Грубые положения равновесия

Пример 3. Все деформации векторных полей с простой седловой связкой эквивалентны друг другу, независимо от числа грубых положений равновесия и циклов в системе в целом. [c.107]

Рассмотрим сначала грубые положения равновесия. Имеются Три типа [c.35]

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33]

Возможен строгий расчет пространственного взаимодействия ионов в кристаллической решетке в предположении, что силы их взаимодействия центральные, а колебания около положения равновесия гармонические [29]. Первое предположение означает, что силы притяжения и отталкивания между ионами действуют по направлениям, соединяющим точки, которые соответствуют положениям равновесия. Однако для металлов это предположение является довольно грубым. Поэтому результаты расчета часто не отвечают экспериментальным данным. [c.59]

Неустойчивость не является грубым свойством уже в случае аналитических функций причем даже и в случае, когда положение равновесия X = О является изолированной особой точкой системы (9.1). [c.50]

В каком-то грубом приближении тепловое движение атомов в сжатом веществе можно рассматривать как малые колебания около положений равновесия даже при тех максимальных температурах в 20 ООО—30 000° К, которые достигаются в наиболее мощных ударных волнах, исследованных на опыте. [c.541]

Оценим очень грубо частоту колебаний юо. Потенциальная энергия, действующая между соседними ионами кристалла, порядка еУ№о). гое е — заряд иона, а <1 — расстояние между соседними ионами в кристалле (так называемая постоянная решетки). При изменении на малую величину характеризующую отклонение иона от положения равновесия, потенциальная энергия приобретает вид е /[ е1+1)ео. Разлагая эту величину по степеням учтем, что линейный по член выпадает вследствие равновесия ионов в кристаллической решетке (он характеризует силу в положении равновесия, равную нулю). Следующий, квадратичный по член имеет порядок величины Приравнивая его к колебательной энергии гармонического осциллятора по порядку величины, мы получаем оценку для характерной частоты, (Оо колебаний ионов в узлах решетки [c.71]

Таким образом, плавление наступает, когда среднеквадратичное смещение атома из положения равновесия составит, грубо говоря, около 7в межатомного расстояния / о —не слишком неразумный результат. (Следует помнить, что / о есть радиус сферы объема Уо, окружающей каждый атом. Таким образом, расстояние между атомами составляет 2 / о). [c.60]

В простейшей теории когезии в ионных кристаллах делаются такие же физические упрощения, как и в теории когезии в молекулярных кристаллах принимается, что когезионная энергия полностью определяется потенциальной энергией классических частиц, локализованных в положениях равновесия ). Поскольку частицы в ионных кристаллах представляют собой электрически заряженные ионы, главный вклад в энергию взаимодействия дает межионное кулоновское взаимодействие. Оно обратно пропорционально первой степени межионного расстояния, поэтому гораздо сильнее флуктуационно-дипольного взаимодействия ), которое обратно пропорционально шестой степени расстояния следовательно, при грубых расчетах можно считать, что только оно обусловливает связь в ионных кристаллах. [c.33]

При достаточно высоких температурах твердые тела плавятся, т. е. ионы покидают свои положения равновесия и, блуждая, проходят большие расстояния в возникающей жидкости. Здесь нарушение гипотезы статической решетки совершенно очевидно однако даже ниже точки плавления, когда ионы остаются поблизости от своих положений равновесия, любая адекватная теория процесса плавления (а существуют лишь самые грубые теории) должна учитывать нарастание амплитуды колебаний решетки с повышением температуры. [c.47]

Рис. 323. Грубая механическая модель вынужденных колебаний электрона под действием световой волны пунктиром показано положение равновесия.

Замечание 2. Основным моментом существования указанной бифуркации является наличие негрубого положения равновесия (но только фокуса - аттрактора или репеллера), т.е. такого равновесия, которое меняет свой тип при малейшем шевелении параметров системы. Можно привести примеры, когда все условия теоремы выполнены кроме одного как в линейном, так и в нелинейном случае положение равновесия является центром. Последнее условие и является ключевым в данном вопросе. Оно будет противоречить рождению грубого предельного цикла. [c.178]

Если положение линии солидус приблизительно известно, то гомогенизация должна быть проведена при температуре иа 15—50° ниже точки плавления данного анализа. При этом нужно помнить, что сплавы, отлитые в кокиль, часто содержат легкоплавкие составляющие, и необходимо принять меры, чтобы предотвратить их оплавление во время гомогенизации. В противном случае может получиться грубая структура с отклонениями от среднего химического состава. Например, для сплава состава х (рис. 108) правильный процесс гомогенизации заключается в медленном нагреве от температуры несколько ниже Ti до требуемой. Время, необходимое для полной гомогенизации, изменяется очень сильно в различных системах. Однако для сплавов, плавящихся выше 600°, обычно достаточна продолжительность отжига порядка одного дня, котя это должно быть подтверждено отжигом в течение более длительного времени, чтобы быть уверенным в достижении равновесия. [c.198]

При неподвижном положении искателя, характеризующегося определенной толщиной слоя с ж, все эти сложные интерференционные процессы находятся в динамическом равновесии и определяют параметры электроакустического тракта дефектоскопа, частотную характеристику и коэффициент преобразования электрической энергии в механическую. Малейшее нарушение этого равновесия из-за изменения толщины контактного слоя приводит к изменениям параметров тракта и, следовательно, к изменению чувствительности дефектоскопа. Поэтому относительная стабильность чувствительности прямых искателей при сканировании по грубой поверхности весьма мала. [c.45]

В статике (т. I, гл. XIII, п. 23) было отмечено, что положение равновесия маятника (с твердым стержнем), соответствующее значению т. угла 6], оказывается существенно неустойчивым. Этому обстоятельству здесь соответствует тот факт, что качение диска вдоль прямолинейного пути тоже будет неустойчивым. Этот результат, который б /дет лучше освещен при общем рассмотрении в 5 и б гл. VI и 2 гл. IX, поясняет, хотя и в очень грубом приближении, что произойдет с велосипедистом, когда одно из колес велосипеда попадет в колею трамвайного рельса. [c.318]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

В термодинамике необратимых процессов одним из основных предположений является известный закон линейности ). Грубо говоря, этот закон утверждает, что термодинамическая система стремится к своему положению равновесия со скоростью, линейно зависящей от величины отклонения системы от положения равновесия. Несмотря на сомнительность этого предположения, представляется интересным сформули- [c.99]

Учитывая, что в моменты предохранения копье касается движущегося предохранительного ролика или рожки касаются эллипса, неровности на предохранительной части ролика, грубая опиловка конца копья и рожков вилки могут привести к увеличению трения, потере энергии балансом и изменению его колебаний. Биение предохранительного ролика создает изменение зазора между роликом и копьем на отдельных участках. Когдя копье короткое или выходит за пределы предохранительной плоскости ролика, в результате влияния зазоров анкерная вилка при сотрясении механизма может быть переброшена к противоположному ограничительному штифту. Баланс, возвращаясь к положению покоя эллипсом, ударится во внешнюю сторону рожка и остановится (фиг. 78, г), т. е. произойдет заскок баланса. Для проверки правильности действия предохранительных устройств спуска баланс задерживается в каком-либо положении при прохождении дополнительной дуги. Анкерная вилка осторожно отводится от ограничительного штифта так, чтобы копье касалось предохранительного ролика. Баланс медленно и осторожно переводится к положению равновесия. При переводе баланса проверяется положение острия зуба колеса на плоскости покоя палеты. В момент, когда копье входит в выемку предохранительного ролика, эллипс и рожок вилки должны занять положение, обеспечивающее их предохранительные функции. [c.81]

Здесь мы имеем один из примеров так называемых релаксационных процессов, играющих большую роль в физике. Релаксационные процессы — это такие процессы, которые стремятся перевести какую-либо систему в состояние равновесия. В качестве весьма грубого примера релаксирующей системы можно привести легкий маятник, помещенный в очень вязкую жидкость. Если маятник выведен из положения равновесия, то под действием силы тяжести он через некоторое время возвратится в положение равновесия как говорят, отклонение маятника релак-сир у ет . [c.199]

Информация о соответствии подслучаев для четырех случаев 1, 2, 3, 4 фазовым портретам показана в табл. 1—4. Звездочкой помечены портреты, которые различаются лишь топологическим типом некоторых положений равновесия (например, вместо узла имеется фокус той же устойчивости, и наоборот), но являются (абсолютно) грубыми. [c.301]

На основе изложенной теории установление массы Земли приведено к определению двух элементов 1) периода колебаний крутильных весов и 2) угла е — е между двумя направлениями стержня в его положениях равновесия при действии сил притяжения масс в их последовательных положениях. Для измерения этих величин к стержню в точке С было прикреплено маленькое зеркальце, плоскость которого почти перпендикулярна к стержню. На вертикальной пластинке, расположенной на расстоянии 272 см от зеркала, была нанесена шкала, и отражаемое зеркалом изображение шкалы наблюдалось в зрительную трубу, установленную строго над шкалой. В ее фокусе были натянуты три вертикальные нити. Когда крутильные весы поворачиваются вокруг своей оси, то наблюдаемое в зрительной грубе изображение шкалы передвигается в горизонтальном наг5равлении перпендикулярно к нитям и в любой момент времени число делений, отмечаемое средней нитью, дает показание прибора. Шкала была разбита вертикальными линиями, отстояш,ими одна от другой на 0,19 см и проградуирована от 20 до 180 во избежание отрицательных значений показании прибора. Поэтому угол поворота стержня, когда изображение шкалы передвигается на расстояние, соответствуюш,ее интервалу между двумя делениями, равен 73,46". [c.422]

Дислокации — не единственные дефекты кристалла известны также вакансии и междоузельные атомы (образующиеся при переходе атома из узла кристаллической решетки в пространство между узлами). Последние возникают в кристалле самопроизвольно вследствие термических флуктуаций, и поэтому число их зависит от температуры при понижении температуры число вакансий и междоузельных атомов в чистом, т. е. не содержащем примесей, кристалле убывает до нуля. Дислокации, наоборот, не исчезают с уменьшением температуры. Грубо можно считать, что число дислокаций мало изменяется с температурой, если только последняя сравнительно далека от температуры плавления при приближении к точке плавления дисклокации исчезают. То обстоятельство, что дислокации не возникают в кристалле сами по себе, но создаются либо в процессе образования кристалла, либо в результате внешнего воздействия на кристалл, делает их важными характеристиками кристаллического состояния. В ядре дислокации (т. е. в окрестностях оси ее) атомы смещены из положения равновесия, вследствие чего в решетке возникают внутренние напряжения с этой точки зрения дислокацию можно считать источником внутренних напряжений. [c.79]

Что же касается неограниченных областей, то здесь ситуация несколько более сложная. Так, например, на одномерном неограниченном ареале могут (как мы видели в гл. 1) существовать решения типа бегущих волн — волн переброса из одного устойчивого состояния равновесия в другое, тоже устойчивое. Направление распространения этой волны определяется знаком интеграла от локальной функции роста численности популяции по отрезку фазовой переменной, заключенному между этими положениями равновесия. Если этот интеграл равен нулю, то и скорость будет нулевой, т.е. бегущая волна станет стоячей и превратится, по сути дела, в диссипативную структуру. Однако условие равенства нулю интеграла не является грубым, и если рассматривать только грубые эффекты, то приведенный выше результат с неустойчивости сохраняется и для неограниченной прямой. Подробнее см. в статье Разжевайкин В.Н. Неустойчивость стационарных неоднородных решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения и ее экологические применения//ЖВМ и МФ.— 1980. - Т. 20, N 5. - С. 1328-1333. [c.191]

Доказательство этого утверждения требует достаточно сложной математической техники, и поэтому мы не будем приводить его в этой книге. Поясним лишь смысл понятия гиперболическое множество , не давая его строгого математического определения. Грубо говоря, гиперболическое множество - это странный аттрактор, т.е. некоторое замкнутое инвариантное по отношению к сдвигу по времени подмножество фазового пространства, не содержащее стационарных тгочек (положений равновесия). Изображающая точка, двигаясь по гиперболическому множеству, описывает траектории, которые могут быть названы стохастическими или хаотическими. Следовательно, если некоторая динамическая система обладает гиперболическим множеством, то у нее существуют 286 [c.286]

Замечание 1. Существование устойчивого щждельного цикла следует уже из доказа-теаплтва предельной ограниченности системы (2.62), поскольку эта система имеет единственное положение равновесия типа неустойчивого узла или фокуса (см. теорему 2.4). Дрполнительное введение функции v, позволило дать грубую оценку амплитуды А автоколебаний (А > у1з ) для любых значений ц > 0. Ниже для О < ц 1 доказано, что Л 2. [c.93]

С этой целью переключатель мост — экран ставят в положение экран . Поочередным вращением рукояток грубо и тонко (т. е. по величине и фазе) добиваются равновесия моста, увеличивая чувствительность гальванометра. После этого рукоятку чувствительности снова ставят в исходное положение, а переключатель мост — экран — в положенае мост добиваются окончательного уравновешивания моста, повышая чувствительность гальванометра. Затем отмечают значения Гз и и определяют е и 1 6. Если необходимо снять зависимость емкости и [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...