Основное линеаризованное уравнение

Основное линеаризованное уравнение и его решение [c.78]

Из условия стационарности ДЭ (или из условия АЭ = О при дополнительном требовании минимума критической нагрузки) можно найти (точно или приближенно) точки бифуркаций прямолинейной исходной формы равновесия стержня. В частности, из условия стационарности следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и возможные для этого уравнения граничные условия. Действительно, приравняв нулю первую вариацию изменения ЛОЛ ной потенциальной энергии АЭ, получим (см. приложение 11) [c.92]

Откуда следует основное линеаризованное уравнение (3.4) п одпо-родные граничные условия при д = О и л = / [c.92]

Энергетический критерий в форме Брайана (и вытекающее из него основное линеаризованное уравнение) справедлив при любых условиях закрепления стержня в осевом направлении. Эти условия закрепления должны учитываться при определении начальных осевых усилий No = W- [c.92]

Выше при выводе основного линеаризованного уравнения использовалась обычная теория изгиба балок, не учитывающая влияния деформаций сдвига, вызываемых поперечными силами. Рассмотрим вариант решения задачи устойчивости прямого стержня с учетом влияния деформаций сдвига. Воспользуемся расчетной схемой балки, предложенной С. П. Тимошенко. Согласно этой схеме плоские сечения, до деформации балки нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба балки, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме С. П. Тимошенко положение каждого сечения деформированной балки определяется двумя независимыми величинами поперечным перемещением V и углом поворота сечения (рис. 3.22). Угол сдвига равен > ) = О — v, где v — угол поворота нормали к оси балки. [c.109]

Основное линеаризованное уравнение [c.142]

Для вывода основного линеаризованного уравнения рассмотрим элемент пластины в состоянии, отклоненном от начального [c.142]

Уравнение (4.33) является основным линеаризованным уравнением теории устойчивости пластин постоянной толщины. Это линейное однородное уравнение, причем в силу первого допущения его граничные условия однородны. Если считать, что все действующие на пластину внешние нагрузки изменяются пропорционально параметру Р, то уравнение (4.33) можно записать в стандартном виде задачи на собственные значения (см. приложение I) [c.146]

Основное линеаризованное уравнение для пластины постоянной толщины (4.33), полученное в декартовой системе координат, удобно для решения задач устойчивости пластин, контур которых совпадает с координатными линиями. Для пластин другой формы может оказаться удобной другая, не декартова система координат. Так, для круглых пластин основное уравнение удобнее представить в полярных координатах. [c.149]

Переходя к другим случаям точного интегрирования основного линеаризованного уравнения, заметим, что решение, полученное для удлиненной пластины можно использовать и для пластины конечных размеров с двумя свободными краями (рис. 4.8, в). В этом случае с достаточной степенью точности можно принять W = W (х). Однако граничные условия на свободных краях [c.153]

Для прямоугольной пластины с конечным отношением сторон основное линеаризованное уравнение (4.33) допускает точное решение при следующих условиях. [c.153]

В этом случае основное линеаризованное уравнение (4.33) принимает вид [c.153]

В случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда S = О, а начальные усилия Т° = = Т г) и Г е=П(г) являются функциями только радиуса г, интегрирование общего уравнения (4.33) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В полярной системе координат основное линеаризованное уравнение для пластины, нагруженной контурными внешними усилиями, принимает вид (см. 20) [c.163]

В заключение заметим, что решение задач устойчивости осесимметричной ортотропной пластины переменной толщины при осесимметричном начальном напряженном состоянии тоже можно искать в виде (4.49). В этом случае интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводится решение основного линеаризованного уравнения, может быть выполнено методом начальных параметров [12, 181. Схема интегрирования аналогична схеме интегрирования основного линеаризованного уравнения для прямого стержня, описанной в 13. [c.168]

Приближенные решения основного линеаризованного уравнения [c.168]

Задача устойчивости прямоугольной пластины, сжатой сосредоточенными силами, имеет интересную многолетнюю историю. В 1906 г. А. Зоммерфельд впервые рассмотрел задачу устойчивости бесконечно длинной полосы, сжатой в своей плоскости двумя сосредоточенными силами (рис. 5.5, б). Решение этой задачи им получено путем интегрирования основного линеаризованного уравнения устойчивости пластины (4.33), причем поле действительных начальных усилий, входящих в это уравнение, не определялось, а заменялось системой статически возможных начальных усилий, выраженных формулами (5.77). В резуль- [c.211]

Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрической оболочки, детально рассмотрена родственная задача устойчивости упругого кругового кольца. Затем дан вывод основного линеаризованного уравнения круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии, и получено выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки. Приведены решения только двух задач устойчивости оболочки при равномерном внешнем давлении и равномерном осевом сжатии. Многочисленные решения других задач устойчивости оболочек получены приближенными методами [7,9, 19,22,27]. [c.220]

Подставляя значения и, V из (13) в первое из уравнений (10), получим основное линеаризованное уравнение для определения потенциала скоростей возмущений ф [c.213]

Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана для течения Пуазейля в канале произвольного поперечного сечения (включая плоский канал как частный случай). Предположим, что стенки отражают молекулы с максвелловской функцией распределения /о, с постоянной температурой и неизвестной плотностью р = р ( ) —координата, параллельная потоку). Если длина канала много больше других характерных длин (длины среднего свободного пробега, расстояния между стенками), то можно провести линеаризацию около максвелловского распределения /о, в действительности р %) меняется слабо и /о будет решением в случае, когда р — константа. Таким образом, [c.186]

Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана для течения Пуазейля в трубе произвольного поперечного сечения (включая плоский слой как частный случай). [c.336]

Такой подход был предложен Никольским [1]. В его работе предлагается постановка вариационной задачи для функций на контрольном контуре, состоящем из двух характеристик уравнений газовой динамики разных семейств. В этом случае функционал, выражающий сопротивление тела и некоторые дополнительные условия, выписывается явно. После определения функций на контрольном контуре остается решить задачу Гурса с известными функциями на характеристиках. Никольский [1] решил вариационную задачу об оптимальной форме тела вращения на основе линеаризованных уравнений газовой динамики, однако, основная идея этой работы применима и к точным уравнениям. [c.45]

Исследование свойства управляемости, т. е. определение способности летательного аппарата реагировать на отклонение рулей соответствующими изменениями параметров движения (углов атаки, тангажа, рыскания, наклона траектории), является основным при изучении возмущенного движения. Для этих целей служат линеаризованные уравнения, описывающие возмущенное движение летательного аппарата, испытывающего воздействие управляющих усилий от органов управления. Анализ этих уравнений позволяет установить влияние аэродинамических характеристик аппарата, обусловленных таким воздействием, на управляемость. [c.51]

Основная идея определения точек бифуркации с помощью однородных линеаризованных уравнений состоит в следующем. Предположим, что одна какая-то форма равновесия системы известна и нужно найти точки бифуркации этой формы равновесия. Для этого достаточно, не интересуясь поведением системы вдали от известной формы равновесия, найти условия существования других форм равновесия, отличных от исходной, но бесконечно к ней близких. Те точки, в окрестностях которых существуют такие формы равновесия, и будут точками бифуркации. [c.21]

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, 18). [c.26]

С учетом сформулированных в 13 основных допущений нетрудно вывести линеаризованное уравнение для рассматриваемой задачи. Выкладки аналогичны выкладкам, приведенным в 13. Проектируя на ось у действующие на искривленный элемент стержня силы, необходимо только дополнительно учесть реакцию упругого основания Qk = kv. Окончательно вместо уравнения (3.4) получим следующее однородное уравнение [c.99]

Ниже (см. п. 2—5) приведены основные дифференциальные уравнения, описывающие переходные процессы в электро- и гидроприводах и указаны пути получения их упрощенных динамических характеристик. Подчеркнем еще раз, что мы стремимся к получению динамической характеристики в виде линеаризованного дифференциального уравнения с переменными со, (угловая скорость якоря-ротора, вращающий момент) или s, (относительная угловая скорость, вращающий момент). При этом специфика электро- и гидропривода учитывается соответствующими постоянными времени и коэффициентом крутизны статической (линеаризованной) характеристики. [c.8]

Чтобы вывести линеаризованное уравнение, описываюш,ее изгиб-ные состояния равновесия пластины, бесконечно близкие к начальному, воспользуемся приемом фиктивной поперечной нагрузки. Основную идею этого приема поясним на примере задачи устойчивости прямого стержня. [c.190]

Для случая /О = Oj = О запишем еще раз основное однородное линеаризованное уравнение устойчивости пластин в развернутом виде [c.193]

В главе приведены вывод формулы ш, основные соотношения нелинейной теории оболочек вращения, уравнения равновесия оболочки, односторонне и осесимметрично взаимодействующей со штампом. Даны канонические системы исходных и линеаризованных уравнений для оболочки и конструкции. Рассмотрена теория осевого смещения кольцевых штампов, кинематически связанных с оболочкой, изложены сведения о программе для ЭВМ. [c.27]

В настоящей главе приведены линейные и линеаризованные уравнения движения, а также законы деформирования некоторых наиболее часто применяемых моделей изотропного твердого деформируемого тела. В классической и уточненной постановках изложены основные уравнения изгиба пластин. Путем введения потенциальной функции уравнения движения преобразованы к системе волновых уравнений. Для установившегося движения уравнения сведены к векторным и скалярным волновым уравнениям, что позволяет с единой точки зрения подойти к решению задач для всех линейных моделей изотропного Деформируемого тела. [c.9]

Из совпадения структур линеаризованного и полного уравнений Больцмана (за исключением нелинейности интеграла столкновений) следует, что, изучая линеаризованное уравнение, можно понять свойства решения полного уравнения Больцмана. Эти свойства, очевидно, не связаны с нелинейными эффектами, а определяются, например, поведением вблизи границ. Действительно, в последнем случае нелинейность интеграла столкновений, вероятно, вносит малые изменения и основные свойства вытекают из общей формы уравнения и граничных условий. [c.143]

Цель этой главы показать не специфику задач устойчивости стержней, а то обш,ее, что присуш,е всем задачам устойчивости тонкостенных упругих систем. Именно с этих позиций следует рассматривать подробный вывод основного линеаризованного уравнения четвертого порядка, детальное описание смены форм потери устойчивости стержня на упругом основании и на упругих опорах, анализ влияния сдвиговых деформаций на критическую нагрузку и приближенное исследование закритического поведения стержней. [c.78]

В заключение отметим, что основное линеаризованное уравнение легко обобщить для пластины, связанной с упругим винкле-ровским основанием, тогда [c.151]

Сначала покажем, что из этого условия следут основное линеаризованное уравнение (4.33). Уравнение Эйлера для функционала (5.4) имеет вид (см. приложение II) [c.180]

В соответствии с (13.3.3) осуществим фурье-преобразование отклонения 5С и в соответствии с (6.5.3) — фурье-преобразование куло-новского потенциала. Пользуясь теоремой о свертке для преобразования Фурье, получаем основное линеаризованное уравнение Власова — Ландау, являющееся нашей отправной точкой [c.112]

Как было указано Крейком [51], этот факт явился причиной некоторых парадоксальных результатов, полученных в работах [47, 48]. Действительно, не следует ожидать, что реологическое соотношение, лежащее в основе жидкости второго порядка, даст существенные результаты для больших волновых чисел, соответствующих малым временным масштабам возмущения. Поэтому, применяя линеаризованное уравнение состояния максвелловского типа, следует ожидать, что это также приведет к ситуациям, когда число Деборы возмущения не мало. С другой стороны, если не подвергать лР1неаризации член, описывающий напряжение, то окажется невозможным применение классической методики анализа устойчивости, поскольку основное уравнение становится нелинейным относительно переменных возмущения. [c.298]

Основное допущение, на котором базируется классическое решение задач устойчивости, состоит в полном пренебрежении началь-ньпии геометрическими неправильностями формы реальных пластин и оболочек. Именно это допущение позволяет свести задачу к однородным линеаризованным уравнениям, найти точки бифуркации начального состояния равновесия и определить критическое значение нацзузки, т.е. то значение, при превышении которого начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. [c.214]

В книге рассмотрены лишь задачи устойчивости, которые могут быть решены исходя из линеаризованных уравнений. В дополнение к цитированным в основном тексте отметим недавно опубликованные работы 24, 38, 161, 163, 165, 174, 178], в которых исследование устойчивости сводится к существенно нелинейным краевым задачам. В том числе в работах [165, 174, 178] методами асимптотического интегрирования исследуются закритические деформации оболоче1< вращения, близкие к зеркальному отражению срединной поверхности от плоскости, перпендикулярной оси вращения (см. также работы А.В.Погорелова [97, 98]). [c.309]

Рассмотрим теперь линеаризованные уравнения динамической устойчивости. Для характеристик невозмущенного движения (основного состояния) и для их вариаций используем прежние обозначеня. Во всех тензорных уравнениях задачи устойчивости перейдем от компонент тензоров к их физическим составляющим, а от ковариантных производных — к частным. Такой переход в соотнощениях [c.72]

Из приведенных выше рассуж дений видно, что если допустить возможность разложения функции распределения / в степенной ряд по числу Кнудсена, то можно построить макроскопическое описание газа с помощью плотности, массовой скорости и температуры. Это описание в главном члене дается уравнениями невязкой жидкости поправки можно найти, решая линеаризованные уравнения. Это замечательный результат он позволяет выразить функцию / через ее 5 моментов (которые являются также пятью основными макроскопическими величинами, соответствующими /) и показывает, следовательно, что отсюда вытекает макроскопическое в известном смысле описание. [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...