Напряжения главные в сфере

Если Oi = Оз = Од, эллипсоид напряжений превращается в сферу, а само напряженное состояние называется сферическим. Так как в сфере любые три ортогональных направления могут быть приняты за главные, все площадки, проходящие через точку напряженного тела, являются главными. Ниже будет доказано, что, действительно, на любой из этих площадок касательная составляющая напряжения равна нулю. На рис. 5.4 показаны общий и частные случаи эллипсоида Ламе. При этом рис. 5.4, г, д относятся к случаям, поясненным в 5.7, а рис. 5.4, е — к случаю, поясненному в 5.14. [c.389]

Если два главных напряжения равны друг другу, то эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Это означает, что у него будет уже не три главных оси, а бесчисленное множ ество, поскольку в одной плоскости все полуоси равноправны. Но существование бесчисленного множества главных площадок, естественно, не означает, что вообще все площадки стали главными. Вот если все три главных напряжения равны друг другу, то эллипсоид превращается в сферу и тогда, действительно, все площадки становятся главными. Это имеет место при нагружении сплошного однородного тела равномерно распределенным давлением. При таком нагружении касательные напряжения во всех сечениях равны нулю. [c.30]

В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид принимает форму тела вращения. Тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения, становится главной. В случае, когда равны не два, а все три главных напряжения, эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными. [c.309]

Эта название условное если одно (или два) главных напряжений (деформаций) равно (равны) нулю, то эллипсоид вырождается в цилиндр (плоскость). При всестороннем растяжении-сжатии эллипсоид переходит в сферу, чем и объясняется название соответствующей матрицы напряжений (см. определение 8.5). [c.318]

Форма этого решения не налагает, как это было в случае сплошной сферы, ограничения на внешние силы по поверхности полости R = RQ — последние могут представлять и неуравновешенную систему сил. Входящие в (4.6) члены разложения вектора соответствующие л = 0 и л=1, дают напряжения, обращающиеся в нуль при R—>oo, но дающие отличные от нуля главный вектор и главный момент, уравновешивающие главный вектор и главный момент заданной на поверхности полости нагрузки. [c.460]

Если система сил приложена в точках поверхности внутри сферы радиуса в и имеет равный нулю главный вектор, то она вызывает во внутренних точках тела напряжения и деформации порядка в. [c.264]

Если два из трех главных напряжений численно равны, эллипсоид напряжений становится эллипсоидом вращения. Если эти численно равные напряжения имеют один и тот же знак, результирующие напряжения на всех площадках, проходящих через ось вращения эллипсоида, будут равны и перпендикулярны к площадкам, на которых они действуют. В этом случае напряжения на любых двух перпендикулярных площадках, проходящих через эту ось, можно рассматривать как главные. Если все три главных напряжения равны и имеют один и тот же знак, эллипсоид напряжений становится сферой и любые три перпендикулярных направления могут рассматриваться как главные оси. Когда одно из главных напряжений равно нулю, эллипсоид напряжений сводится к эллипсу на плоскости, и векторы, представляющие напряжения на всех площадках, проходящих через данную точку, лежат в той же плоскости. Такое напряженное [c.232]

Сфера применимости данного критерия очень ограничена лежащими в его основе предположениями, такими, как гипотеза об ортотропии, равенстве пределов прочности при растяжении и при сжатии, а также о совпадении осей координат, осей симметрии материала и главных осей тензора напряжений. [c.448]

Суперсплавы по-прежнему в зоне усиленных исследований и разработок. Но есть и заметные изменения в постановке новых задач. Приобретают популярность такие темы, как рост трещины в условиях ползучести и коррозионное растрескивание под напряжением. Прежнее традиционное и сосредоточенное внимание разработчиков к поведению материалов в промежуточном диапазоне температур сегодня не столь велико. Вместо этого довольно активно занялись развитием материалов, предназначенных для использования при боЛее низких и более высоких температурах. Работа в этих разных сферах отличается некоторой фрагментарностью, поскольку ведут ее группы и организации, каждая из которых специализируется в своем собственном конкретном направлении. Главная цель настоящего обзора заключается в том, чтобы сопоставить механические свойства материалов, ставших предметом упомянутых разнонаправленных интересов и разработок. [c.308]

Промежуточное место между линейной и нелинейной теорией занимает теория устойчивости трехмерных упругих тел, в которой учитываются напряжения и деформации, возникающие вследствие поворотов частиц. Впервые такого рода задачу устойчивости для сплошной сферы рассмотрел Л. С. Лейбензон. Позднее, в 30-х годах, появилась серия работ М. Био, отраженных затем в монографии (1965), где были рассмотрены многие задачи, относящиеся главным образом к геофизике и геодинамике. Он рассмотрел различные задачи статической и динамической потери устойчивости слоистых сред с учетом и без учета вязкости. Задачу об устойчивости упругой полосы решал А. Ю. Ишлинский. В последние годы интерес к этому направлению исследований возродился главным образом в связи с задачами механики грунтов. [c.261]

В тонкостенном сферическом резервуаре (рис. 9.19) для любой точки стенки все площадки, совпадающие с сечениями, проходящими через центр сферы, главные (случай, когда главных площадок бесчисленное множество, см. стр. 115). Возникающие из этих площадках напряжения растяжения равны между собой сг = (см. рис. 9.19). Величину этих напряжений можно определить, рассекая резервуар произвольной меридиональной плоскостью и рассматривая условие равновесия оставленной полусферической части. Не приводя вывода, аналогичного проделанному для цилиндрического резервуара, дадим окончательный результат [c.402]

Мы называем простым линейным растяжением один из основных видов напряженного состояния малого материального объема, который вызывает в нем деформацию растяжения, т. е. превращает сферу в эллипсоид, одна из трех главных осей которого удлиняется, а две других укорачиваются. Две из трех составляющих напряжений при этом равны нулю, а третья, алгебраически наибольшая, очевидно, положительна. [c.212]

Напряженное состояние сжатия вызывает в малом материальном объеме тела деформацию сжатия, т. е. превращает сферу в эллипсоид, одна из главных осей которого укорочена, а две другие удлинены, т. е. б1>0, б2>0 и бд < 0. В самом общем случае сжатия (не обязательно идеально монотонном) из трех главных компонентов скорости деформации два положительны, а один (наибольший по абсолютной величине) отрицателен [c.244]

Для каждого п 2 мы построили, таким образом, четыре частных решения, характеризуемые постоянными А, В, С, О, которым мы в случае нужды будем приписывать индекс п. Система напряжений, соответствующих этим решениям, распределённых по любой сфере / = / о, статически эквивалентна нулю. Достаточно убедиться, что обращается в нуль проекция главного вектора на ось г [c.331]

Таких главных диаметров (осей), как известно, имеется в общем случае три, и они взаимно перпендикулярны. Только в частном случае, когда поверхность напряжений есть поверхность вращения, таких диаметров будет бесчисленное множество один из них совпадает с осью вращения, а все остальные перпендикулярны к ней. Наконец, если поверхность напряжений есть сфера, то каждый диаметр будет главным. [c.29]

Полезно привести правило для Фиг. 85. Плоскости главных каса-оп ре деле ния направления, в котором тельных напряжений, определяющие действует х в этой плоскости. С этой ромбический додекаэдр, целью разложим вектор т в указанной плоскости на три составляющие по направлениям трех меридианов единичной сферы, пересекающихся в точке Р (а , ау, аг). Положим, что [c.119]

Полая сфера под действием внутреннего давления в отсутствии силы тяжести. Положим у = 0,Хнт= 0 и обозначим через Or и От главные напряжения. Из условия симметрии два окружных напряжения должны быть равны друг другу, 0t = 0r. Поскольку два остающиеся напряжения Or и От зависят только от радиуса R, но не от полярного угла ф, мы имеем два уравнения [c.614]

Вышеуказанный предел будет зависеть как от формы выделенного элементарного объема, так и от ориентации, ограничивающей его поверхности по отношению к главным осям напряжения. В самом деле, если взять, например, элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда, то результат формулы (5.1) будет меняться с изменением направлений ребер этого параллелепипеда. В частности, если последние совместить с главными направлениями, то т получится равным нулю. Нетрудно сообразить, почему прямоугольный параллелепипед является неподходящей для целей данного параграфа формой элементарного объема на ограничивающей его поверхности представлены только шесть из всего бесчисленного множества площадок, которые могут быть проведены через всякую точку тела. Между тем, вводя понятие среднего касательного напряжения, необходимо учесть (и притом в равной мере) все эти площадки. Из сказанного следует, что единственной подходящей формой элементарного объема является сфера, поскольку только на сфере, ввиду ее полной симметрии, направления всех нормалей к ее поверхности будут вполне равноправны. [c.70]

Оси XYZ могут быть выбраны произвольно. Направим их по главным осям напряжения в рассматриваемой точке. Тогда касательное напряжение на площадке dS сферы, согласно (4.4) и (5.2), определится формулой [c.71]

Эта величина зависит от формы выделенного элемента и от его ориентации по отношению к главным осям тензора напряжений. Выбор сферы объясняется тем, что только на сфере (ввиду ее полной симметрии) будет в равной мере представлено все множество площадок, проходящих через точку. [c.18]

Третий сомножитель в (8.1) описывает фазовую характеристику направленности антенны по главной поляризации излученного поля. Фазовой диаграммой направленности антенны называется зависимость фазового сдвига напряженности поля от направления точки наблюдения при перемещении ее по [поверхности сферы радиуса г с центром в начале выбранной системы координат. [c.147]

Решение задачи ищется в виде асимптотических разложений по малому параметру е. Главный член разложения вне капли определяется решением задачи об обтекании твердой сферы. Главный член разложения внутри капли соответствует течению вязкой жидкости, которое вызывается действием касательного напряжения на межфазной поверхности (касательное напряжение зависит только от внешнего числа Рейнольдса Ке и берется из известных численных решений [226, 288]). [c.58]

Последнюю главу своего большого мемуара Нейманн отводит проблеме остаточных напряжений, т. е. напряжений, сохраняющихся в теле после удаления внешних сил, вызвавших в нем при нагружении пластическое деформирование. Его теория основывается на том допущении, что направления главных пластических деформаций совпадают с направлениями главных упругих деформаций, а их величины являются линейными функциями компонент главных упругих деформаций. Нейманн пользуется своей теорией для исследования остаточных напряжений, возникших в быстро охлажденной стеклянной сфере. Надо полагать, что Нейманн первый занимался исследованием остаточных напряжений. [c.303]

Окружности, изображающие на плоскости о, х этот экватор и параллельные ему круги единичной сферы, имеют общий центр, расположенный на осп а на расстоянии (а 2 от начала координат (точка 3/12 на фиг. 84). Уравнение (10.15) определяет один из трех главных кругов напряжений Мора в плоскостп а, х. [c.116]

Рассмотрим, например, иолую сферу. Решение для случая действия внутреннего давления (стр. 397) дает сумму трех главных напряжений в виде [c.464]

Повидимому, еще не делалось попыток рассмотреть вопрос о возникновении пластических областей вокруг небольшой эллипсоидальной полости в упругом теле, находящемся под действием однородного поля напряжений, когда эти напряжения приложены на большом расстоянии от полости и дей-ствуют по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Тем не менее в связи с этой темой следует обратить внимание на замечательную статью М. Садовского и Е. Стернберга ), в которой дано точное решение упругой задачи о распределении напряжений вокруг эллипсоидальной полости для случая, когда тело на бесконечности находится в равномерном всестороннем напряженном состоянии, главные оси которого параллельны осям эллипсоидальной каверны. Полученное ими решение выражено в замкнутом виде через эллиптические функции Якоби, причем приведены формулы для определения концентрации напряжений, вызванных наличием эллипсоидальной полости ). Из этого общего решения в частном случае получается задача о полости в поле чистого сдвига 0i=0, 03=—о, од=0, когда две из трех главных осей эллипсоидальной полости параллельны главным напряжениям и Og. Другие частные случаи относятся к полостям в форме эллиптического цилиндра и сферы. [c.589]

Тот факт, что агрегат из несвязанных многогранных или округлых твердых частиц при нагружении тремя неравными главными давлениями в определенных пределах обнаруживает (в массиве) упругую сжимаемость и упругие касательные напряжения, уже с давних пор известен ученым, исследовавшим возможные типы деформации грунтовых тел. Достаточно вспомнить, что при землетрясениях волны расширения и сдвига проходят по песку и самым верхним неуплотненным слоям земной коры. Это побудило в недавнее время группу ученых-упругистов развить специальную механику зернистых материалов, основанную ка новых идеализированных моделях. Они предположили, что эти тела состоят из одинаковых упругих сфер, упруго контактирующих друг с другом, и уложенных, скорее всего, в соответствии с одним из наиболее плотных типов упаковки сфер в плотные правильные слои. Кроме того, они считали возможным описать равновесие и характер колебаний сфер, если известно, что происходит на площадке контакта двух сфер, когда между ними передается нормальная сила Р и касательная сила Т. [c.605]

Если образец защемлен по круглому контуру, то при достаточно большом радиусе г контура и малой толщине / образца изгибпы.ми напряжениями, как правило, пренебрегают. Главные напряжения в вершине сферы [c.238]

О и по оси симметрии в случае действия на сферу двух равных и противоположно направленных сил в полюсах при трех значениях коэффициента Пуассона V = О (кривые 1), V = 0,25 (кривые ) и V = 0,5 (кривые 3). На рис. 2.10 помещены эпюр ы для случая сферы, опоясанной нагрузками по экватору. Эпюры жа рис. 2. И показывают распределение напряжений, когда сфера загружена нордшльной нагрузкой Р — —1/(пуЪ), Q — —1/я по параллели Уо = /3 эта нагрузка уравновешена силой Рд = ъ верхнел полюсе (на рис. 2.11, а даны эпюры напряжений по оси симметрии, на рис. 2.11, б — эпюры главных напряжений Сте и по поверхности сферы). [c.83]

Различные типы напряженных состояний, а) Напряженное состо>-ниЕ с одними нормальными напряжениями. Если напряжение на каждой площадке, проведенной через данную точку, нормально к площадке, то при любом выборе прямоугольной системы координат уравнение поверхности напряжений не содержит членов с произведениями уг, гх, ху. В этом случае любые три взаимно ортогональные прямые, проходящие через данную точку, могут быть приняты за главные оси поверхности напряжений. Отсюда следует, что эта поверхность есть сфера и что нормальные компоненты напряжения Х , Yy, равны между собой по величине и по знаку. Если оии положительны, то мы имеем растягивающее иапря- [c.92]

Существенно, что термоупругие напряжения приводят не просто к появлению дополнительного вклада в величину изменения показателя преломления. Через фотоупругий эффект этн напряжения воздействуют на оптическую индикатрису образца ). Если в исходном состоянии образец оптически изотропен (жидкость, стекло, кристалл кубической симметрии), то под воздействием термоупругих напряжений он приобретает свойства одноосного кристалла, обладающего двулучепреломлением его оптическая индикатриса превращается из сферы в эллипсоид вращения. Кристалл иттрий-алю-миниевого граната имеет кубическую симметрию в результате поглощения излучения накачки в нем возникает термически инициированное двулучепреломление, приводящее, в частности, к деполяризации излучения лазера на иттрий-алюминиевом гранате. В случаях, когда образец в исходном состоянии является одноосным или двуосным кристаллом, изменения оптической индикатрисы могут иметь довольно сложный характер поворачиваются главные оси оптической индикатрисы, изменяются значения главных показателей преломления, одноосный кристалл приобретает свойства двуосного кристалла. [c.233]

Как известно, несовершенство упорядоченного расположения атомов в поликристаллических металлах и минералах оказывает влияние на скорость и поглощение акустических волн в этих материалах. Поскольку многие породы состоят из зерен, которые имеют очевидную кристаллическую структуру или, по крайней мере, химическое строение которых предполагает упорядоченность атомов, можно ожидать, что такие же эффект могут проявляться и при распространении сейсмических волн. Полный обзор исследования по этому вопросу и обсуждение наиболее важных идей было дано Мэйсоном (1976 г.). Главная идея заключается в том, что напряжения могут изменять положение дефектов в кристаллической решетке. Это изменяет связь деформации с напряжением в среде, увеличивая значения упругих модулей и добавляя к ним мнимую часть. Чтобы изменить положение дефекта, требуются как тепловая энергия, так и механическое напряжение. Тепловая энергия затрачивается на преодоление энергетического барьера, который смещается под воздействием напряжений. Согласно Мэйсону дефектом, который наиболее сильно влияет на скорость и поглощение волн, является дислокация, представляющая линейную область нарушенного порядка, удерживаемая на обоих концах некоторыми дефектными атомами. В одном слу тае сейсмические волны заставляют дислокацию колебаться подобно растянутой струне, излучая энергию при взаимодействии с тепловыми фоно-иами. Это явление обусловливает широкий максимум поглощения в мегагерцовом диапазоне частот. Более вероятно, что дислокации пересекают энергетический барьер и только частично находятся в области мини-чума потенциальной энергии. Каждая дислокация может содержать некоторое число узлов, при этом движение дислокации происходит в том случае, когда все узлы переходят через потенциальный барьер в соответствии с приложенным напряжением, Этот механизм ведет к независимости Q от частоты. Оба механизма дают значения Q, находящиеся в хорошем согласии с экспериментами на гранитах формации Уистерли и других породах, если использовать некоторые правдоподобные предположения о размере и плотности дислокаций. Результаты более поздних экспериментов [99] не удалось объяснить движением дислокаций в твердой фазе пород. В связи с этим была развита модель, базирующаяся на теории Герца для контактируюш,их сфер, в которой учитывается движение дислокаций на поверхности трещин. Искажения материала, наблюдаемые при деформациях, достигающих 10-, могут быть Объяснены наличием дислокаций, отрывающихся от концевых дефектных атомов. [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...