Полная вариация действия

Учитывая теперь равенства (7.36) и (7.37), получим полную вариацию действия [c.256]

Рассмотрим непрерывную, линейную, замкнутую последовательность траекторий, каждая из которых ограничена промежутками времени At = — /д. Полная вариация действия, когда мы вернемся к начальной [c.845]

Исходным пунктом рассуждений является полученная выше формула для полной вариации действия. [c.669]

Исходя из (40), принцип наименьшего действия можно формулировать в следующем виде среди пучка изоэнергетических траекторий механической системы в пространстве конфигураций, соединяющих два фиксированных положения системы, только для действительной траектории (для реального движения) полная вариация действия, по Лагранжу, равна нулю [c.137]

Чтобы убедиться в существовании этого инварианта, воспользуемся так называемой полной вариацией действия 5( 7, 1, 7о, А)), когда варьируются не только начальное и конечное положения системы, но и начальный и конечный моменты времени. Используя определение [c.419]

ДЛЯ ПОЛНОЙ вариации действия найдем выражение (ср. с (9.61)) [c.420]

Пользуясь (9.243), для полной вариации действия (см. (9.123)) получим выражение [c.454]

Полная вариация и дифференцирование свойством коммутативности не обладают. 2. Для действительного движения консервативной системы вариация действия по Мопертюи равна нулю. [c.11]

Таким образом, мы уточнили условия, очевидно, довольно широкие, при которых действие А можно рассматривать как функцию от 2я 1 независимых аргументов q , q и Е. Если обратимся теперь к тождеству (54), то вариацию S A, стоящую в левой части, можно будет использовать, аналогично вариации 8 5 предыдущего пункта, в качестве полного дифференциала действия А относительно 2п- -1 указанных выше аргументов а так как равенство (54) удо- [c.444]

Таким образом, полная вариация укороченного действия [c.454]

Возможность постановки подобных задач показывает, что в самом общем случае действие механической системы следует рассматривать и как явную функцию времени. Чтобы найти частную производную д8 д1, необходимо вычислить полную вариацию интеграла (36.1), обусловленную как варьированием обобщенных координат д , так и варьированием конечного момента времени 2 = Можно, однако, поступить проще, если определить действие механической системы как неопределенный ин- [c.204]

Это означает, что мы выразим половину Т, относительной живой силы системы как функцию скоростей ц любых отметок относительного положения и затем, взяв вариацию Т относительно р, заменим эти вариации вариациями самих отметок положения вычтем начальное значение результата из конечного и сложим вариации конечной и начальной функций <р, и Ф,, которые входят в уравнения условий д>, = О, Ф, = О (соединяющие конечные и начальные отметки относительного положения), соответственно помноженные на неопределенные множители А,, Л, наконец, приравняем полный результат величине б V, —t дН,, где Н, является независимой от времени величиной в уравнении (50) относительной живой силы, а V, является относительным действием, вариацию которого мы хотим найти. Нет необходимости останавливаться здесь на демонстрации этого нового правила (У ), которое легко можно вывести либо на основе уже изложенных принципов, либо исходя из закона живой силы, при помощи вариационного исчисления в сочетании с дифференциальными уравнениями второго порядка относительного движения. [c.197]

Когда дело идет о вариациях, которых требует принцип наименьшего действия, то должна существовать не зависящая от времени силовая функция и, если должно удовлетворяться уравнение (12). Условие варьирования (8) может быть тогда выражено тем, что величина Т — и должна иметь одно и то же значение для двух соответствующих положений действительного и варьированного движений. Если, кроме того, время не входит в уравнения связей, будь то дифференциальные уравнения вида (1) или конечные уравнения, то при действительном движении величина Т — и остается постоянной ). Тогда —и называется потенциальной энергией, Т — и — полной энергией, и можно видеть, что полная энергия вообще не меняется ни во время движения, ни при варьировании. Таким путем получается более узкая форма принципа наименьшего действия. Эта форма принципа предполагает известным, что действительное движение подчиняется предложению о постоянстве энергии, и определяет точнее это движение тем, что оно, будучи сравнено с другим движением, мало от него отклоняющимся и протекающим с той же постоянной энергией, удовлетворяет условию [c.547]

Причина неодинакового значения обоих принципов состоит в том, что принцип сохранения энергии, примененный к конкретному случаю, дает одно-единственное уравнение, тогда как для полного изучения движения необходимо столько уравнений, сколько имеется независимых координат, следовательно, для движения свободной точки три, а для движения сферического маятника два уравнения. Принцип же наименьшего действия в каждом случае дает как раз столько уравнений, сколько имеется независимых координат. Принцип наименьшего действия способен охватить большое количество уравнений в одном-единственном положении, потому что он в противоположность принципу сохранения энергии является вариационным принципом. Из бесчисленного количества движений, возможных в рамках наложенных условий, принцип наименьшего действия с помощью простого отличительного признака выхватывает совершенно определенное движение и характеризует его как действительно имеющее место в природе. Этот признак заключается в том, что при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного движения, характерная для вариации определенная величина обращается в нуль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты. [c.581]

Полное решение задачи устойчивости автоколебательной системы с учетом характера начальных возмущений, постоянно действующих сил и вариаций параметров, возможных в системе, для производства инженерных расчетов весьма сложно. Поэтому ниже рассматривается приближенное решение этой задачи методом математического моделирования с применением современных средств вычислительной техники— аналоговых и цифровых вычислительных машин. [c.338]

При малых расстояниях между точечными массами в гравитационном поле вариации величины и направления силы притяжения почти линейны. Следовательно, действующая на частицы разностная гравитационная сил пропорциональна расстоянию от частицы до центра масс. Момент этой силы также пропорционален расстоянию до центра масс. Таким образом, составляющая полного момента в твердом теле от каждой частицы определяется массой этой частицы, умноженной на квадрат ее расстояния до центра масс. Не следует поэтому удивляться, что в общее выражение для гравитационного момента входит момент инерции тела. [c.186]

Сделаем еще несколько сопоставлений вариационного принципа Гамильтона (65я = 0) и принципа наименьшего действия (40). Хотя в нашем изложении оба принципа относятся к механическим системам, имеющим потенциал, но пучки траекторий сравнения, охватывающие истинную траекторию в пространстве конфигураций, выбираются различным образом. Синхронная или 6-вариация соответствует виртуальным (возможным) перемещениям системы, т е. таким перемещениям, которые система может иметь в данный момент 1 — фиксировано), не нарушая связей (дозволяемых связями). Если наложенные на систему связи явно зависят от времени, то действительное бесконечно малое перемещение не принадлежит к числу виртуальных и, следовательно, могут быть такие траектории сравнения в пространстве конфигураций, на которых (Г-Ь У) =полной энергии системы не будет постоянным. Соответственные точки действительной траектории системы и траекторий сравнения проходятся в одинаковые моменты времени, но полные энергии в этих точках в общем случае не равны между собой. [c.137]

Известно, что в точках, в которых функция / х,,. .., х принимает стационарное значение, полный дифференциал й/ равен нулю. Различение характера этих точек стационарности (минимум, максимум, отсутствие минимума или максимума) производится по знаку второго дифференциала (Р/, а в исключительных случаях по членам более высокого порядка. Подобно этому обраш,ение в нуль вариации о5 является лишь необходимым условием стационарности действия по Гамильтону на истинном пути. Установление же характера экстремума связано с рассмотрением знака второй вариации 25, причем минимум действия осуществляется при 8 5 > 0. Ограничиваясь случаем стационарных связей, сравнительно нетрудно установить наличие минимума действия 8 при достаточно малом промежутке времени — 0- этого составим выражение приращения ДА кинетического потенциала при переходе к окольному пути, вычислен- [c.649]

Т. е. к функции Лагранжа добавится полный дифференциал, а к действию — константа, не влияющая на вариации. [c.209]

В рассматриваемом случае, когда в качестве внешних приняты силы, действующие на бесконечно малый выделенный элемент тела со стороны остальной его части, положительность второй вариации полной энергии в формуле (1.16) означает, по определению, устойчивость материала. [c.74]

Ф. А. Слудский получил уравнение движения для системы материальных точек, рассматривая полную вариацию интеграла действия. Вычисление условного экстремума интеграла действия Слудский сводит к вычислению безусловного экстремума по способу неопределенных множителей Лагранжа, причем неопределенный множитель А определяет по способу Родригеса с помощью уравнений, относящихся к пределам интеграла. [c.834]

Уравнения движения определяют действительное изменение механического состояния системы за бесконечно малый элемент времени и тем самым (если заданы начальные условия) определяют изменение состояния оистемы на конечном интервале времени. В связи с этим становится возможным отыскание, как гово-рят, и нтегр а л ьн ых принципов, характеризующих движение механической системы на таких кО Нечяых интервалах. Примером интегрального принципа может служить утверждение об инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана инвариантности этого интеграла была установлена с помощью полной вариации функции действия. При этом, по существу, производилась сопоставление значений функции действия на различных действительных траекториях механической системы. Однако возможно соответствующее сопоставление значения какой-либо функции на действительной траектории с ее значениями на виртуальных траекториях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к некоторому интегральному принципу. [c.449]

Таким образом, действгтельное движение голономной консервативной системы отличается от близких к нему кинематических возможных движений, совершающихся с тем же значением полной механической энергии и между теми же двумя фиксированными положениями системы, тем, что для него первая вариация действия по Лагранжу равна нулю [c.289]

Рассмотрим два тела ), действующих друг на друга с некоторой силой Р, причем эта сила может происходить вследствие притяжения или отталкивания этих тел, либо вследствие наличия пружины, находящейся между ними, либо, наконец, может происходить от какой-нибудь друго11 причины. Пусть р — расстояние между этими двумя телами, d/9 —вариация этого расстояния, поскольку она зависит от изменения положения одного из тел ясно, что по отношению к этому телу Pdp будет моментом силы Р. Точно так же, если через dp" обозначить вариацию того же расстояния р, происходящую вследствие изменения положения другого тела, то по отношению к этому второму телу мы будем иметь момент Pdp" той же силы Р. Следовательно, весь момент, обязанный своим существованием этой силе, может быть выражен через Р dp dp"). Но ясно, что dp - -dp" представляет собой полный дифференциал р, который [c.54]

Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L не отличается от вариации (полного дифференциала) ьЦ, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования (S и djdt), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь [c.402]

Влияние диссипативных сил на устойчивость движения изучал также Г. К. Пожарицкий (1957, 1961). Рассматривая стационарное движение системы с циклическими координатами, находящейся под действием сил с полной диссипацией и постоянных сил, уравновешивающих диссипативные силы на стационарном режиме, переносом результатов Четаева он установил, что стационарное движение будет асимптотически устойчиво по отношению ко всем скоростям и нециклическим координатам, если вторая вариация полной энергии является определенно-положительной функцией, и неустойчиво, если она может принимать отрицательные значения (1957) Пожарицкий изучал также устойчивость систем с частичной диссипацией (1961). Им установлено условие асимптотической устойчивости, состоящее в определенной положительности второй вариации [c.38]

Действительно, уравнение Хартри — Фока (3.1) было получено вариацией полной энергии. Следовательно, при выводе (3.9) порядок действий был таков мы сначала проварьировали полную энергию, а затем сделали статистическое приближение (и усреднили но всем состояниям). В работе же Кона и Шема [83] было сделано наоборот в статистическом приближении было записано выражение для полной энергии, а уже затем проведено варьирование его для построения одноэлектронного уравнения, в которое входит потенциал (усредненный по всем состояниям внутри сферы Ферми). Таким образом, оказалось, что эти две операции — варьирование полной энергии и замена обменного [c.74]

Интефал (4.2) выражает длину кривой р в метрике Якоби р, а принцип наименьшего действия утверждает, что действительный путь системы из положения Рд в положение Р, есть кривая наименьшей длины, геодезическая в римановом пространстве К с метрикой Якоби, так как его вариация равна нулю на действительном пути. Другими словами, принцип наименьшего действия в форме Якоби позволяет найти действительный путь среди всех гладких кривых, соединяющих начальную и конечную конфигурации системьг, при условии, что движение происходит с заданной полной энергией И. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...