Больцмана уравнение линеаризованное

Больцмана уравнение линеаризованное 184, 185, 190, 191, 194, 204, 214, 225—227, 239, 242, 244—246, 250, 261, 268, 278, 279, 285, 336, 371, 376—378, 382—384, 393, 436—438, 445, 446, 448, 466, 467 [c.487]

Лемма 3. Пусть к удовлетворяет стационарному линеаризованному уравнению Больцмана уравнению (1.21) при-8 = 0) в области К, внешней к некоторой границе дЕ, на которой выполняются граничные условия обычного вида (1.15). Пусть тело имеет постоянную температуру Го, и пусть К будет возмущением максвелловского распределения /о с нулевой массовой скоростью, температурой То и плотностью роо, равной плотности газа на бесконечности. Тогда если определить [c.160]

Ее можно сразу же подставить в линеаризованное уравнение Больцмана [уравнение (3.16)1 [c.317]

Данная книга посвящена краевым задачам, возникающим при исследовании уравнения Больцмана. Последнее берется в основном в линеаризованной форме, так как только для этого случая в настоящее время развита систематическая теория. Исходные положения излагаются, конечно, в полной общности, т. е. без ограничений линейной теории. [c.9]

Проведенный анализ показывает, что при решении уравнения Больцмана методами возмущений особенно важен линеаризованный оператор столкновений. В связи с этим мы изучим в настоящей главе свойства оператора L. [c.81]

Доказательство того, что разложение Гильберта даст асимптотические решения линеаризованного уравнения Больцмана, приведено в статье [c.139]

ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 1. Общие рассмотрения [c.141]

Гл. 6. Линеаризованное уравнение Больцмана [c.142]

Как указывалось выше, уравнение (1.7) подобно полному уравнению Больцмана, за исключением того, что оно линейно поэтому его называют линеаризованным уравнением Больцмана. [c.143]

Изучение линеаризованного уравнения Больцмана важно по крайней мере по трем причинам [c.143]

Существуют условия (определяемые ниже), при которых результаты, полученные из линеаризованного уравнения Больцмана, можно использовать для достоверного описания физической картины. [c.143]

Из совпадения структур линеаризованного и полного уравнений Больцмана (за исключением нелинейности интеграла столкновений) следует, что, изучая линеаризованное уравнение, можно понять свойства решения полного уравнения Больцмана. Эти свойства, очевидно, не связаны с нелинейными эффектами, а определяются, например, поведением вблизи границ. Действительно, в последнем случае нелинейность интеграла столкновений, вероятно, вносит малые изменения и основные свойства вытекают из общей формы уравнения и граничных условий. [c.143]

Частными случаями линеаризованного уравнения Больцмана являются уравнения, встречающиеся при изучении проблем сопряжения начальных и граничных условий с разложениями Гильберта и Чепмена — Энскога следовательно, при решении уравнения (1.7) в качестве побочного результата будут изучены кнудсеновские слои, которые обсуждались в гл. 5. [c.143]

Теперь нужно определить условия, при которых для получения результатов, имеющих физический смысл, можно использовать линеаризованное уравнение Больцмана как указано раньше, эти условия должны быть определены начальными и граничными условиями. Поскольку решение уравнения Больцмана разыскивается в- виде / — /о (1 + ) при условии, что К можно рассматривать как величину, в некотором смысле малую по сравнению с единицей, необходимым условием является малость Н при 1 = 0 и на границе. [c.143]

Как было указано, необходимое условие для-линеаризации — малость неоднородных членов в начальных и граничных условиях. Для того чтобы определить, является ли это условие также и достаточным, надо исследовать начальную и граничную задачи для линеаризованного уравнения Больцмана и доказать, что суш е-ствует одно и только одно решение данной граничной задачи и что это решение остается малым, если упомянутые неоднородные члены достаточно малы. Нужно также доказать, что если выполнены необходимые условия линеаризации, то разность между нелинейным и линеаризованным уравнениями есть величина более высокого порядка малости это нужно, чтобы необходимые условия были также и достаточными. [c.145]

В настоящей главе мы ограничимся линеаризованным уравнением Больцмана с разделенным временем [c.146]

Теорема 2. Если Т, шо суи ествует единственное решение к линеаризованного уравнения Больцмана и 1г < [c.157]

Последняя теорема оправдывает применение линеаризованного уравнения Больцмана. [c.157]

Если бы в реальных течениях выполнялись все условия леммы 3, то из нее следовал бы очень неприятный результат единственно возможным состоянием, описываемым линеаризованным уравнением Больцмана, является состояние газа, покоящегося около твердого тела. Выясним, верен ли этот результат, если не предполагать выполненным неочевидное условие (6.2). Физически условие (6.2) означает, что на бесконечности отсутствуют источник и сток энтропии (—а есть вектор потока энтропии [c.161]

Хотя внешние течения при малых числах Маха требуют дальнейшего исследования, из анализа, набросок которого только что был дан, следует, что необходимо по крайней мере для двумерных течений рассматривать подходы более сложные, нежели простое применение линеаризованного уравнения Больцмана иначе можно разыскивать несуществующие решения. [c.163]

Линеаризованное уравнение Больцмана и теория Чепмена — Энскога [c.167]

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как оии состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция [c.168]

Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве Я-теоремы Больцмана. В четвертой главе расс1иатриБаются линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пятой главе обсул<даются предельные случаи бесстолкновитель-ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и распространении звука в разреженных газах. [c.8]

Задача исследования временных флюктуаций в пределе-среднего поля ставится аналогично тому, как это было описано в пункте 6.2 для предела малой плотности. Отличие состоит в том, что в (10.70) и в (10.71) надо заменить d—1 на d и вместо линеаризованного уравнения Больцмана возникает линеаризованное уравне ие Власова. Полное исследование этого вопроса, включающее доказательство асимптотической нормальности флюктуаций, проведено в работе Брауна (W. Brown) и Хеппа (К. Нерр) [55]. Результаты, связанные с выводом уравнения Власова, могут быть распространены и на газ Лоренца где возникает его линеаризованный вариант. [c.275]

Поскольку уровне (1) основано на лучевых понята-ях, в нём акцентируется лишь корпускулярная сторона дуализма волна — частица. Поэтому ур-ыие (1) служит также основой теории переноса нейтронов, где вместо яркости I фигурирует одночастичная ф-ция распределения нейтронов по скоростям, а ур-ние аналогично линеаризованному кинетическому уравнению Больцмана. При квантовой интерпретации излучения яркость 1 пропорциональна ф-ции распределения фотонов по направлениям и по частотам. [c.566]

Мы видим, что производная (ЗА.28) нронорциональна градиентам гидродинамических неременных. Поэтому уравнение (ЗА.22) можно решать методом последовательных приближений, раскладывая Sf в ряд по градиентам ). Малость градиентов означает, что процессы переноса происходят медленно. С другой стороны, благодаря столкновениям, неравновесная функция распределения релаксирует к локальному распределению Максвелла, т. е. поправка 6f стремится к нулю. Характерным временем релаксации для Sf является среднее время свободного пробега г >, так как оператор (ЗА.25) является не чем иным как линеаризованным оператором столкновений Больцмана. Если гидродинамические переменные мало изменяются за время порядка г >, то в уравнении (ЗА.22) можно пренебречь производной по времени, т. е. его можно решать в стационарном приближении. Мы ограничимся этим приближением и найдем Sf в первом порядке по градиентам гидродинамическим переменных ). Заметим, что в этом случае функционалом A[Sf] в уравнении (ЗА.22) также можно пренебречь, так как он соответствует членам более высокого порядка по градиентам [см. выражение (ЗА.24)]. [c.238]

Очевидно, ЧТО если подставить оборванное разложение Гильберта в уравнение Больцмана, последнее будет выполняться с ошибкой порядка 8 . Поэтому можно использовать разложение Гильберта для аппроксимации определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана со сколь угодно малой ошибкой при достаточно малом 8 (строгие оценки в случае линеаризованного уравнения Больцмана приведены в работе Грэда [6]). [c.129]

Чтобы построить нетривиальную теорию граничных задач, а также чтобы дать метод построения решения в предельном случае больших чисел Кнудсена (см. гл. 8), удобно преобразовать линеаризованное уравнение Больцмана из интегро-дифференциальной формы в чисто интегральную. Это мояшо сделать многими способами, каждый из которых может быть удобен для конкретных целей. Прош е всего рассмотреть уравнение (1.21) и проинтегрировать обе части вдоль характеристик дифференциального оператора О = -(9/(9х2 приэтомнадо учесть нужные граничные условия. Это по существу равносильно построению оператора, обратного к Д, при данных однородных граничных условиях. Уравнение Больцмана принимает тогда вид [c.151]

Теорему 1 можно взять в качестве отправной точки при построении строгой теории граничных задач, поскольку она позволяет говорить о решении, которое, как было показано, существует и единственно. Отметим, однако, что показано было лишь существование функции к, интегрируемой с квадратом по обеим переменным X и I, а о гладкости решения ничего не известно. В частности, не известно, дифференцируема ли к по пространственным переменным почти всюду так, чтобы удовлетворялась не только интегральная форма (3.2), но и первоначальная интегро-диффе-ренциальная форма (1.21) линеаризованного уравнения Больцмана. Оказывается, что существует производная по направлению 1-дк1дх, а отсюда следует, что первоначальное интегро-диффе-ренциальное уравнение удовлетворяется по крайней мере в обобщенном смысле. [c.156]

Функция h в виде (6.12) может удовлетворить и уравнению Больцмана, и граничным условиям, только если В = О и С = 0. В самом деле, из (6.9) следует равенство в (6.7), а в силу свойств оператора А, заданного формулой (1.14), отсюда в свою очередь вытекает, что на границе В = С = 0. При подстановке (6.12) в линеаризованное уравнение Больцмана имеем А = onst, С = = onst и В = а + ЬХх, где а и Ь — постоянные векторы. Общий вид В и С и их обращение в нуль на границе позволяют заключить, что они равны нулю всюду (отметим, что а + Ь X х может обращаться в нуль на всей поверхности, только если а = = Ь = 0). А это означает, что h — постоянная, умноженная на /J/2 что и требовалось доказать. [c.161]

Для двумерных течений положение более сложно. Действительно, если рассмотреть, например, течение около осесимметричного тела, то можно доказать, что выводы леммы 3 справедливы, даже если отбросить условие (6.2) и требовать просто однозначности и ограниченности массовой скорости при г оо. Это следует из асимптотического анализа (Черчиньяни [5]) решения линеаризованного уравнения Больцмана для двумерных течений, когда доказывается, что условие (6.2) выполняется, если при г оо массовая скорость однозначна и ограничена. Чтобы получить нетривиальное решение для двумерных течений, приходится допустить логарифмическое поведение массовой скорости при г оо. Таким образом, при помощи линеаризованного уравнения Больцмана нельзя получить равномерную аппроксимацию распределения скорости и приходится прибегать к методу сращивания внутреннего решения (определяемого линеаризованным уравнением Больцмана) и внешнего решения, справедливого при г > ИМ. Последнее можно найти разложением по числу Маха, предварительно растягивая пространственные переменные. При формальном разложении по степеням М видно, что решение во внешней области подобно разложению Гильберта, если газодинамические переменные в приближении низшего порядка определяются несжимаемым течением Озеена (Черчиньяни [5]). [c.163]

Значительное преимущество линеаризованного уравнения Больцмана перед нелинейным состоит в том, что можно применить суперпозиции и выписать общее решение как линейную комбинацию полного набора элементарных решений с разделенными переменными. Этот метод будет подробно исследован и использован для решения конкретных задач в следующей главе здесь мы сделаем только некоторые общие замечания. При разделении переменных обнаруживается, что, вообще говоря, за вй-> симость от пространственных и временных переменных экспоненциальная, скажем ехр [ к-х + oi] (хотя для построения нолно1"о Набора иногда требуются некоторые полиномиальные решешш. [c.163]

Вообще говоря, со и к комплексны, и уравнение (7.1) имеет решение, только если со и к удовлетворяют специальному соотношению в соответствии с допустимыми значениями со и к можно найти функции g, которые либо интегрируемы с квадратом ( собственные решения ), либо нет ( обобщенные собственные решения ). В первом случае соотношение между со и к обычно называют дисперсионным соотношением, а решение g ехр [ к-х + i oi] — нормальной модой. Комбинация собственных решений и обобщенных собственных решений дает общее решение линеаризованного уравнения Больцмана [c.164]

Линеаризованное уравнение Больцмана и теория Чепмени — Энскога 167 [c.167]

Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168]

Теория и приложения уравнения Больцмана (1978) -- [ c.184 , c.185 , c.190 , c.191 , c.194 , c.204 , c.214 , c.225 , c.227 , c.239 , c.242 , c.244 , c.246 , c.250 , c.261 , c.268 , c.278 , c.279 , c.285 , c.336 , c.371 , c.376 , c.378 , c.382 , c.384 , c.393 , c.436 , c.438 , c.445 , c.446 , c.448 , c.466 , c.467 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...