Круг напряжений Мора главный

Круги напряжений Мора. Удобное двумерное графическое представление трехмерного напряженного состояния в точке тела было предложено О. Мором . Возьмем вновь в качестве координатных осей главные оси тензора напряжений в данной точке тела. Рассечем материальную точку тела (рис. 2.8, а) плоскостью, параллельной аз, и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. [c.50]

Удобным способом приведения напряжений, действующих в любой плоскости, к трем главным напряжениям, является построение кругов напряжений Мора. Круги строятся таким образом, чтобы их центры располагались на оси нормальных напряжений, а величина касательных напряжений откладывается на оси, расположенной перпендикулярно к первой. Общий случай с тремя главными напряжениями ст,, и стд изображен на рис. 2.9, а на рис. 2.9, б показан круг Мора для случая двумерного поля напряжений. В случае трехмерного поля напряжений касательные и нормальные напряжения представляются любой точкой, расположенной внутри заштрихованного участка (рис. 2.9, а). [c.20]

В противном случае не было бы геометрического подобия между главными кругами напряжений Мора и главными кругами деформации (см. гл. XVI). Условие пластичности [c.543]

Рис. 15.2. Предельное напряженное состояние, представленное тремя главными кругами напряжений Мора,

Рис. 15.3. Главный круг напряжений Мора.

Круг напряжений Мора может быть построен и по известным главным напряжениям а1 и Из рис. И видно, что нормальные напряжения достигают экстремальных значений а и ад в точках В ж А пересечения круга с осью а, а наибольшее касательное напряжение равно радиусу круга. [c.34]

Заметим, что одноосное напряженное состояние может рассматриваться как частный случай плоского. При этом круг напряжений будет проходить через начало координат (рис. 162). Наконец, в случае равномерного всестороннего растяжения (а = с ) или сжатия ((Та = 0з) в плоскости круг Мора превращается в точку. Тогда, как уже указывалось ранее, все площадки будут главными. [c.170]

Плош,адке А соответствует точка А круга, а площадке В — точка В. По двум точкам строится круг Мора. Главным плош,адкам соответствуют точки круга 1 и 3, а соответствующие им главные напряжения будут [c.82]

Недостатком теории прочности Мора (так же как и третьей теории) является пренебрежение влиянием промежуточного главного напряжения с 2- Кроме того, следует иметь в виду, что, по существу, она применима для случаев таких напряженных состояний, для которых а О, а 03 О, т. е. главные круги Мора (т. е. круги, построенные на главных напряжениях а и аз) располагаются между кругами, соответствующими одноосному растяжению и одноосному сжатию, использованными при выводе условия прочности (8.9). [c.350]

Если не принимать во внимание oj, любое напряженное состояние можно изобразить при помощи круга напряжений, построенного на разности главных напряжений и Чз. Причем если oj и 03 достигают величин, соответствующих предельному напряженному состоянию, при котором происходит нарушение прочности, то круг Мора является предельным. [c.85]

Из построения круга напряжений (круга Мора) или аналитического определения следует, что при чистом сдвиге главные площадки составляют угол 45° с поперечным сечением образца. [c.132]

Круги напряжений (круги О. Мора). Через точку напряженного тела проведем площадку с нормалью v, составляющей с главными осями углы, косинусы которых суть I, ти п. Составляющие полного напряжения на этой площадке суть Ov и Ту. Тогда относительно I, т и п можно составить следующую систему уравнений [c.425]

Если огибающая предельных кругов Мора построена, то для ответа на вопрос является ли напряженное состояние, характеризующееся главными напряжениями а , предельным и оценки прочности материала следует построить для и аз круг напряжений в опасной точке материала. Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри огибающей. Для нахождения коэффициента запаса следует определить во сколько раз необходимо увеличить а и аз, чтобы круг касался огибающей. [c.105]

Из круга Мора, построенного для пространственного напряженного состояния (см, рис. 13.3, б), видно, что экстремальные касательные напряжения действуют по площадкам, параллельным главному напряжению а , так как наибольшие по абсолютной величине ординаты принадлежат кругу, построенному по главным напряжениям о, и og. Эти площадки наклонены к площадкам, по которым действуют главные напряжения о, и о , под углами в 45°, Значения экстремальных касательных напряжений равны [c.108]

Пример 3.3 (к 3.3, 4.3 и 5.3). Для напряженного состояния, изображенного на рис. 21.3, а, найти аналитически и графически (с помощью круга Мора) главные нормальные и экстремальные касательные напряжения, а также определить положения площадок, по которым эти напряжения действуют. [c.119]

Построенная на диаграмме Мора кривая (14.252), называемая предельной кривой, выражает графически эту зависимость. Очевидно, что эта предельная кривая нигде не пересекается с главными кругами Мора, ибо если бы она пересекала самый большой главный круг напряжений, то существовало бы касательное напряжение, значение которого было бы больше его значения на предельной кривой. Следовательно, предельная кривая должна бить огибающей всех больших главных кругов Мора. Абсциссы и ординаты точек этой кривой дают значения нормального и касательного напряжений на плоскостях скольжения, вдоль которых материал будет течь. С целью упрощения Прандтль предложил принять предельную кривую за прямую линию. В этом случае уравнение (14.252) заменяется уравнением прямой [c.416]

Имея в виду эти будущие применения и желая представить девиатор напряжений через главные круги Мора, помещаем начало координат О в плоскости а, х в центре тяжести трех равных масс, которые можно представить сосредоточенными в точках [c.125]

Равенства (15.22г) п (15.22д) представляют собой уравнение огибающей Мора главных наибольших кругов напряжений или уравненпе предельной кривой г —/(<з) в параметрическом виде. [c.244]

Огибающая наибольших кругов главных напряжений, представляющая пределы текучести, должна удовлетворять ряду условий. Очевидно, она не должна пересекать ось о в ее отрицательной части, поскольку это было бы равносильно предположению, что пластическую деформацию можно вызвать в твердых материалах действием гидростатического давления — = — р, / > 0). Экспериментальные данные показывают, что прп больших отрицательных значениях а огибающая стремится занять положение, параллельное осп а.-С другой стороны, если две симметричные ветви огибающей Мора пересекаются в точке, расположенной па положительной части оси о, образуя с осью а некоторый конечный угол, то это означает, что главный круг напряжений, касательный к обеим ветвям в этой точке, стягивается в математическую точку. Но если огибающая представляет условие пластичности, то это будет противоречить экспериментально установленным фактам, потому что указанной точке соответствовало бы трехосное равномерное растяжение, при котором пластических деформаций в материале возникнуть не может. Это привело исследователей к предположению, что огибающая Мора, как условие пластичности, теряет физический смысл вблизи положительной части оси а. [c.248]

По гипотезе Мора, форма характеристической огибающей главных кругов напряжений для всех предельных напряженных состояний, производящих пластическую деформацию, не должна зависеть от промежуточного главного напряжения. Если, например, предел текучести материала при растяжении такой же, как и при сжатии, так что наибольший главный круг напряжений для обоих случаев (одноосное растяжение, одноосное сжатие) имеет одинаковый диаметр, то предел текучести при чистом сдвиге должен быть равен половине значения предела текучести при растяжении или при сжатии. Это не подтвердилось, так как проведенные недавно опыты с такими материалами показали, что соответствующее отношение значительно превышает /2. [c.252]

Скорости сдвига пропорциональны касательным напряжениям. Построение, представляющее посредством главных кругов Мора тензор скоростей деформации, всегда геометрически подобно построению для соответствующих главных кругов напряжений (фиг. 179 и 180). [c.260]

Как уже упоминалось, по предложению Л. Прандтля можно дать рациональное определение широкого класса пластичных веществ, основываясь на обобщенном условии пластичности в соответствии с представлением Мора и используя уравнение огибающей главных наибольших кругов напряжений [c.629]

Уже много лет тому назад исследователи равновесия грунта считали, что они могут рассматривать типы связных грунтов на диаграмме Мора (рис. 15.46), сдвинув начало отсчета напряжений Gn, Тп на графике наибольших главных кругов напряжений вправо в положение Оо. При этом остается более или менее неопределенным, откуда должны начинаться две прямолинейные огибающие кругов напряжений ОВ — от точек В или точек В, и, кроме того, имеется возможность провести окружности OjO ( Ti = a , (12 = сгз = 0) и ОоГ (ai = a2 = 0, аз =—ot) для состояний одноосного сжатия и растяжения, соответствующих пределам [c.580]

Окружности, изображающие на плоскости о, х этот экватор и параллельные ему круги единичной сферы, имеют общий центр, расположенный на осп а на расстоянии (а 2 от начала координат (точка 3/12 на фиг. 84). Уравнение (10.15) определяет один из трех главных кругов напряжений Мора в плоскостп а, х. [c.116]

В некоторых более ранних работах, указанных на стр. 306, Бриджмен установил, что условие разрушения в центре минимального поперечного сечения образца, разрушенного путем растяжения и при высоком боковом давлении, определяется значением среднего напряжения (з1+а2+зз)/3. Однако в статье, опубликованной в 1946 г., он пишет Были предприняты изыскания для определения возможного критерия разрушения, причем были построены различные диаграммы, связывающие напряжения и деформации в момент разрушения. Ни один из критериев не оказался пригодным для всех условий. Критерий среднего гидростатического напряжения (одна треть суммы трех главных составляющих напряжений) оставался лучпшм для целого ряда условий, однако в некоторых случаях он давал значительные отклонения и его преимущество перед критерием, выражающим, что полное напряжение в волокне в направлении разрушения должно быть постоянным, является не очевидным . Критерий постоянного значения среднего напряжения несправедлив, когда сравниваются напряженные состояния, в которых два наименьших круга напряжений Мора имеют равные радиусы, т. е. когда среднее главное напряжение есть среднее арифметическое от и jg. При чистом сдвиге = х, = О, = —т металл разрушается при некотором значении т, но среднее напряжение при этом равно нулю. [c.308]

Если 1вестны напряжения, действующие по двум взаимно ПС ндикулярным площадкам, проходящим через данну аьточку, то определение. напряжений по любым друз и.м площадкам, а также положений главных площадок и площадок сдвига можно проводить графическим способом — с помощью круга Мора (или круга напряжений). [c.101]

Выделим в окрестности точки, напряжения в которой изучаются, элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам (рис. 3.11, а). Проведем через кубик площадку, параллельную напряжению Ст1 (на рис. 3.11,п эта площадка защтрихована). Величины а и I нормальных и касательных напряжений, действующих по этой площадке, зависят только от напряжений Ст2 и Стз и не зависят от напряжений а , поэтому для определения значений а и х можно использовать формулы, применяемые при исследовании плоского напряженного состояния. Напряжения а и I по любым площадкам, параллельным одному из главных напряжений, можно определить с помощью круга Мора, построенного по двум другим главным напряжениям. На рис. 3.11,6 щтриховой линией изображен круг Мора, координаты точек которого равны напряжениям а и х по площадкам, параллельным напряжению Стз. Аналогично, напряжения а и х по площадкам, параллельным главному напряжению Сз, можно определить с помощью круга Мора, изображенного сплошной линией, а по площадкам, параллельным напряжению Мора, изображенного точками. [c.105]

Задача 3.2 (к 3.3, 3.4 и 3.5). Для напряженных состоя шй, изображенных на рис. 3.20, б, в, найти аналитически и с помо гью круга Мора главные нормальные и экстремальные касателг ные напряжения, а также определить углы между площадками, по которым действуют напряжения и вертикальными 1Ло- [c.118]

Задача 2.3 (к 3.3, 4.3 и 5.3). Для напряженных состояний, изображенных ца рис. 25.3, б, в, найти аналитически и с помощью круга Мора главные нормальные и экстремальные касательные напряжения, а также определить углы между площадками, по которым действуют напряжения ащах, и вертикальными площадками. [c.123]

Наиболее распространенным графическим методом является построение кругов или диаграмм Мора (рис. 1.6). При этом построении по оси абцисс откладывают нормальные, а по оси ординат касательные напряжения. Зная главные напряжения, можно графически определить нормальные и касательные напряжения на любой площадке, заданной ориентировки. В частности, максимальные касательные напряжения определяются радиусами кругов, диаметры которых являются разностями главных нормальных напряжений. При отсутствии касательных напряжений круги Мора превращаются в точки (радиусы кругов равны нулю). [c.33]

Этот экспериментально. установленный факт эквивалентен утверждению, что три главных круга Мора, определяющие некоторое предельное пластическое деформированное состояние, можно сдвинуть в плоскости напряжений Мора в наиравленпп оси а как одно целое, сохраняя ири этом их способность характеризовать то же самое предельное напряженное состояние. Другими словами, поскольку условие пластичности не зависит от среднего напряжения (охОд-[-аз)/3, мы люжем описывать все многообразие возможных напряженных состояний, вызывающих пластическую деформацию, ограничиваясь рассмотрением лишь девпаторов напряжений. [c.124]

Мы уже указывали, что при любом напряженном состоянии, вызывающем пластические деформации, тупой угол между двумя плоскостями скольжения делится пополам направлением алгебраически наибольшего (а ), а острый угол (ср)—направлением алгебраически паименьгаего (од) из трех главных напряжений. В графическом представленип Мора для плоского напряженного состояния, характеризующегося главными напряжениями п а. , угол 9 наклона радиуса СР точки Р главного круга напряжений [c.244]

Гипотеза Мора о существовании огибающей больших главных кругов напряжений (теория наибольшего касательного напряжения или теория Геста) представляет большие трудности для математической формулировки условия пластичности в общем случае напряженного состояния. Эти трудности были устранены Р. Мпзо-сом ) и Г. Генки ), которые включили в условие пластичност. также промежуточное главное нормальное напряжение. Вспомним, что условие пластичности /i (з , Зд, Зд) = О можно представить 1Ю-верхностью в прямоугольной системе координат з , 3g, Зд. Очевидно, теорип пластичности, основанные на условиях скольже-яия —теория Мора, теория наибольшего касательного напряжения и теория Геста, которые используют гипотезу о то.м, что величина [c.258]

Резюмируя результаты опытов Лоде, а также Тэйлора и Квинни, можно сказать, что для исследованных ими металлов среднее главное нормальное напряжение Од, вопреки теории Мора и теории наибольшего касательного напряжения, оказывает заметное влияние на диаметр наибольшего главного круга напряжений. Согласно условию Тмакс. = onst, для состояния чистого сдвига ( = 0) диаметр указанного круга должен быть равен о , тогда как опыты ясно показали, что он значительно больше и близок к значению 2.ajY = 1,155 о , соответствующему теории Хокт. = onst. [c.280]

Vienna, 1952. Леона будут помнить также за его выдающиеся исследования по хрупкой и сдвиговой прочности (он обобщил теорию прочности Мора, предложив использовать параболу в качестве огибающей главных кругов напряжений, что было проверено им в опытах с чугуном) и за его обшир ные работы по концентрации напряжений. [c.67]

Наиболее важные исследования Мора можно найти в переработанном виде в собрании четырнадцати его избранных произведений (цит. в предыдущей сноске). Этот сборник содержит сообщения о принципах графостатики, связанных с идеями Вариньона и Кульмана, о геометрии масс и о напряжениях и деформациях (графические методы Мора для представления моментов инерции масс, распределенных в пространстЕе, и однородных напряженных состояний и малых деформаций) кроме того, там содержится фундаментальная теория механической прочности твердых тел и состояний предельного равновесия идеальной сыпучей среды, основанная на рассмотрении огибающей наибольших главных кругов напряжений (часть которой Мор опубликовал уже в 1882 г.), и метод проведения при помощи карандаша и линейки упругой линии балки путем построения веревочных линий. Инженеры обязаны Мору многими элементарными приемами, которые они повседневно используют при расчете ферм, мостов, подпорных стенок и деталей машин. [c.532]

Направление напряжения о в элементе материала определяет направление наибольшего давления, а те два плоских сечения, в которых отношение xjon становится равным либо -ftgp, либо —tgp (точки Р и Р2 на рис. 15.2), называются плоскостями скольжения. В состоянии предельного равновесия кучи песка они определяют два семейства поверхностей, которые в соответствии с представлением напряжений по Мору всегда пересекаются вдоль направления промежуточного главного напряжения аг и называются поверхностями скольжения. В состоянии предельного равновесия каждой точке кучи песка сопоставляются две поверхности скольжения. Предположим, что мы поворачиваем плоскость сечения вместе с нормалью п вокруг оси промежуточного главного напряжения аг. Тогда точка Р оп, Тп) описывает на рис. 15.3, а главный круг напряжений. Вспоминая, что при этом нормаль к плоскому сечению поворачивается на половину угла РМС и что положения точки Я, совпадающие с точками С, Р, и Рг, определяют соответствен- [c.534]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...