Задача о балке

Этот метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений называют также методом сеток. Он состоит в следующем. Вся область рассматриваемого тела (область решения краевой задачи) — ось балки, плош адь пластины, поверхность оболочки и т. д.— покрывается сеткой линий, точки пересечения которых называют узлами. За неизвестные принимаются значения разыскиваемых функций в узлах сетки. Для этого строятся приближенные формулы для производных от функций, выраженные через узловые ординаты этих [c.229]

Уравнение (3.11.1) встречается не только в задаче о балке на упругом основании, но и в других разделах строительной механики, например, в теории цилиндрических оболочек. Займемся сначала интегрированием однородного уравнения [c.110]

Принцип Сен-Венана был сформулирован в главе I. Этот принцип был использован в задаче об изгибе консоли при рассмотрении граничных условий. В задаче о балке на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки он был применен для смягчения граничных условий. Последняя задача позволяет дать количественную оценку принципу Сен-Венана. [c.78]

Постановка плоской задачи о балке и плите. Рассматривается обобщенное плоское напряженное состояние в прямоугольной полосе длины / и высоты 26 О х I, —Ь-s у К-Ь). Принимается, что 2 <С и это делает приемлемой, в соответствии с принципом Сен-Венана, допустимость точного выполнения краевых условий только на длинных сторонах у = Ь прямоугольной области и замену распределения поверхностных сил на коротких сторонах (х = О, х = I) статически эквивалентным распределением — продольной и поперечной силами Р, Q и изгибающим моментом ц. Поперечное сечение балки представляет прямоугольник толщиной h и высотой 2Ь, причем h Ь, что позволяет ограничиться рассмотрением средних значений напряжений и перемещений по толщине балки. Принятая постановка задачи применима также к задаче о плоской деформации плиты, теоретически бесконечно протяженной по оси х , когда закон нагружения ее граней у = Ь, х = О, х = 1 не зависит ог Хз. Размер по оси не фигурирует в дальнейшем изложении, он может быть принят равным единице длины. Переход к формулам задачи о плите от формул рассматриваемой далее задачи о балке осуществляется в соответствии с правилом (1.6.5) путем замены [c.482]

В полученном приближенном решении (2.7.10) исчезает упомянутое различие абсолютных значений величин Ох х, 6). Нетрудно сообразить, что (2.7.10) соответствует решению задачи о балке длины /, левый конец которой (х = 0) свободен, нагруженной по линейному закону [c.497]

Нагружение кругового бруса по поверхности. Предложенный в пп. 2.3—2.8 прием рассмотрения задачи о балке с прямолинейной осью можно применить и к случаю кругового бруса. Действительно, записав уравнение Лапласа в полярных координатах в форме обыкновенного уравнения типа Эйлера [c.506]

К п. 5.9. Постановка и ход решения задачи о балке, нагруженной на ее боковой поверхности по полиномиальному закону, даны в статьях [c.922]

Эти уравнения служат определяющими в динамической задаче о балке с учетом деформации поперечного сдвига, т. е. в так называемой теории балки Тимошенко [10]. Из полученных выше соотношений видно, что энергия деформации балки Тимошенко имеет вид [c.204]

Приложение теории упругости для плоского напряженного состояния к задачам о балках [c.151]

Такая задача о балке со смешанными граничными условиями относится к классу статически неопределимых. Прогиб w должен удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка [c.34]

Таким образом приходим к плоской задаче о балке-стенке ) со следующими граничными условиями [c.244]

Рассмотрим несколько задач о балках постоянного полеречного сечения. В в этом случае будет величиной постоянной и формулы (16) и (17) примут вид [c.64]

Продолжая исследование задачи о балке—консоли постоянного поперечного сечения, Галилей заключает, что изгибающий момент веса балки возрастает пропорционально квадрату длины. Сохраняя длину круговых цилиндров, но меняя радиусы их оснований, Галилей находит, что их момент сопротивления пропорционален кубам радиусов. Этот результат следует из того факта, что абсолютное сопротивление пропорционально площади поперечного сечения цилиндра, а плечо момента сопротивления равно радиусу цилиндра. [c.23]

Если сечение меняется по длине, то мы уже не можем утверждать, что сечения такой балки останутся плоскими даже при чистом изгибе. В действительности они и не остаются плоскими, а поэтому напряжения по сечению распределяются не по линейному закону, на котором основана вся теория изгиба. Однако если сечение меняется по длине сравнительно медленно или, оставаясь постоянным по длине отдельных участков балки, меняется скачкообразно на границах участков то использование формул изгиба, выведенных для балки постоянного сечения, приводит к незначительным погрешностям. С этой оговоркой рассмотрим несколько задач о балках переменного сечения, удовлетворяющих требованию равенства запаса прочности. [c.219]

Вывод формулы нормальных напряжений при изгибе ( 40) основан на важном допущении о взаимной перпендикулярности нейтральной и силовой линий. Поэтому и вся вышеизложенная теория изгиба верна лишь в тех случаях, когда указанное допущение оправдывается. Ввиду этого до сих пор рассматривались лишь задачи о балках симметричного профиля нагруженных в плоскости симметрии, поскольку для таких балок допущение о взаимной перпендикулярности силовой и нейтральной линий безусловно справедливо. [c.254]

Полезная ширина полок широкополых балок. В качестве ДРУ ого примера применения начала наименьшей Работы к плоской задаче о балках прямоугольного сечения рассмотрим балку сочень широкими полками (фиг. 99). Такие балки часто встречаются в железобетонных сооружениях и в конструкциях корабельных корпусов. [c.177]

Пользуясь уравнениями (6.69), можно, очевидно, решить задачу о балке, заделанной концами в стенки для этого величину опорных [c.163]

Ц е й т л и н А. И. Решение нестационарных динамических задач о балках и плитах, лежащих на упругом основании. Стр. мех. и расчет сооружен. , [c.123]

Общую теорию плоской задачи подобного рода дал Филон ). Среди решенных им частных задач имеется задача о балке бесконечной длины, которая на одной стороне нагружена в какой-нибудь точке, сосредоточенной силой. Компоненты напряжения и смещения в этом решении выражаются при помощи определенных интегралов, и исследование результатов представляет значительные трудности. Ясно, что если бы решение этой специальной задачи было получено в удобной легко обозримой форме, то и решение того вопроса, которым занимался Стокс, могло бы быть получено путем синтеза соответствующих решений Филона. Последний выводит из своей работы заключение, что значение, данное Стоксом для горизонтального растягивающего напряжения, требует поправки главным образом в нижней половине балки и что данное Стоксом значение вертикального давления является хорошим приближением. [c.385]

Начнем с задачи о балке, свободно лежащей на двух опорах и показанной на рис. 298,а, и определим прогиб в точке Ь, когда нагрузка Р действует в точке С. Этот прогиб получится подстановкой в уравнение (86) х—й, [c.296]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, получить граничные условия в задаче о поперечных колебаниях консольной балки длины I. [c.378]

Решение. Прикладываем к каждому элементу стержня длиной, равной единице, силу инерции Qa/g. Видим, что эта задача эквивалентна задаче о простой балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q- -qa/g. [c.289]

Кроме ошибки, обусловленной использованием тангенса угла в качестве самого угла в действительности могут иметь место перемещена в направлении оси х, которые должны быть рассмотрены наряду с поперечным перемещением w, отсюда следует, что величину dx надо просто заменить на dx( +txm), где г т — осевая деформация срединной (mifidle) поверхности, о которой разговор пойдет ниже. Математически точное выражение ld w/dz )/[l + idw/dxy] для кривизны, выражающей зависимость прогиба IV от координаты х, в данном случае может не применяться, так как здесь перемещенйя в направлении оси х не рассматриваются. Ошибки, вызываемые такими аппроксимация-ИИ, пренебрежимо малы для задач о балках, которые будут рассматриваться. [c.57]

Концевые условия, подобные приведенньш в выражениях (2.6), которые рассматривают только результирующие силы и моменты на конце или углы наклонов, а также прогибы срединной. поверхности (или какой-либо другой специфической поверхности), можно назвать интегральными концевыми условиями. Полное удовлетворение действительным условиям на каждом" конце в общем случае означает удовлетворение уже некоторым другим, отличным от приведенных в выражениях (2.6)), условиям, причем число этих условий значительно больше двух. Точные краевые условия в задаче о балке включали бы в себя определение напряжений, перемещений (или соотношений между ними) в каждой точке поперечного сечения, а это дает теоретически бесконечное число условий. Некоторые из этих условий могут случайно оказаться удовлетворенными решениями уравнений (2.4) и (2.4а), которые получены для данного случая, так как любое решение описывает некоторое напряжение и перемещение в каждой точке поперечного сечения, и может случиться, что именно они и будут требуемыми напряжениями и перемещениями. Но в общем случае это маловероятно, и при решении уравнения четвертого порядка, полученного на основе аппроксимации Бернулли, можно быть уверенным, что удовлетворяются только два условия (т. е. на каждом конце следует изменять произвольно только два условия). Конечно, нужно использовать эти два условия, чтобы получить по возможности наилучшую аппроксимацию, удовлетворив условиям по результирующим напряжениям во всех [c.65]

Если же используются неортогональные ряды, то выражение энергии деформации будет додержать, кроме квадратов, еще и произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут в общем случае содержать все, или по крайней мере более одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений. Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число членов, которое практически Можно использовать. При использовании подобных методов S задачах для пластин и оболочек, особенно в случае, когда краевые условия отличаются от условий свободног,о опирания или прогибы не малы по сравнению с толщиной и поэтому должна использоваться нелинейная теория, уравнения, вытекающие из принципа возможной работы (которые часто представляют единственный, практический путь получения какого-либо решения вообще), могут, оказаться настолько трудными для решения, что на практике используются, если позволяют время и средства, один член (метод Релея) или в лучшем случае несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать, насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций можно представить истинную форму, которая в свою очередь может быть только грубо определена из экспериментов. Хотя в случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли- j6o Имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы можно в сильной степени прояснить путем Простых иллюстраций на задачах о балках. [c.102]

Те члены ряда, для которых р + qнапряженного состояния и дают самое большее только перемещения как жесткого тела, поэтому они опускаются Первым трем из представленных решений т = 1, 2, 3) соответствует р + q = A, следующим четырем р + g = 5, следующим четырем р + q = 6 и последним четырем р + g = 7 таблицу можно было бы продолжать до бесконечности, но представленных решений достаточно для исследования задач о балках прямоугольного поперечного сечения как с нулевой, так и равномерно распределенной поперечной нагрузкой. Два первых решения тождественно удовлетворяют уравнению У ф = О, третье решение, как говорилось выше, удовлетворяет условию равенства выражения ф произвольной постоянной. Все остальные члены степенных рядов нужно скомбинировать та ким образом, чтОбы было выполнено условие V = О, указанное требование уменьшает число независимых решений до четырех для каждого значения суммы р + q , можно было бы отыскать и другие формы решений, но они представляли бы собой простую комбинацию указанных четырех решений для каждого значения p + q. [c.152]

Решения для плоского напряженного состояния типа, обсуж денного в предодущем разделе, позволяют получать почти точные решения для большого числа практических задач о балках, эа исйлючением тех решений, которые обычно относятся к различным, но статически эквивалентным действительно действующим нагрузкам, приложенным на небольших участках поверхности балки. Согласно принципу Сен-Венана разница между напряжениями, вызванными действительным нагружением, и напряжениями, вызванными статически эквивалентным нагружением, представляет собой поле локальных напряжений, т. е. некоторое распредел ение локальных напряжений. [c.171]

При рассмотрении задачи прочности такого бруса система уравнений распалась на два независимых уравнения, одно из которых было 5фавнением для усилий в связях сдвига в стержне с абсолютно жесткими поперечными связями, а другое давало такое распределение усилий S в поперечных связях, какое получается для отпора грунта при решении задачи о балке на упругом основании. Покажем, что и система уравнений устойчивости такого стержня распадается на две независимые группы. Одна из них дает такие значения критической нагрузки и формы потери устойчивости, какие возникают в стержне с абсолютно жесткими поперечными связями, которые при этом остаются ненапряженными, другая же группа уравнений приводит к решению, аналогичному решению задачи устойчивости стержня в упругой среде. [c.234]

В главе I мы, как первую задачу, теоретически рассмотренную в сопротивлении материалов, отметили задачу о балке, один конец которой заделан, а другой нагружен силой. Это была задача о баяке, подверженной действию постоянной перерезывающей силы. До Сен-Венана упомянутая задача привлекала внимание многих математикоз. В частности, ею занимались Кулон и Коши. В то же вреяя были предложены также решения задачи кручения, но все они были получены с помощью методов, основанных на сомнительных предположениях. Полученные решения, в свете современных знаний справедливы при некоторых ограничениях, но последние тогда не были ясно сформулированы ). Сен-Венан ) первым ввел задачи об изгибе и кручении в область общей теории (которая приобрела свой законченный вид после того, как Навье вывел общие уравнения теории упругости )). [c.417]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

Для оценки этого отклонения рассмотрим растянутый стержень, имеющий форму плоского треугольного клина (рнс. 222). Мы уже встречались со стержнем такой форхмы при решении задачи о балке равного сопротивления. Анализ показывает [3], что главные площадки расположатся по лучевым и концентрическим круговым сечениям (рис. 223). Поперечные сечения, нормальные к оси, не совпадают с главными, в них возникают касательные напряжения, и после деформации они перестают быть плоскими. [c.225]

Решению задачи о балке на упругом основании с подстилающим абсолютно жестким слоем посвящена другая работа Г. И. Покровского. В этой работе автор, исходя из формулы БуС синеска и учитывая оптические исследования Файлона, дает приближенные формулы. Пользуясь оптическим методом исследования напряжений, Г. И. Покровский подтверждает полученные формулы. [c.99]

Альперин И. А. Задача о балке на упругом основании. Всесоюзное совещание по строительной механике при Институте механики АН СССР, 1939, 22—26 ноября. [c.106]

Как шшюстрацию рассмотрим простую задачу о балке в продольном магнитном поле. Балка располагается на декартовой оси z, концы г = О, г = / закреплены, магнитная индукция В = Вк = onst, по балке течет постоянный (по величине) ток I. В классической модели балки при равных жесткостях на изгиб для прогиба и = + Uyj легко получить следующую постановку [c.335]

Решим задачу о балке, лежащей на трех симметрично расположенных опорах и несущей по всей длине балки I равномерно распределенную нагрузку (рис. 178). Представим себе, что сначала балка имела лишь две крайние опоры и нагрузка q выззала прогиб в середине. Приложим силу R в середине балки и будем ее постепенно увеличивать. Эта сила будет уменьшать прогиб, и при некотором значении силы он обратится в нуль. Поскольку прогибы от различных нагрузок складываются, следует решить задачу о прогибе балки, загруженной силой R посередине. Величина R найдется из условия [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...