Уравнения взвешенных невязок

Большая группа методов приближенного решения задач теплопроводности базируется на интегральной формулировке [например, в виде интегрального соотношения (2.47)]. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок. Их особенность состоит в подборе приближенного решения из условия малого рассогласования (невязки) при его подстановке в дифференциальные уравнения теплопроводности и краевые условия. Один из наиболее распространенных - метод Бубнова-Галер-кина [10] - характерен тем, что искомое приближенное решение представляется как линейная комбинация функций, входящих в интегралы взвешенной невязки в качестве весовых. [c.47]

Уравнения (1.4.44) и есть уравнения метода взвешенных невязок. Внося в эти уравнения выражение (1.4.20) для (хз, XI, Хз), получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов ai . [c.49]

Так называемый метод граничных элементов стремится к удовлетворению приведенного выше интегрального уравнения в смысле взвешенных невязок. Сначала отметим, что хотя объемный интеграл и входит в (4.13), он тем не менее не содержит искомое решение Для вычисления объемного интеграла внутреннюю область необходимо подвергнуть дискретизации, однако при этом отпадает необходимость во внутренних элементах в том смысле, в каком используются конечные элементы. В пределах каждого граничного элемента и могут быть подвергнуты интерполяции. Заметим, что некоторые узловые значения заданы на St, в то время как узловые значения заданы на Su- Можно показать [57, 58], что метод граничных элементов в случае линейной упругости приводит к уравнениям типа [c.206]

Как было разъяснено в предыдущем параграфе, конечно-элементные уравнения (4.1), выведенные на основе принципа виртуальной работы (3.8), содержат условие, по которому вновь образовавшиеся поверхности трещины свободны от нагружения в смысле взвешенных невязок. Таким образом, моделируя динамическое развитие трещины в линейно-упругом материале-с помощью стационарной сетки, когда расстояние между узлами равно СЛг" (С—скорость движения трещины), необходимо снять ограничения с перемещений в предыдущем месте расположения вершины трещины. Этот факт общепризнан в случае установившегося роста трещины в условиях пластичности. Что касается литературы, затрагивающей динамическое развитие трещины в линейно-упругих средах, то в ней это обстоятельство отражено недостаточно четко. Если для устранения реакций, действующих в старом месте расположения вершины, приложить также равные и противоположно направленные узловые силы, то поверхность трещины окажется нагруженной. [c.279]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

Получим уточненные уравнения пластины методом взвешенных невязок и сопоставим их с результатами п. 3. Вектор [c.113]

Для иллюстрации идеи метода взвешенных невязок рассмотрим задачу определения функции и (значения которой могут быть как скалярными, так и векторными величинами), удовлетворяющей внутри области V с границей S уравнению общего вида [c.389]

Уравнение (14.4) и является основным соотношением метода взвешенных невязок для нашей задачи. Детальное изложение этой процедуры можно найти в статье Зенкевича с соавторами [5]. [c.390]

Методы взвешенных невязок представляют собой численные процедуры построения приближенного решения системы дифференциальных (или интегральных) уравнений вида [c.12]

При смягчении требований к непрерывности функции, т. е. понижении порядка функционального пространства, получим слабое решение. Слабое решение называют обобщенным, если можно доказать его единственность. Оптимальной формой слабого решения является такая, при которой пространства базисных и весовых функций совпадают. Под оптимальностью в данном случае понимается равновесие между единственностью и существованием. Методы взвешенных невязок интерпретируем как специфическую численную процедуру для получения слабых решений. Чтобы показать, как могут быть ослаблены требования к непрерывности, изучим следующее уравнение второго порядка [c.24]

Из уравнения (5.64) и граничных условий можно записать следующее выражение применительно к методу взвешенных невязок [c.169]

Мартин предложил также при точном выполнении условия для д 1дп на (условие Неймана) уравнение, связывающее узловые неизвестные. Мы обычно предпочитаем применять условие Неймана, используя формулировку метода взвешенных невязок, как показано в уравнении (5.93). [c.176]

При использовании метода конечных элементов для решения задач, не связанных с механикой твердого деформируемого тела, требуется более общий подход к построению соотношений для элемента. Таким подходом является метод взвешенных невязок (МВН) [5.3]-В методе взвешенных невязок считается, что выбранная для аппроксимации независимой переменной в задаче математической физики пробная функция (т. е. рассматриваемые в разд. 5.1 и 5.2 полиномы), вообще говоря, не удовлетворяет соответствующим определяющим уравнениям. Так, подстановка пробной функции в определяющие дифференциальные уравнения приведет к невязке, обозначенной через R. Чтобы получить наилучшее решение, требуется минимизировать интеграл от невязок по области, рассматриваемой в задаче, т. е. [c.142]

Искомая матрица [к] совпадает с полученной в разд. 5.1. Как было указано выше, определяющие дифференциальные уравнения, записанные в смещениях, т. е. дифференциальные уравнения равновесия, можно преобразовать с помощью метода взвешенных невязок в алгебраические уравнения относительно параметров перемещений с коэффициентами в виде интегралов. Этот подход обсуждается в гл. 6 и состоит в построении соотношений метода конечных элементов на базе рассмотрения потенциальной энергии. Соответственно определяющие дифференциальные уравнения, записанные относительно напряжений, можно преобразовать в уравнения метода конечных элементов как с помощью метода взвешенных невязок, так и с помощью подхода, использующего минимизацию дополнительной энергии. Результаты в обоих случаях совпадают. [c.145]

Определяющие соотношения получаются в результате совместного учета уравнений упругости. В приведенных рассмотрениях определяющие дифференциальные уравнения получаются подстановкой соотношений между напряжениями и деформациями в дифференциальные уравнения равновесия. Что произойдет, если применить метод взвешенных невязок непосредственно к уравнениям теории упр тости Имеем [c.145]

Рассмотрим теперь применение метода взвешенных невязок в двумерных задачах. Выберем для этой цели дифференциальное уравнение [c.147]

Следует отметить некоторые особенности применения метод взвешенных невязок. Во-первых, очевидно, что интеграл, значен которого должным образом характеризует определенный тип пове дения, можно легко выписать из интеграла взвешенного прибли женного решения соответствующих дифференциальных уравнений В механике конструкций существует целый ряд альтернативны типов дифференциальных уравнений, следовательно, существую и альтернативные виды интегралов [c.148]

Используя метод взвешенных невязок с критерием Галеркина, получите интегральную форму соотношений, необходимую для построения соответствующи уравнений жесткости элемента. Предположите, что поле перемещений аппроксимируется в виде а)=Л/1а)1+Л/2б1+Л/зШ2+Л/402, где. ....N1 задаются с помощью (5,14а). [c.150]

Варьируя выражение (6.81) и интегрируя его по частям, можно показать, что уравнения Эйлера для функционала П представляют собой уравнения равновесия (4.3) и дифференциальные соотношения, связывающие напряжения с перемещениями, т. е. уравнения, получаемые подстановкой соотношений между деформациями и перемещениями (4.7) в уравнения состояния (4.15). Обратное утверждение было доказано в разд. 5.5 методом взвешенных невязок. [c.195]

В гл. 3 в качестве примера применения метода взвешенных невязок рассматривалось уравнение Навье — Стокса без инерционных членов. Это уравнение справедливо для медленного течения жидкости. Дифференциальное уравнение (3.48) было получено для двумерного течения. Это дифференциальное уравнение можно было бы получить непосредственно путем минимизации методом Эйлера функционала, представляющего собой скорость диссипации энергии. [c.339]

Преимущество метода взвешенных невязок перед вариационным методом состоит в том, что он может использоваться во всех уравнениях, независимо от существования и знания вариационной формулировки задачи. Наоборот, с самого начала существует ошибка метода из-за выбора функций Ф тем не менее этот последний пункт имеет вторичное значение, так так эта ошибка и ошибка аппроксимации объединяются, чтобы дать одинаковые результаты в случае обоих представлений [c.20]

Весьма эффективным способом решения нестационарных задач является сочетание одномерной схемы метода конечных элементов и метода Галеркина. Метод Галеркина принадлежит классу методов взвешенных невязок [13] и представляет собой альтернативный подход при построении систем уравнений МКЭ. Главное преимущество такого подхода заключается в том, что для получения системы уравнений МКЭ необязательно существование [c.108]

Метод взвешенных невязок ). Общий метод построения конечноэлементных моделей нелинейных уравнений содержит в себе идею взвешенных невязок. Рассмотрим, например, уравнение [c.139]

Соответствующая (10.95) глобальная форма уравнений получается обычным способом. Сравнивая (10.94) с (10.80), видим, что метод наименьших квадратов по существу есть частный случай метода взвешенных невязок, соответствующий выбору весовых функций (х) = ди%, = (м<" )/ м ,. [c.144]

Решение этой системы в соответствии с принципом МНК находится из условия минимума суммы квадратов невязок между правыми и левыми частями с учетом весов со различных уравнений этой системы. Логично выбрать веса обратно пропорциональными погрешностям правых частей. Итак, найдем минимум взвешенной суммы квадратов [c.54]

Еще один гранично-элементный подход к исследованию трещин в трехмерных телах основывается на методе краевых функций [69, 70]. При этом подходе в качестве пробных функций перемещений используются асимптотические решения уравнений Навье, для удовлетворения граничных условий в среднем используется метод граничных взвешенных невязок. В случае эллиптической трещины асимптотические решения, полученные за счет использования гармонического потенциала Сегедина [71], складываются с другими асимптотическими решениями с целью формирования заданного решения. Этот метод ограничен случаем, когда форму трещины можно представить математическими средствами, и не нашел широкого применения. [c.208]

Во-первых, можно следующим образом ответить на второй вопрос, поставленный в 18.1. Если для рассматриваемой задачи можно сформулировать вариационный принцип, то решение можно получить с помощью обычного метода конечных элементов, построенного на основе метода Релея—Ритца, в котором неизвест-ные параметры определяются из решения системы алгебраических уравнений. Если же вариационный принцип сформулировать нельзя, то для определения неизвестных параметров следует использовать метод взвешенных невязок. [c.431]

Очевидно, что вывод соотношений ПМГЭ не основан на процедуре использования базисных функций, описанной в предыдущем разделе, и поэтому метод взвешенных невязок не может быть использован для того, чтобы получить в этом случае симметричную систему уравнений. Тем не менее для упругой системы (гл. 4) мы можем рассмотреть функционал полной энергии [c.392]

Методы численного решения задач, описываемых уравнениями переноса, разделены в разд. 5 книги 1 настоящей серии на три группы метод конечных разностей (МКР), вариационный метод и методы взвешенных невязок (МВН). Моделирование ВТУ посредством МКР описано в [2, 35]. Один из вариантов МВН, называемый методом контрольного объема [42], эффективно используется при моделировании процессов тепломассоперсно-са в ВТУ [43]. [c.76]

Чтобы с(рормулировать рассматриваемую задачу в рамках метода конечных элементов, запишем уравнения (7.20) с граничными услог,чя. И (7.28 и (7.10) и условием (7.26), применив процедуры ыегода взвешенных невязок [c.210]

Очевидно хакже, что критерии I и II становятся достаточными условиями сходимости для других методов конечных элементов, таких, как метод взвешенных невязок н метод наименьших квадратов, если термин функционал в формулировках этих критериев заменить иа определяющий, или ключевой, интеграл.-Как было подчеркнуто Зенкевичем [18], такой интеграл получается во всех методах конечных элементов из определяющего уравнения задачи с помощью соответствующей процедуры. [c.175]

Подробный обзор применений метода взвешенных невязок дан Фин-лейсоном и Скривеном [1966]. Изложение метода можно найти у Эймса [1965] или Крэндалла [1956]. Приложения этого метода к конечноэлементным аппроксимациям линейных дифференциальных уравнений рассматривались Леонардом и Брэмлеттом [1970]. [c.139]

Метод Галёркииа. Пожалуй, наиболее мощным средством получения приемлемых конечноэлементных моделей нелинейных уравнений является метод осреднения Галёркина ). Являясь по существу частным случаем метода взвешенных невязок (и обобщением метода Ритца), он основан на рациональном выборе весовых функций IV(х) в соответствии с видом используемой конечноэлементной аппроксимации. [c.142]

Сравнивая это уравнение с (10.80), видим, что метод Галёркина по суш,еству является методом взвешенных невязок с весовыми функциями (х) = (х). Отметим также, что в этом случае формулы (10.82) для (mJ ,) и /й сю) принимают вид [c.143]

Для того чтобы применять изложенные выше понятия к линейным или нелинейным задачам, нужно еще располагать средствами перехода от соотношений, выполняющихся в точке, к соотношениям, выполняющимся в некоторой конечной области. При решении дифференциальных уравнений в частных производных такой переход от соотношений в точке к соотношениям в области может осуществляться с помощью вариационной постановки задачи или с помощью других методов, таких, как метод взвешенных невязок, метод Галёркина и т. д. В ряде физических задач он может осуществляться с помощью локальных и глобальных форм законов сохранения термодинамики и злектродинамики. В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров. [c.169]

Гунаратнам и Перкинс [1970] построили схемы высокого порядка с помощью метода взвешенных невязок. Даусон и Маркус [1970] использовали модифицированную схему Рунге — Кутта — Гилла только для интегрирования по времени. Ломекс с соавторами [1970] применил схему Рунге — Кутта четвертого порядка точности для интегрирования по времени одномерного модельного уравнения, описывающего течение невязкой жидкости. Фридман [1970] представлял выражениями четвертого порядка точности вторые производные по нормали к стенке (преобладающее направление диффузии) и выражениями второго порядка производные по направлению, параллельному стенке. [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...