Пример 7.3. Векторные поля

Как пример векторного поля можно привести силовое поле, рассмотренное Б предыдущем параграфе. [c.375]

Утверждение теоремы проще всего понять на примере векторных полей в R , для которых верны аналогичные результаты. [c.142]

Под векторным полем разумеют сплошную часть пространства, в каждой точке которой приложен вектор. Если к каждой точке пространства приложим вектор, равный и противоположный ее радиусу-вектору (исходящему от постоянного начала О), то будем иметь векторное поле, это один из простейших примеров векторного поля. Различного рода векторных полей можно себе представить бесчисленное множество. Всякое силовое поле, при векторном изображении сил можно рассматривать как векторное поле. [c.381]

Рассмотрим еще пример векторного поля, создаваемого бесконечно длинной полосой. На рис. 153 представлен след этой полосы СО. Как и [c.293]

Примеры векторных полей, обладающих свойством сохраняемости. [c.230]

Пусть в каждой точке некоторой области трехмерного пространства задано значение величины и. Тогда имеем поле этой величины и = и(г), где г — радиус-вектор. Например, поле температуры в среде, поле давления в идеальной жидкости. Величина и может быть тензором любого ранга. Пример векторного поля — скорости частиц жидкости. [c.25]

Чтобы составить представление о возможных здесь ситуациях, рассмотрим для примера векторное поле, изображенное на рис. 9.4. Оно образовано единичными векторами, идущими из каждой точки некоторой окружности 6. по лучам, исходящим из некоторой внешней точки о. Легко подсчитать вращение рассматриваемого векторного поля на с и убедиться, что оно равно нулю. Действительно, [c.68]

Если в каждой точке пространства определено значение некоторой физической величины, то говорят, что имеется поле этой величины. Может, например, существовать температурное поле, поле плотностей, концентраций. Это примеры скалярных полей. Здесь будут рассматриваться векторные силовые поля. В каждой точке пространства при этом определен вектор силы, действующей на соответствующий заряд и зависящий в общем случае от положения точки относительно источника поля. Речь пойдет о неизменных во времени (стационарных) внешних силовых полях, когда источник поля располагается вне системы и наличие системы не влияет на величину поля. Силовое поле называют потенциальным, если сила в каждой точке пространства может быть выражена через градиент некоторой скалярной функции координат — потенциала поля. Так, гравитационное поле Земли имеет потенциал [c.153]

При помощи другого примера неподготовленному человеку можно продемонстрировать идею векторного поля. Известно, что все мечети в мире ориентированы своими входами на совершенно определенное географическое место - Мекку (рис. 4, а). Таким образом, совокупность всех мечетей формирует аналог векторного поля. Оно топологически сопоставимо, к примеру, с электрическим полем одиночного заряда, также имеющим векторную природу (рис. 4, б). [c.12]

Во многих случаях напряженное состояние меняется при переходе от одной точки к другой. Это неоднородное напряженное состояние. Следует различать напряженное состояние точки (задается тензором напряжений) и напряженное состояние тела (определяется тензорным полем). Тензорное поле отличается от скалярного и векторного полей. Пример скалярного поля — распределение температуры в теле, а векторного поля — распределение сил инерции в теле и скоростей движущейся жидкости. Поле напряжений не может быть скалярным или векторным, оно может быть тензорным. При изгибе балки напряжение в сечении меняется в зависимости от длины и расположения точки от нейтральной оси. [c.8]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Сказанное дополнительно поясним следующим образом. Представим себе поток воды (например, на лабораторной площадке), который мы наблюдаем в плане (сверху). Предположим, что над таким потоком установлен фотографический аппарат, который через определенные постоянные промежутки времени dt фотографирует изменяющееся во времени векторное поле скоростей движения частиц жидкости (считаем, что выполнение такой фотографии возможно). Очевидно, что, используя при рассмотрении данного примера метод Эйлера, мы сможем пользоваться зависимостью Лагранжа (3-4) только при соблюдении следующего условия упомянутые выще фотографии векторных полей должны осуществляться не через произвольные промежутки времени, а через отрезки времени, равные [c.74]

Пример 2. Рассмотрим деформацию ростка векторного поля в особой точке типа седло на плоскости, заданную как одно ур авнение [c.68]

Напомним (см. [11], [166]), что первоначальное определение структурной устойчивости отличается от определения грубости отсутствием требования близости к тождественному гомеоморфизма, осуществляющего топологическую эквивалентность исходной и возмущенной систем. Открытость множества векторных полей, порождающих структурно устойчивые системы, следует непосредственно из определения, в отличие от грубых. С другой стороны, нам не известны примеры структурно устойчивых систем, не являющихся грубыми, поэтому в настоящее время структурная устойчивость часто используется как синоним грубости , т. е. оба термина подразумевают близость сопрягающего гомеоморфизма к тождественному. [c.87]

Пример 2. Рассмотрим негиперболическую особую точку векторного поля с двумерным центральным многообразием и парой чисто мнимых собственных значений ограничение поля на центральное многообразие имеет нормализованную 3-струю, задающую уравнение вида [c.89]

Пример 2. Рассмотрим векторное поле на R", имеющее цикл с мультипликатором (—1). Неподвижная точка преобразования монодромии трансверсали, соответствующая циклу, обладает одномерным центральным многообразием, на котором преобразование монодромии может быть записано в виде —х- -ах - -Ьх - -.... Квадрат этого преобразования записы- [c.90]

Пример 3. Предположим, что векторное поле на R" имеет цикл с парой невещественных мультипликаторов [c.91]

Из примера видно, что знание функционалов, определяющих бифуркационные поверхности, позволяет конструировать транс-версальные к ним однопараметрические семейства векторных полей. [c.95]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Пример 3. Все деформации векторных полей с простой седловой связкой эквивалентны друг другу, независимо от числа грубых положений равновесия и циклов в системе в целом. [c.107]

Пример 4. Трехпараметрические деформации векторного поля вблизи трехкратного цикла слабо топологически эквивалентны, но, вообще говоря, не эквивалентны классификация таких деформаций по отношению топологической эквивалентности имеет функциональные инварианты (см. п. 5.11, гл. 2) [c.107]

Существование на границе множества систем Морса—Смейла векторных полей с контурами установлено в [58]. На рис. 51 приведен пример подобного диффеоморфизма. [c.141]

На примере легко понять, почему в окрестности vq существуют векторные поля, удовлетворяющие аксиоме А Смейла (теорема пункта 6.5). [c.145]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Пример. Рассмотрим гиперболическую особую точку векторного поля в R" с устойчивым многообразием W и неустойчивым 11 . Пересечение М неустойчивого многообразия с некоторой окрестностью особой точки поля является отрицательно инвариантным многообразием. Пусть %i — собственные значения особой точки с отрицательной, а — с положительной вещественной частью. Тогда показатели притяжения к Л1 и сближения на М имеют вид [c.154]

Различают продольно и поперечно поляризованные волны в зависимости от ориентации вектора поля относительно волнового вектора (к). В электродинамике примером продольных волн служат плоские однородные плаз.менные волны (с.ч. Ленгмюровские волны) к поперечным волнам в первую очередь относятся плоские однородные эл.-магн. волны в вакууме или в однородных изотропных средах. Поскольку в последних электрич. (В) и магн. (Н) векторы перпендикулярны волновому вектору (к), то их часто паз. волнами типа ТЕМ или ТЕП (см. Волновод). Причём, если векторы поля (Е, Н) лежат в фиксиров. плоскостях (Е, к) и (Н, к), т. е. имеют фиксиров. направления в пространстве, используется термин волны линейной поляризации . Суперпозиция двух линейно поляризованных волн, распространяющихся в одном направлении (к) и имеющих одинаковую частоту (а), но отличающихся направ лени остью векторных полей, даёт в общем случае волну эллиптической поляризации. В ией концы векторов Е и Н описывают в плоскости, [c.65]

Примеры П. в физике — угл. скорость, вихрь векторного поля. с. и. Аваков. [c.172]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

Весь отрезок СО разделен в нашем примере векторными трубками на 20 участков. Следовательно, каждая векторная трубка на 1 ж по образующей несет 0,05 а потока энергии единичного вектора излучения. Поместим в таком поле цилиндрическую поверхность АВ, образующие которой параллельны полосе СО, с длиной по образующей, равной [c.293]

Силы, имеющие потенциал. Напомним некоторые понятия из векторного исчисления. Полем скалярным (векторным) называется пространство или часть его, если с калгдой его точкой связано значение некоторого скаляра (вектора). Примером скалярного поля может служить температурное поле тела, а примером векторного поля — поле скоростей частиц воды в реке. [c.24]

Физ. примерами скалярных полей, т. е. тензорных полей ранта 0. являются темп-ра неравно.мерно нагретого тела, потенциал неоднородного эл.-статич. 1юля, плотность неоднородного тела, давление в неоднородной газовой среде. В качестве примеров векторных полей, т. с. тензорных полей ранга 1, можно рассматривать четырёхмерный вектор эл.-магн. поля или четырёхмерный вектор плотности гока. [c.70]

Примером векторного поля на многообразии М является градиент функции / М > R. Напомню, что градиентом функции называется векторное поле grad /, соответствующее дифференциалу [c.158]

Па примере векторного поля скоростей у = у(х,у,2,1) поясним смысл понятия дивергенции. Для этого рассмотрим неподвижный элементарный объем ёУ = ёхёуёх и подсчитаем количество жидкости, втекающей и вытекающей из этого объема за единицу времени. [c.52]

Бифуркации фазовых портретов в окрестности цикла полностью описываются бифуркациями соответствующего Преобразования монодромии. Поэтому основным объектом изучения в этой главе являются бифуркации ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке. Локальные семейства ростков диффеоморфизмов, их эквивалентность, слабая эквивалентность, индуцированные и нереальные деформации ростков определяются так же, как и для ростков векторных полей (см. п. 1.5). Для ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке справедливы аналоги теорем сведения ([26, п. 2.4, гл. 6] и п. 1.6, гл. 1). Ограничение ростка диффеоморфизма на центральное многообразие называется редуцированном ростком диффеоморфизма. Отметим, что редуцированный росток может менять ориентацию, даже если исходный росток ее не менял пример diag(l —1 [c.42]

Пример 1. Рассмотрим негиперболическую особую точку О векторного поля с одномерным центральным многообразием, ограничение поля на которое имеет вид ах +. ..) djdx, а О. Если эта особая точка — узел по гиперболическим переменным, то росток в точке О одного из множеств 8 , S диффеоморфен ростку луча в его вершине, а росток другого множества — ростку полупространства в граничной точке. Если особая точка О — седло по гиперболическим переменным, то ростки множеств S и диффеоморфны росткам полупространства размерности выше единицы в граничной точке dim S = dim +1, dim S = dim W +l. [c.89]

Пример 1. Для векторного поля на R", имеющего цикл/, С мультипликатором -j-l. неподвижная точка преобразования монодромии трансверсали D в окрестности L обладает одномерным центральным многообразием, и ростки множеств SiP D, St lD ь неподвижной точке такие же, как ростки S o, So векторного поля на R" в особой точке с одномерным центральным многообразием (см. пример 1, п. 1.2). Росток же множества 51 (S ) на L диффеоморфен ростку на окружности 0 х5 прямого или косого произведения s-мерного (к-мерного) полупространства с нулем на границе на окружность S . Здесь s = dimU> i, u = В частности, если Z, — устойчивый узел [c.90]

Лемма (В. С. Афраймович, 1985). Если векторное поле, удовлетворяющее требованиям, наложенным в примере 2 или 3, имеет гомоклиническую траекторию цикла, по которой трансверсально пересекаются множества 5 и S , то все векторные поля из некоторой окрестности поля в пространстве х (Л ) имеют бесконечное множество неблуждающих траекторий и, следовательно, поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса—Смейла. [c.91]

В качестве примера приведем функционал для негиперболической особой точки с одномерным центральным многообразием. Пусть векторное поле имеет негиперболическую особую точку О с одномерным центральным многообразием. Введем систему координат х, уи. .., t/n-i) так, чтобы ось Ох касалась центрального многообразия в точке О, а за у=(уь... , Уп-i) выберем карту в дополнительной плоскости. Тогда любое С -близкое к Vo векторное поле v запишется в виде У)у y=g x, у), detdg/dy 0)= 0. Поэтому уравнение g = = 0 имеет единственное решение г/=ф(>г). Значение / в точке экстремума функции f(x, ф(>г)) и полагается равным значению функционала х на v. [c.94]

Классик, подход к спину. Векторное произведение в З-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектик. слои в данном примере — концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия — линейные ф-ции в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h) и приводит к неприводимым представлениям группы вращений — как векторный , так и спинорным . [c.522]

Показанный результат является первым примером вычита-тельного наложения или оптического стирания изображений, получаемого при сложении дифракционной картины функции fi с дифракционной картиной функции /г, сдвинутой по фазе на угол я (180°). (Во всем последующем описании под дифракционной картиной подразумевается комплексная амплитуда векторного поля Е в картине дифракции.) В общем случае функции можно складывать с любыми сдвигами фаз и, в частности, без какого-либо сдвига фазы. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...