ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.151]

Вариационные методы построения конечных элементов [c.154]

Вариационные методы построения конечных элементо [c.168]

Вариационные методы построений конечных элементов [c.176]

Вариационные методы построения конечных элементе [c.192]

Решение задач теплопроводности может быть получено еще одним численным методом — метод ом конечных элементов. Математической основой метода конечных элементов является вариационное исчисление. В отличие от метода конечных разностей, в котором исходные дифференциальные уравнения непосредственно используются для построения разностной схемы, в методе конечных элементов дифференциальное уравнение теплопроводности и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается численно. [c.246]

Поскольку рассматриваемая задача вариационна, для ее решения может быть применен метод конечных элементов Исследуем сходимость МКЭ для данной задачи, используя результаты работы [20]. Пусть Uh — приближенное решение, полученное по МКЭ на заданной сетке h, а Uh — решение, построенное на той же сетке на основе значений степеней свободы, соответствующих точному решению задачи и. [c.66]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.63]

В части В книги (гл. 13—18) наряду с классическими вариационными принципами систематически изложены модифицированные вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности, которые положены в основу построений методов конечных элементов. Материал этой части книги в отечественной литературе освещен недостаточно. [c.6]

Исследование законов квазистатического распространения трещин и определение коэффициентов интенсивности напряжений вдоль траекторий развивающихся трещин является исходным этапом [1, 66] в расчетах на прочность и долговечность пластинчатых элементов конструкций, подверженных воздействию внешних циклических нагрузок. Тем не менее к настоящему времени известно сравнительно небольшое число работ, посвященных определению траектории развития трещины в квазихрупком упругом теле. Среди них следует отметить работы, в которых расчет траекторий осуществляется с привлечением метода конечных элементов [10, 26, 160, 165], вариационных [46, 73] и аналитических 17, 119] подходов. Развитие общих методов решения двухмерных задач теории упругости для произвольных областей с гладкими и кусочно-гладкими криволинейными разрезами, в частности метода сингулярных интегральных уравнений, позволяет эффективно решать с их помощью указанные задачи о построении статических траекторий дифференциальным (поэтапным) способом 95, 102, 103, 125], когда на каждом этапе используется локальный критерий разрушения для определения направления приращения трещины у ее вершин. [c.41]

Вариационные или энергетические методы исследования конструкций образуют мощный и широко применяемый подход к построению соотношений для конечных элементов. Простейшие варианты этих методов используются для расчета инженерных конструкций уже более ста лет. Однако некоторые усложненные варианты вариационных и энергетических методов так же современны, как и сам конечно-элементный анализ элементов, и их развитие, по-видимому, обусловливалось желанием создать новую теоретическую основу метода конечных элементов. Так или иначе, последние работы в этой области дают всесторонний анализ возможных вариационных принципов строительной механики, в частности определяют область их применения и выявляют присущие им недостатки. [c.151]

За последние два десятилетия, метод конечных элементов [20, 23, 24] стал одним из наиболее распространенных методов решения задач механики твердого деформируемого тела на ЭВМ. Слово конечный в данном случае имеет два значения. С одной стороны, оно отражает сеточный характер метода, связанный С разбивкой области на конечные элементы и возможностью предельного перехода при неограниченном уменьшении размера элемента. С другой стороны, указывает, что элемент обладает конечным числом степеней свободы и его состояние описывается конечным числом параметров. В соответствии С этим метод конечных элементов можно рассматривать либо как вариационно-разностный метод решения континуальных задач [23], либо как прием построения и исследования системы фиксированных элементов с конечным числом степеней свободы. Нас будет интересовать только второй из указанных вопросов, главным образом применительно к стержневым системам. [c.3]

В течение последних десяти лет метод конечных элементов превратился в мощную математическую основу для создания пакетов программ решения задач математической физики, позволяющих полностью автоматизировать процесс., построения и решения систем вариационно-разностных уравнений. [c.5]

Этот раздел обобщает предыдущий в трех направлениях здесь вводятся неоднородные краевые условия, рассматриваются квадратичные и даже кубические элементы, а не линейные, и решаются дифференциальные уравнения четвертого порядка, а не только второго. Оценки ошибок для различных конечных элементов часто приводятся без доказательств, так как они вытекают из теории, которая будет развита далее в этой книге. Этап г метода конечных элементов те же, что и прежде вариационная постановка задачи, выделение кусочно полиномиальных подпространств в некотором допустимом пространстве, построение и решение линейных уравнений KQ Р. Эта схема в одномерном случае более или менее закончена. [c.67]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Любой из приведенных в гл.1.4 функционалов может быть использован для построения конечно-элементных соотношений, т.е. для решения задач механики деформируемого тела с помощью метода конечных элементов. Используя принцип возможных перемещений (1.4.14), придем к построению МКЭ в варианте метода перемещений. Принцип возможных напряжений (1.4.50) приведет к МКЭ в варианте метода сил. При использовании смешанных вариационных принцицов (1.4.58), (1.4.61) получим смешанные формулировки МКЭ. Модифицированный принцип возможных перемещений (1.4.62), допускающий независимую аппроксимацию компонентов перемещений на границе и по объему каждого из конечных элементов, приводит к так назы,-ваемым гибридным формулировкам МКЭ. [c.63]

Формулировку вариационных принципов этой теории, так же как и теории упругости для сплошного тела (см. гл. 3, 6), можно обобщить, рассматривая в качестве варьируемых переменных разрывные поля перемещений, деформаций, усилий и функций напряжений. Вариационные принципы при разрывных полях параметров напряженно-деформированного состояния могут служить для построения алгоритмов расчета оболочек, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, а также для решения некоторых контактных задач. [c.132]

Упомянутые выше теории пластин и модели конечных элементов демонстрируют эффективность вариационных методов в механике конструкций и смежных областях при приложении методов конечных элементов и при построении алгоритмов для эффективных численных расчетов сложных практических задач. Теория пластин Тимошенко—Миндлина создана специально для того, чтобы алго-ритмизовать расчет тонких пластин и пластин средней толщины. Исследования зоны краевого эффекта достигли состояния, когда решение уже может войти в противоречие со способностью модели описать реальную физическую ситуацию. Работы по теории толстых пластин являются логическим обобщением теории Тимошенко—Миндлина, ио требуется подождать до тех пор, пока развитие как технологии изготовления, так и проектирования этих пластин подтвердит ее практическую ценность. В целом приведенные выше высказывания дают общую картину положения дел в этой быстро развивающейся области. [c.423]

Известно, что вариационные методы являются систематическим и мощным средством отыскания этих неизвестных параметров. Это используется в приложениях метода Релея—Ритца и является стандартным способом при построении методов конечных элементов в тех случаях, когда удается сформулировать вариационные принципы [II. Действительно, на протяжении всей этой книги выюдились вариационные принципы для задач теории деформируемого твердого тела в расчете иа то, чтобы использовать их в качестве основы методов конечных элементов. Одиако юзни-кают два вопроса. Во-первых, всегда ли возможно отыскать вариационный принцип в задачах механики сплошных сред, таких, как проблемы гидродинамики, теплопередачи и т. д Во-вторых, если ответ на первый вопрос отрицателен, то как определить упомянутые выше неизвестные параметры Поскольку ответ на первый вопрос действительно отрицателен, как объяснено в [2], в данной главе кратко освещается второй вопрос. [c.425]

Во-первых, можно следующим образом ответить на второй вопрос, поставленный в 18.1. Если для рассматриваемой задачи можно сформулировать вариационный принцип, то решение можно получить с помощью обычного метода конечных элементов, построенного на основе метода Релея—Ритца, в котором неизвест-ные параметры определяются из решения системы алгебраических уравнений. Если же вариационный принцип сформулировать нельзя, то для определения неизвестных параметров следует использовать метод взвешенных невязок. [c.431]

В настоящей главе дается описание известных искривленных конечных элементов тонких оболочек, поотроенных в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Исходным вариационным принципом для всех злементов из зтой главы является принцип Лагранжа, и вое они объединяются единым методом построения матрицы жесткости - классическим методом перемещений ( I.I). Большое внимание уделено качественным аспектам используемых аппроксимаций с точки зрения даваемой ими точности при изменении геометрических параметров злемента - толщины и степени непологости ( 1.2,4,7). Рассмотрены вопросы построения аппроксимаций, удовлетворяющих необходимым условиям глад- кости, как для треугольных ( 1.3,4), так и четырвхугольннх злементов ( 1.2,5). Описаны способы ослабления требований гладкости первых производных от прогиба с помощью методов штрафа и множителей Лагранжа и даются примеры их использования для оболочек ( 1.9,10). Много места уделено особенностям расчета оболочек сложной геометрии в отличив от оболочек канонических форм ( 1.4, 5,7). Затронуты вопросы параметризации поверхности оболочки в случае дискретного задания ее геометрии и приведены требования к аппроксимации радиуса-вектора средин-нйй поверхности ( 1.5,6). Дается сравнительный анализ точности, даваемой различными КЭ, на примере некоторых общепринятых задач ( 1.8). [c.16]

В настоящее время большое внимание уделяется созданию адекватных моделей нелинейных процессов деформирования, связанных с большими деформациями, неупругим поведением материала и нелинейными динамическими волновыми явлениями в слоистых и композиционных материалах. Построение общих сложных моделей, как правило, сочетается с необходимостью разработки достаточно простых, но в то же время эффективных моделей описания процессов с требуемой точностью, выделением главных или ведущих параметров рассматриваемых процессов деформирования и созданием экономичных программ их численной реализации. При решении задач механики сплошных сред и деформирования элементов конструкций достаточно универсальными и широко распространенными являются метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ), метод конечных разностей (МКР) в различных вариантах и сочетаниях с другими методами. В основу этих методов положено дискретное представление функций непрерывного аргумента и областей их определения, ориентированное на использование современных ЭВМ с дискретным способом обработки информацш, включая вычислительную технику новой архитектуры с векторными и параллельными процессорами. В механике, в частности в строительной, дискретное представление тел или конструкций в виде набора простых элементов имеет глубокие исторические корни, которые в свое время и послужили отправной точкой развития и обобщений МКЭ. [c.5]

В данной главе соответствующие вариационные принципы механики конструкций описываются с учетом их дальнейшего использования для построения конечно-элементных соотношений. Применение этихл принципов при построении соотношений для всей конструкции излагается в гл. 7. Таким образом, предполагается, что соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного конечного элемента можно построить независимо, а построение соотношений для всей конструкции — отдельная процедура. Это согласуется с изложенным в разд. 2.2 и использовавшимся далее в гл. 3 и 5 подходом к расчету стержневых конструкций методом конечных элементов. Однако энергетический метод позволяет по-иному подойти к методу конечных элементов и получить глобальные соотношения, суммируя энергию отдельных элементов. Вопросы перехода от одной точки зрения к другой обсуждаются в этой и следующей главах. [c.151]

Если коэффициенты в задаче зависят от времени (или нелинейные), то в строгой теории Галёркина матрицы М и К должны пересчитываться на каждом шаге. Весьма вероятно, что для получения матрицы жесткости, приближенно правильной, без пе-ресчитывания каждого интеграла, обязательно найдется возмущенный вариационный принцип, приводящий к некоторому гибридному методу конечных элементов и конечных разностей. В больших задачах точный процесс отыскания <3 + может оказаться слишком дорогим итерационный подход к построению приближения для Q + (возможно, исходящий из как из начального приближения) может быть более эффективным. Дуглас и Дюпон [Д8, ДИ] предложили для нелинейных задач несколько итерационных способов, позволяющих решать на каж-, дом временном щаге большую нелинейную систему. Их анализ [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...