Вынужденные колебания под действием гармонической силы

Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Пусть внешняя сила меняется по гармоническому закону [c.28]

Если закон F t) представляет собой сложную функцию времени, то решение этого линейного неоднородного уравнения можно свести к решению задачи о колебаниях под действием гармонических сил, поскольку почти во всех случаях нестационарные силы, действующие на колебательную систему, описываются функциями, которые можно представить в виде ряда или интеграла Фурье. Таким образом, сложная задача о вынужденных колебаниях может быть сведена к более простой — решению дифференциальных уравнений вида [c.17]

Первоначально производится гармоническая линеаризация нелинейной характеристики, входящей в систему уравнений (177). Затем находится решение этой линеаризованной системы, соответствующее вынужденным колебаниям под действием гармонической внешней силы. С этой целью применяется операционный метод решения. В рассматриваемом случае, переходя от оригиналов к изображениям, получим [c.218]

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, совершающую вынужденные колебания под действием гармонической возмущающей силы Р os w/ (фиг. 263). [c.440]

Пример 4. Двухопорная балка совершает вынужденные колебания под действием гармонически изменяющейся поперечной сосредоточенной силы приложенной в точке х = 1/2 к имеющей амплитуду Р = 500 кГ и часто ту 1200 колебаний в минуту. Пролет балки I — 4,35 м. Погонный вес балка д = 26,3 кГ/м I = 2,14 10 м , Е = 2,15 10 кГ/м . Требуется вычислить амплитуды прогиба и изгибающего момента в середине балки >. [c.294]

Элементы теории ударного виброгашения. Вынужденные колебания. Предположим, что под действием гармонической силы Р = Ра os at установилось периодическое движение упругой системы с виброгасителем, совершающееся с частотой ю и удовлетворяющее условиям периодичности (8.35), при замене в них величины ю на ю. Теперь откажемся от предположения о том, что система консервативна и будем считать, что коэффициент восстановления может иметь любое значение [c.302]

Рассмотрим условия, при которых можно ожидать, что колебания, отвечающие членам разложения р (u )i и А (ид)1, окажутся достаточно малыми. С этой целью заметим, что, согласно выражениям (17) и (18), эти члены представляют собой решение задачи о вынужденных колебаниях вибрационной машины под действием гармонических сил и моментов. [c.142]

Для определения динамических характеристик используют различные методы. Многие из них основаны на вынужденных колебаниях конструкции под действием гармонических сил. Соответствующая математическая модель имеет вид [c.375]

Чтобы получить полную картину вынужденных колебаний под действием силы (2.3), необходимо принять во внимание линейность уравнения (2.2). Это позволяет представить его решение з 1) как сумму гармонических колебаний [c.27]

Фиг. 2. Вынужденное колебание гармонического затухающего осциллятора. Кривая а представляет свободные колебания, а кривые Ь, с и й представляют вынужденные колебания под действием силы, внезапно приложенной в момент г = 0. Пунктирные кривые представляют силу в функции от времени, сплошные кривые дают смещение осциллятора. Левая часть графиков соответствует процессу установления справа процесс колебаний близок к установившемуся.

Рассмотрим влияние сопротивления движению на вынужденные колебания материальной точки, полагая модуль силы сопротивления пропорциональным первой степени скорости точки. Рассмотрим материальную точку М (рис. 47), совершающую прямолинейное движение под действием восстанавливающей силы Р, возмущающей силы Q, изменяющейся по гармоническому закону, и силы сопротивления R = — av. Направим ось х по траектории точки М, поместив начало координат О в положение покоя точки, д соответствующее недеформирован-ной пружине. [c.54]

И действующего поэтому принципа суперпозиции каждая из этих гармонических сил вызывает независимое вынужденное колебание, а общее вынужденное колебание, возникающее под действием такой периодической силы, получается суммированием этих независимых колебаний. Для определения каждого из вынужденных колебаний, которое возникает в том случае, когда внешняя сила представляется не всем рядом (72), а лишь какой-либо одной гармоникой, например k-ц, можно воспользоваться полученной выше формулой (69) — надо лишь заменить всюду Q на Поэтому вынужденное колебание /-й координаты qj, которое возникает под действием периодической силы, действующей на первую координату qy и выражающуюся рядом (72), может быть представлено в виде [c.251]

Из этой формулы видно, что вынужденные колебания, возникающие в системе под действием внешней силы (72), полностью определяются частотной характеристикой системы так же, как и в случае, когда рассматривалась гармоническая сила. Но теперь на частотной характеристике надо рассматривать не только точку, соответствующую частоте й, но и все точки, соответствующие частотам (k = Q, [c.251]

Рассмотрим вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы без учета сопротивления под действием гармонических возмущающих обобщенных сил, отнесенных к главным координатам. Гармонические возмущающие силы для других координат можно привести к гармоническим возмущающим силам для главных координат, если частоты первоначальных возмущающих сил одинаковы. Действие возмущающих сил, имеющих разные частоты, следует рассматривать по отдельности, используя свойство суперпозиции решений линейных дифференциальных уравнений. [c.443]

Таким образом, если нас интересуют колебания, происходящие в системе в промежутке времени от до t , то в первом случае (т О) мы можем предположить, что внешняя сила является периодической (а значит, и гармонической), а во втором случае (т сравнимо с О) мы не вправе делать этого предположения. Существенно, что допустимость или недопустимость предположения, о котором идет речь, зависит не только от характера внешней силы, но и от свойств той системы, в которой под действием этой силы происходят вынужденные колебания. [c.624]

Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в этой системе. [c.692]

В линейной системе с п степенями свободы справедлив принцип суперпозиции колебаний. Поэтому задача о вынужденных колебаниях в системе под действием любой периодической силы сводится к нахождению вынужденных движений системы в результате действия гармонической силы частоты р. В общем случае сила может действовать на каждую из координат. Таким образом, внешняя сила представляется вектором причем его состав- [c.295]

Следовательно, в начальный момент под действием раскачивающей силы возникнут и собственные и вынужденные колебания, но собственные колебания имеют существенное значение лишь в начале движения. Дальше роль их благодаря затуханию постепенно убывает. Если периоды собственных и вынужденных колебаний близки к равенству, то в первое время, пока свободные колебания еще не успели затухнуть, мы будем иметь известное явление биения, которое получается всякий раз, когда складываются два гармонических колебания, близких по величине периодов. [c.315]

Вынужденные колебания. Движение массы т (фиг. 4) под действием внешней силы, изменяющейся по периодическому закону Q sin гармонической силы), выражается формулой [c.335]

Линейный осциллятор массы т с собственной частотой со о под действием возмущающей силы совершает гармонические колебания с частотой р и амплитудой а. Какую работу совершает возмущающая сила на интервале времени Показать, что работа, совершенная этой силой за половину периода вынужденных колебаний, равна нулю. [c.187]

Под действием этой силы грузы, связанные друг с другом отрезками натянутого шнура, рано или поздно начнут совершать вынужденные гармонические колебания с частотой О). Естественно, что систему грузов (по аналогии с системой с двумя грузами) можно заметно раскачать лишь в случае резонанса, когда частота ю совпадает с одной из нормальных частот. [c.65]

Вынужденные колебания систем с двумя степенями свободы.—Рассмотрим теперь общую задачу об установившемся режиме вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы под действием гармонической возмущающей силы. В качестве примера подобной системы вновь рассмотрим две массы, показанные на рис. 135, а, и допустим, что кроме сил натяжения упругих пружин имеется внешняя сила Q sin toi, приложенная к массе т . В данном случае дифференциальные уравнения движения (а), стр. 186 принимают вид [c.201]

При таких начальных условиях система под действием возмущающей силы ft sin at будет совершать чисто вынужденные гармонические колебания с периодом т = 2п/со, определяемые уравнением [c.88]

Если с помощью контактных колец и скользящих по ним щеток соединить концы витка с электрической цепью, то под действием этой ЭДС индукции в электрической цепи возникнут вынужденные гармонические колебания силы тока — переменный ток. [c.237]

Механическая система с двумя степенями свободы находится под действием силового гармонического возмущения в виде силы Р = = Рц os pt или момента М os р(. Пренебрегая сопротивлением, исследовать вынужденные колебания системы. [c.373]

Значение элементов этой матрицы можно получить, рассмотрев вынужденные колебания БИ под действием единичной гармонической силы, приложенной к промежуточному телу [c.160]

Под действием возмущающей гармонической силы Р sin а/ система совершает вынужденные колебания, дифференциальные уравнения которых будут [c.18]

Для практической реализации расчета изложенным методом необходимо предварительно составить матрицы [К], [Щ, [Д]. Определение матриц податливости [V и [С/] сводится к решению задачи о вынужденных колебаниях свободного (без опор) вращающегося валопровода под действием единичной гармонической силы. Расчет матрицы [Д] см. в гл. VII. [c.314]

Под действием внешней гармонической силы Р частоты р, приложенной к одному из связанных маятников (рис. 386), оба маятника будут совершать гармонические вынужденные колебания с частотой р. Амплитуды колебаний каждого из маятников, так же как и прн вынужденных колебаниях с одной степенью свободы, будут зависеть от частоты, причем эта зависимость особенно резко выражена при малом затухании. Резонанс колебаний, или колебания обоих маятников с максимальной амплитудой, будет наблюдаться тогда, когда одна из собственных частот связанных маятников равна частоте внешней силы. Аналогично для системы из п маятников резонанс будет наблюдаться при /г значениях частоты внешней силы. [c.468]

В статье Э. Е.Сильвестрова рассматриваются вынужденные колебания под действием гармонической силы системы со ступенчатым законом изменения массы. Для учета влияния изменяющейся массы на характер движения системы построена амплитудно-частотно-массовая характеристика. [c.6]

Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Режимы медленных, быстрых и резонансньи колебаний. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики. Баллистический режим колебаний. Установление колебаний. Характеристики различных колебательных систем. Параметрические колебания. Автоколебания. [c.27]

ПОЧТИ всего времени, пока действует внешняя сила, в системё происходят гармонические вынужденные колебания, такие же, какие происходили бы под действием гармонической силы, длящемся от = —сю до t = +00 (рис. 402, 6). Следовательно, при г <С. вынужденные колебания с малыми искажениями воспроизводят форму внешней силы. [c.624]

Наиболее простыми для решения, но вместе с тем важными для практики являются задачи на установившиеся колебания под действием внешних сил, изменяющихся по гармоническому закону. Решению задачи, как правило, предшествует определение частот и форм свободных колебаний, после чего нахождение вынужденньк колебаний мало чем отличается от решения задач с сосредоточенными параметрами. Однако в случае воздействия на упругую систему сосредоточенной внешней силы можно найти вынужденные установившиеся колебания и без разложения их в ряд по формам свободных колебаний. Фаза вынужденных колебаний равна нулю, если колебания совершаются до резонанса (р<а), вынужденны колебания отстают по фазе на п от внешней силы, если колебания происходят после резонанса (р>а). [c.338]

В отличие от свободных колебаний поведение колебательных систем под действием гармонической силы определяется не только параметрами системы, но и частотой внешнего воздействия. Мы видим, что смещение, скорость и ускорение вынужденных колеба1 ий имеют частоту, не зависящую от параметра колебательной системы, и выражаются, формулами [c.21]

Вторая лекция. Первую половину лекции рекомендуется посвятить решению, в качестве примера, задачи № 837 из сборника И. В. Мещерского (изд. 1965 г.). В условии этой задачи не сделано оговорки о том, что коэффициент трения принимается постоянным, не зависящим от относительной скорости. Если учесть в этой задаче хотя бы незначительное изменение коэффициента трения в зависимости от относительной скорости скольжения, то получим типичный пример самовозбуждаюцдихся колебаний, физическую сторону которых легко описать с помощью баланса энергии. Целесообразно рассмотреть и некоторые другие примеры автоколебаний. Во всяком случае здесь вполне уместно дать определение автоколебаний, подчеркнув их особенности, и перейти к изложению вынужденных колебаний под действием сил, являющихся заданными функциями времени. Во второй части лекции следует дать решение дифференциального уравнения движения системы с одной степенью свободы под действием восстанавливающей и гармонической возмущающей сил. Полезно представить решение этого уравнения в виде суммы трех слагаемых, выражающих соответственно свободные колебания, свободные сопровождающие колебания и чисто вынужденные колебания. [c.22]

Впервые задачу о вынужденных колебаниях осциллятора с кулоновским трением под действием гармонической силы решал В. Экольт, затем, учитывав ц вязкое трение, Дж. П. Ден-Гартог. В 1935 г. Э. Мейснер рассматривал колебания осциллятора при наличии кулоновского трения и внеш-негог периодического ступенчатого воздействия. При произвольном периодическом внешнем воздействии эта задача рассматривалась Г. Циглером. [c.148]

Устойчивость формы гармонических колебаний в линейной системе обнаруживается при рассмотрении задачи о вынужденных колебаниях ( 140). Уравнение (17.19) описывает поведение линейной колебательной системы, находящейся под действием гармонической внешлей силы линейность системы выражается в том, что [c.620]

О вынужденных колебаниях легко находится разлол<ив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как устойчивость формы гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функци11. [c.622]

Вынужденные колебания. Движение массы т (фпг. 4) под действием внешне11 силы, изменяющейся по периодическому закону Q sin uit гармонической силы), цыражается формулой [c.335]

Где feu, ifiii, 22> — функции частоты Q, имеющие следующий механический смысл. Пусть ротор не вращается, а к колебательной системе в точке О вдоль оси Ох приложена гармоническая сила с частотой Q и единичной амплитудой. Амплитуда переме-ш,ення точки О в направлении оси Ох при установившихся вынужденных колебаниях системы под действием этой силы равна величине кц, а угол сдвига фаз между колебаниями точки О вдоль Ох н силой — углу фц. Аналогично определяются величины 22. fe при рассмотрении перемещений точки О по оси Оу под действием силы, направленной по этой же оси. [c.205]

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы одномерная система вблизи положения устойчивого равновесия совершает движение, представляющее собой наложение двух гармонических колебаний собственного колебания с частотой о)о и вынужденного колебания с частотой вынуждающей силы Y< В отсутствие сил трения вынужденные колебания осциллятора проис ходят либо синхронно с изменением вынуждающей силы (при у < < соо). либо отстают по фазе на угол п (при у > соо). Случай у = = о требует специального рассмотрения. Рассмотрим энергетические превращения, происходящие в механической системе, совершающей вынужденные колебания. Допустим, что в начальный момент / = О система находится в положении равновесия и покоится, т. е. л (0) = О и х (0) = 0. Пусть на систему действует вынужда- [c.220]

Под действием гармонической вынуждающей силы установивпгаеся вынужденные колебания при наличии сопротивления являются также гармоническими. Их энергия неизменна. Однако система непрерывно поглощает энергию, т.к. вынуждающая сила производит работу. Поглощаемая системой энергия диссипируется из-за сопротивления. Количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, пропорционально квадрату амплитуды (работа силы трения за время Л равна Г Зх = Г xdt = —сх Л за счет [c.74]

Коэффициент динамичности но перемещению К дин, А д — величина, равная отношению амплитуды А гармонических вынужденных колебаний к статическому перемещению под действием силы, равной амплитуде силового гар.мо1Шческого возбуждения или амплитуде кинематического гармонического возбуждения. [c.145]

В качестве другого примера рассмотрим случай нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости, физические свойства которой характеризуются константами р и р, по бесконечно длинной круглой цилиндрической трубе диаметра й под действием перепада давления Ар, представляющего некоторую гармоническую функцию с периодом Т (или частотой N = ИТ) и амплитудой Р. В этом случае (опускаем действие объемных сил) никакой характерной скорости не задается и, таким образом, ни одно из чисел подобия ЗЬ, Ей и Ре не может быть критерием. Как и в предыдущем случае, поскольку задается перепад давления (за масштаб давлений можно принять, например, амплитуду колебаний давления Р) и частота N нестационарного движения (для простоты рассмотрим только установившиеся вынужденные колебания жидкости), то критерии подобия составим, комбинируя числа ЗН и Ей с числом Рейнольдса Ре так, чтобы скорость V исключилась. Будем иметь следующие два критерия подобия-. [c.374]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...