения приводят к колебаниям стержня с нарастающей амплитудой. Причиной такого поведения является неконсервативность следящей силы. Напомним, что консервативной силой пазыва- [c.405]

Отметим принципиально важную особенность, относящуюся только к идеальной жидкости. Как следует из уравнений Эйлера (1.39), для консервативных внешних сил и при несжимаемости жидкости имеем уравнение rot а — 0. Оно называется условием Д Аламбера — Эйлера и в эйлеровых координатах необходимо и достаточно для движения, сохраняющего циркуляцию. В лагранжевых переменных его аналогом выступает условие Ханкеля — Аппеля Rot (Grad х а) — 0. Приняв эти уравнения в качестве аксиом, были решены мнсие задачи динамики завихренности для несжимаемой жидкости путем последовательного кинематического анализа без помощи динамических уравнений [250]. Несмотря на некоторую неизбежную формальность и искусственность, красоту такого построения стоит оценить и сейчас. [c.39]

Стохастическое поведение консервативных гамильтоновых систем известно из работы [136), где показано, что неинтегрируемость некоторой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы приводит к возникновению хаоса. Обзор проблемы хаоса в гамильтоновых системах дан в [200]. в которой проведено интенсивное сопоставление старых и новых взглядов на вопросы интегрируемости. Учитывая некоторую аналогию между задачами небесной механики и движением точечных вихрей, можно предположить, что и в последнем случае будет иметь место хаотическое поведение. Поэтому усилия многих современных исследователей направлены на выяснение вопросов как, где и почему хаотическое поведение входит в динамику точечных вихрей В исследованиях [ 55, 93 ) рассмотрены типичные задачи этого класса. Важной особенностью хаотического движения в задачах вихревой динамики на плоскости является то, что хаос здесь возникает из полных уравнений движения Эйлера, сведенных к гамильтоновой форме, а не в результате модовых (галеркинских) аппроксимаций. Использование таких аппроксимаций является ахиллесовой пятой многих работ по изучению перехода к турбулентности. В частности, если в задаче Лоренца использовать большее число базисных функций, т.е. учесть следующие гармоники полей скорости и температуры, то полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений уже не обладает <саттракторными свойствами. [c.158]

Принципу Гамильтона лредиьествовал принцип Моаертюй (1747 г.), приоритет в отношении которого оспаривался Лейб-ницом. Но только Эйлер и Лагранж, рассматривая консервативную систему, обладающую энергией Е, заменили весьма туманную первоначальную формулировку этого принципа точным математическим утверждением. [c.28]

Результаты, полученные и гл. II, относятся к одномерным нестационарным уравнениям газовой динамики, записанным в лаграижевых массовых координатах. Однако высказанные идеж и принципы могут быть использованы и для других случаев. Так, например, в [68] рассмотрены вопросы, связанные с построением полностью консервативных разностных схем для одномерных нестационарных уравнений газодинамики, записанных в переменных Эйлера. [c.151]

Построить двухслойные полностью консервативные разностные схемы для уравнений газодинамики в переменных Эйлера удается с помощью специального подхода [43]. Он основан на использовании в разностных уравнениях у членов, которые содержат пространственные пpoизF Oдпыe, временных весов, являющихся функциями решения. Указанный подход легко обобщается на многомерный случай. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...