Уравнение гармонически линеаризованное

Заменив в (VI. 1) нелинейную функцию, с учетом изменения знака сигнала и обозначений на рис. VI. 1 получим уравнение гармонически линеаризованной системы [c.232]

Поэтому указанное предположение с точки зрения приложения метода является вполне естественным. В частности, если считать Я (Л) и (Л) медленно меняющимися на определенном участке изменения А (т. е. что первые производные от h н по Л имеют порядок е), то указанное выше решение первого приближения для ы и ш совпадает (с точностью е ) с определением этих величин как вещественной и мнимой частей корней характеристического уравнения гармонически линеаризованной системы. При этом в правой части уравнения (31) следует заменить fix, выражением [c.81]

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы записывается в виде [c.170]

Кроме описанных выше частотных способов отыскания периодических решений, широко распространены также приемы, использующие непосредственно дифференциальные уравнения гармонически линеаризованных систем, которые в общем виде могут быть записаны так [c.232]

Займемся теперь определением частоты искомого периодического решения. Поскольку характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы, коэффициенты которого соответствуют уже определенной амплитуде периодического решения а, имеет пару сопряженных чисто мнимых корней, для определения частоты со можно воспользоваться системой простых рекуррентных уравнений, известных нам из материала второй части [c.236]

Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы. Учтем, что (Х) = - цХ, + 1 и iR(X) = l. Получим [c.240]

Пусть задано гармонически линеаризованное уравнение пятого порядка вида [c.222]

Гармонически линеаризованное уравнение нелинейности с характеристикой, представленной на рис. VI.2, записывается [23] [c.232]

Характеристическое уравнение эквивалентной гармонически линеаризованной системы записывается в виде, аналогичном (VI. 10). [c.233]

Остальные нелинейности после гармонической линеаризации приобретают значения согласно выражениям (3.34) —(3.36), Подстановка в уравнение (3.80) значений нелинейностей в гармонически линеаризованном виде, после группирования членов по 2 и [c.160]

Выражение (4-123) представляет собой гармонически линеаризованное уравнение, связывающее ошибку b t) и возмущающий момент М-в 1) в СП с упругой механической передачей, содержащий люфт. Уравнение (4-123), если положить в нем з(0а) =1, приводится к (4-66), выражающему зависимость между ошибкой и возмущающим моментом СП с упругой механической передачей, не содержащей люфта. [c.265]

Поскольку ряд коэффициентов гармонически линеаризованного уравнения (19) является функцией амплитуды колебаний, то для устойчивости регулирования рассматриваемых нелинейных систем (16) — (18) необходимо, чтобы условие (19) выполнялось при определенных значениях коэффициентов, соответствующих наименее устойчивой работе системы. [c.69]

После проведения линеаризации составляется следующее характеристическое уравнение, соответствующее гармонически линеаризованному исследуемому нелинейному дифференциальному уравнению [c.82]

Характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе при Р (д ) кх. , может быть получено путем гармонической линеаризации и в этом случае будет иметь вид [c.144]

Системе гармонически линеаризованных дифференциальных уравнений соответствует характеристическое уравнение [c.178]

Поставляя гармонически линеаризованные выражения для нелинейных функций в уравнение (V.43), перепишем его в виде [c.121]

Заменяя нелинейности в уравнении (III.63) гармонически линеаризованными выражениями (III.69), (III.77) и (III.79), получим [c.70]

Чтобы выяснить, какие из найденных периодических решений соответствуют автоколебаниям, а какие нет, необходимо проверить их устойчивость. Проверка устойчивости периодического решения состоит в исследовании переходных процессов по гармонически линеаризованному уравнению в случае малых отклонений от этого решения. При этом предполагается, что амплитуда и частота медленно меняются с течением времени вблизи значений, определяемых периодическим решением, а нестационарный колебательный переходный процесс близок к синусоидальному. [c.71]

Поскольку нестационарные колебания полагаются близкими к синусоидальным, они достаточно хорошо описываются прежним гармонически линеаризованным уравнением (П1.80). Если при отклонении амплитуды от периодического решения ее величина с течением времени в переходном процессе стремится к величине, определяемой этим решением, периодическое решение устойчиво (рис. 37, а). Если же переходный процесс имеет вид расходящихся колебаний (рис. 37, б), периодическое решение неустойчиво. [c.71]

Рассмотрим методику нахождения периодических решений гармонически линеаризованных систем на примере. Пусть приведенная линейная часть исследуемой системы описывается дифференциальным уравнением [c.234]

До сих пор мы рассматривали системы с однозначными нелинейностями, коэффициенты гармонической линеаризации которых не зависят от частоты. Однако рассмотренный прием может быть обобщен и на случай систем с неоднозначными нелинейностями, коэффициенты гармонической линеаризации которых могут быть функциями не только амплитуды, но и частоты, В этом случае коэффициенты гармонически линеаризованного уравнения также будут функциями двух переменных а и ( ). Однако если выразить частоту (й через амплитуду а при помощи системы уравнений (IV-10), то коэффициенты а,- вновь можно рассматривать как функцию только амплитуды а и использовать для ее определения уже рассмотренную методику. [c.236]

В заключение заметим, что ортогон Лилля наиболее целесообразно использовать для решения гармонически линеаризованных уравнений в том случае, когда коэффициент гармонической линеаризации определяется графическим способом по экспериментально снятой характеристике нелинейного элемента. [c.236]

Из уравнений (8.80) следует, что единственным состоянием равновесия системы является точка (О, 0). Заметим, что вопрос о характере (об устойчивости) этого состояния равновесия не может быть решен путем линеаризации уравнений (8.80) в окрестности точки (О, 0). Действительно, отбрасывая в уравнениях (8.80) для их линеаризации член 3 sgn у — единственный член второго порядка малости (по сравнению с х к у), мы получим уравнение гармонического осциллятора с особой точкой (О, 0) типа центра, т. е. как раз тот случай, когда вопрос о характере состояния равновесия исходной нелинейной системы не может быть решен путем исследования соответствующих линеаризованных уравнений. [c.622]

Нелинейный член этого уравнения был гармонически линеаризован уже прн исследовании автоколебаний, причем в линеаризованном выражении стоящий перед х коэффициент определялся по формуле (3.18) [c.249]

В этом методе аппарат частотных характеристик, столь эффективно используемый для анализа и синтеза линейных систем автоматического регулирования, распространяется с некоторыми ограничениями на нелинейные системы. Так, по гармонически линеаризованному уравнению (7.29) можно обычным способом найти для нелинейного звена передаточную функцию [c.164]

Формула (12.29) получена в предположении, что амплитуда А автоколебаний (если они вообще существуют) превосходит значение Ь. Если же А<Ь, то непосредственный расчет дает q A) = к. Однако в этом случае влияние нелинейности никак не проявляется, ибо все время Дх) = кх. Поэтому автоколебания с амплитудой А<Ь не существуют. (Это видно также из последующего изложения.) Гармонически линеаризованное уравнение имеет вид [c.243]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2,..., п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399]

Сущность метода гармонической линеаризации состоит в том, что исходная нелинейная система при помощи гар монической линеаризации заменяется линейной, ряд коэф фициентов которой зависит от амплитуды колебаний. Да лее эти коэффициенты считаются условно постоянными и исследование устойчивости производится, по существу при помощи линейного математического аппарата — со ставляется характеристическое уравнение линеаризованной системы и определяется условие существования и подавления режима автоколебаний. [c.43]

Гармоническая линеаризация позволяет систему исходных нелинейных дифференциальных уравнений заменить эквивалентной линеаризованной системой. [c.74]

После того как произведена указанная гармоническая линеаризация, исследование нелинейных дифференциальных уравнений регулирования сводится к исследованию линеаризованного уравнения [c.193]

Первоначально производится гармоническая линеаризация нелинейной характеристики, входящей в систему уравнений (177). Затем находится решение этой линеаризованной системы, соответствующее вынужденным колебаниям под действием гармонической внешней силы. С этой целью применяется операционный метод решения. В рассматриваемом случае, переходя от оригиналов к изображениям, получим [c.218]

Плоские и осесимметричные контактные задачи для физически нелинейного (линейного геометрически) и геометрически нелинейного (гармонического типа) материала исследовались И. В. Воротынцевой [13] совместно с В. М. Александровым [3] и с Е. В. Коваленко [14]. С помощью соответствующих интегральных преобразований задачи сведены к решению интегральных уравнений с нерегулярными разностными ядрами. Структура этих уравнений совпадает со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости, а свойства символов их ядер позволяют использовать для решения асимптотические методы больших и малых Л , развитые в работах В. М. Александрова. Влияние нелинейных свойств среды и начальных напряжений на контактную жесткость, функцию распределения контактных напряжений и величину вдавливающей силы в плоском случае исследовано в [13], в осесимметричном случае — в [3,14]. В работах установлено, что начальные напряжения не влияют на порядок особенности на краях штампа, но влияют на проникающую составляющую решения как в области контакта, так и вне ее. Исследованы условия потери внутренней устойчивости среды в зависимости от начальных напряжений. Для ряда конкретных нелинейно-упругих сред построены области эллиптичности линеаризованных уравнений, при переходе через границу которых происходит либо потеря поверхностной устойчивости, либо потеря поверхностной деформируемости, связанные с потерей эллиптичности. В работе установлено, что при стыковке решений, полученных методами больших и малых Л , значение относительной толщины Л, на которой стыкуются эти методы, существенно зависит от параметров начального напряженного состояния среды. [c.237]

Согласно методу гармонического баланса исследование устойчи вости регулирования производится в следующем порядке. В характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы вместо р подставляется соцг, что соответствует автоколебаниям с частотой [c.71]

Система уравнений (4-80) —(4-82) в сочетание с уравнениями СП с жесткой безлюфтовой механической передачей позволяют получить гармонически линеаризованные уравнения и частотные характеристики СП с упругой механической передачей, содержащей люфт. Рассмотрим уравнения СП. В соответствии с (4-43) и (4-44) уравнение СП с датчиком угла, жестко соединенным с валом ИД, имеет вид [c.257]

В 5.5 приведен пример решения задачи в рамках теории магнитоупругости проводников при помощи методов теории функций комплексного переменного. Элементы теории распространения гармонических (линейных) волн затронуты в 5.6 и 5.7. Следующие семь параграфов посвящены случаю идеальных проводников, для которого система уравнений теории магнитоупругости позволяет получить определенные результаты и когда с ней можно работать таким же образом, как и с любой консервативной гиперболической системой. Эта система уравнений в линеаризованной форме для трехмерных [c.265]

Метод исследования нелинейных систем, основанный на применении гармонически линеаризованных уравнение, называется методом гармонической линеаризации или методом гармонического баланса. Методом гармонической линеаризации решаются задачи, связанные с исследованием и определением параметров автоколебаний, проверкой отсутствия автоколебаний в системах, с опреде-дением частотных характеристик замкнутых нелинейных систем, с анализом качества переходных процессов и с выбором корректи-руюш их нелинейных элементов. [c.164]

Сравним уравнения (12.1) и (12.12). Нелинейность Fb уравнении (12.1 оказалась замененной линейным (относительно х ) выражением (д + Х/ю)х. Такая замена называется гармонической линеаризацией нелиней ности, а линейное (относительно х ) уравнение (12.12) - гармоническ линеаризованным уравнением нелинейной системы (12.1). Величины д и называются коэффициентами гармонической линеаризации. Уравнение [c.237]

Отыскивая приближенное периодическое решение методом гармонической линеаризации в виде (17), перекодим к системе линеаризованных уравнений [c.344]

Рассмотрим этот метод. Следуя методу изображающих амплитудных кривых, первоначально производится гармоническая линеаризация исходных нелинейных дифференциальных уравнений в обычном порядке с целью получения эквивалентной линеаризованной системы. Сохраняя, обозначения, принятые К. Магнусом в его работе, в результате гармонической линеаризации уравнения x. = F(x -и считая х = /4 51пш/, после разложения в ряд Фурье получим [c.73]

Если жидкость идеальна (V = 0), то г ) = О и поле скоростей будет потенциальным. При малых V вдали от границ области течение будет также близко к потенциальному. Вектор-функция будет компенсировать невязку граничных условий, которая возникает, если решение задачи о движении вязкой жидкости аппроксимировать потенциальным полем. Таким образом, функция я]) — это функция типа пограничного слоя. Для малых значений V методы построения асимптотики решений уравнения (6.2) хорошо известны. Функция г]) при этол1 в явном виде выражается через свои граничные значения, которые в свою очередь содержат величины, определенные потенциальным полем. Эта процедура позволяет исключить соленоидальную составляющую поля скоростей и свести задачу исследования линеаризованных уравнений Навье — Стокса к исследованию некоторой несамосопряженной краевой задачи теории гармонических функций. Для подобной задачи решение в некоторых случаях, как уже говорилось, может быть получено уже в явном виде. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...