Собственные частоты связанных -маятников

Собственные частоты связанных маятников [c.464]

СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ 465 [c.465]

Под действием внешней гармонической силы Р частоты р, приложенной к одному из связанных маятников (рис. 386), оба маятника будут совершать гармонические вынужденные колебания с частотой р. Амплитуды колебаний каждого из маятников, так же как и прн вынужденных колебаниях с одной степенью свободы, будут зависеть от частоты, причем эта зависимость особенно резко выражена при малом затухании. Резонанс колебаний, или колебания обоих маятников с максимальной амплитудой, будет наблюдаться тогда, когда одна из собственных частот связанных маятников равна частоте внешней силы. Аналогично для системы из п маятников резонанс будет наблюдаться при /г значениях частоты внешней силы. [c.468]

Рекомендуем читателю самому вывести аналогичные уравнения для двух одинаковых маятников, связанных невесомой пружиной с коэффициентом жесткости А (каждый маятник — тело с массой т, укрепленное на конце легкого стержня длиной I) и убедиться, что получится система уравнений (3), в которых собственная частота несвязанных маятников [c.117]

В качестве примера рассмотрим малые колебания двух одинаковых плоских маятников, связанных пружиной (рис. VI.11, а). Интуитивно ясно, что если отклонить маятники на один и тот же угол а и отпустить их затем с нулевыми начальными скоростями (рис. VI. 11, б), то во время колебаний длина пружины меняться не будет, и, следовательно, маятники будут колебаться одинаково, так, как они колебались бы, если бы не были связаны пружиной. Отсюда сразу следует, что одной из собственных частот этой системы является собственная частота одного из маятников при отсутствии пружины. [c.239]

Таким образом, для каждого нормального колебания тот маятник имеет большую амплитуду, у которого парциальная частота близка к собственной частоте рассматриваемого колебания. При равенстве парциальных частот связанность системы велика даже при малых коэффициентах связи. В этом случае относительная величина амплитуды каждого колебания одинакова в обеих координатах. [c.245]

Из (7.181), (7.182) видно, что состояние Ks является СР-четным (СР = +1), а состояние Ki., напротив, СР-нечетное (СР = —1). Если комбинированная инверсия СР сохраняется, то состояния Ks и К1 не могут сами по себе переходить друг в друга. В нашей аналогии с двумя слабо связанными одинаковыми маятниками состояниям Ks и Ki. соответствуют два собственных колебания одно, в котором оба маятника качаются с одинаковыми амплитудами синфазно, и другое, в котором маятники качаются в противофазе (рис. 7.82). Из теории колебаний известно, что собственные частоты [c.411]

Какие колебательные системы называются связанными системами Что называют степенями свободы связанной системы Сколько степеней свободы имеет система, состоящая из двух связанных математических маятников Сколько собственных частот имеет такая система [c.354]

Представим себе систему одинаковых, никак не связанных между собой маятников (рис. 12.2, а). Ввиду отсутствия связи колебания одного маятника (собственные или вынужденные) не могут передаваться другим маятникам. В такой системе процесс распространения колебаний невозможен. Чтобы колебания могли передаваться, маятники должны быть так или иначе связаны между собой. Пусть между маятниками имеется упругая связь, осуществляемая с помощью легкой пружины (рис. 12.2, б). Если в такой системе привести в колебание какой-либо маятник (например, крайний левый по рисунку 12,2,6), то он, сжимая и растягивая пружины, создает переменную упругую силу, которая приведет в колебание (с той же частотой) соседний маятник, тот, в свою очередь, — следующий маятник и т. д. По цепи упруго связанных маятников начнется процесс распространения колебаний от маятника к маятнику, причем, чем дальше находится маятник от начального (крайнего левого), тем позже он вступает в колебание. Каждый маятник колеблется около своего среднего положения, но частота колебаний у всех маятников одинакова она задается частотой внешней силы. [c.357]

Собственные колебания трех связанных маятников, или системы с тремя степенями свободы, еще сложнее и также представляются суммой трех гармонических колебаний. Система из трех маятников обладает тремя собственными частотами. [c.466]

Колебания с одной из собственных частот системы трех одинаковых связанных маятников можно легко наблюдать на опыте. Здесь [c.466]

На рис. 384 показаны начальные условия, при которых возникает каждое из трех собственных колебаний в системе связанных маятников с собственными частотами сс > (О2 > сод. Очевидно, что после начальных условий, изображенных на рис. 384, а и б, возникнут гармонические колебания маятников с частотами [c.466]

Отметим общий закон собственных колебаний. Если колеблющаяся система имеет одну степень свободы (маятник и т. п.), то она совершает собственные колебания с одной частотой. Система с двумя степенями свободы (два связанных маятника) имеет две собственные частоты. Струна имеет бесконечное число частнц, бесконечное число степеней свободы, и она имеет бесконечное число собственных частот ю,,. .. Следовательно, число собственных частот системы равно числу степеней свободы. [c.502]

Рассмотрим теперь случай слабо связанных маятников, когда 2сЛ < mgl и, следовательно, собственную частоту <0г можно приближенно принять равной [c.245]

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с собственными частотами расположенных на расстояниях а С А (дисперсионная кривая — сплошная кривая на рис. 4.12 6). Мы уже говорили, что при о о —О дисперсия исчезает длина нитей маятников так велика, что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый маятник имеет собственный период Т = 27г/ о среда из маятников не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все маятники будут колебаться синфазно волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (4.21) и (4.23), в которых соотношение между а и Л может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется даже при Шо 0. Действительно, в этом случае мы приходим к цепочке из шариков, связанных пружинками. В этой среде дисперсия существенна, пока а не мало по сравнению с Л. Таким образом, в решетке из шариков дисперсия определяется собственным пространственным масштабом — периодом решетки . С этим же связана дисперсия в решетке из равноудаленных частиц разной массы (см. (4.16)). Что касается цепочки из связанных маятников, когда Шо ф О и расстояние а сравнимо с Л, то дисперсия определяется и временным, и пространственным масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из магнитных стрелок, где наряду с периодом а фигурирует частота шн, связанная с существованием внешнего магнитного поля (см. (4.26)). Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов. [c.73]

Для системы трех идентичных маятников, связанных пружинками (рис. 1.10) найдите собственные частоты и собственные векторы нормальных типов колебаний. [c.20]

Найдите собственные типы колебаний (то есть собственные частоты и собственные векторы) системы из N идентичных связанных маятников, если два крайних маятника свободны. Длины всех маятников I, массы т, жесткость соединяющих пружинок к. [c.38]

Рис. 2.38. Распределение собственных частот системы связанных идентичных маятников.

Опыты показали, что с повышением угловой скорости собственного вращения ротора частота собственных колебаний гироскопа относительно меридиана сначала возрастает, достигает максимума при сравнительно малом собственном кинетическом моменте гироскопа, а затем начинает убывать. Это осложняло положение. Казалось, что кинетическому моменту нельзя придать достаточно большое значение, при котором статическая погрешность прибора оставалась бы в приемлемых пределах. Тогда частота собственных колебаний прибора падала настолько, что усреднять его показания, отсчитывая их относительно индекса, связанного с кораблем, не представлялось возможным. Правда, можно было, как показывал опыт, для поднятия частоты собственных колебаний увеличить статический момент маятника, но здесь обнаруживалось еще одно серьезное осложнение. [c.147]

Под влиянием такого рода переходов между состояниями К и К возникает небольшое взаимодействие. Чтобы понять, к чему это взаимодействие приведет, надо принять во внимание, что если некоторая величина не сохраняется, то она меняется со временем. Поэтому, если в начальный момент у нас был мезон К , так что странность точно равнялась +1, то через какое-то время это состояние частично перейдет в К (вспомним, что в квантовой механике возможна суперпозиция, т. е. наложение различных состояний). Этот процесс удобно пояснить аналогией с двумя маятниками, иемющими одинаковые собственные частоты и слабо связанными друг с другом. Если один из маятников (К ) раскачать, то через некоторое время начнет раскачиваться и второй маятник (К ), отбирая энергию у первого. Возникает вопрос, существует ли такая суперпозиция состояний К и К , квантовые числа которой не меняются со временем. Если принять (до осени 1964 г. в этом не сомневался никто), что сохраняется СР-четность (см. 2, п. 9), то эти суперпозиции найти нетрудно. Каон при зарядовом сопряжении С переходит в антикаон, а при инверсии Р его волновая функция (при нулевом импульсе) меняет знак (каон нечетен). Обозначая через К и К волновые функции соответствующих частиц, действие операций С и Р можно записать в виде [c.410]

В отличие от одиночного маятника такая система имеет две собственные частоты. Та или иная из этих частот устанавливается в зависимости от способа возбуждения системы. Более низкая частота oi получается при качании обоих маятников Б одной фазе (рис. 11.25,6). Более высокая частота соз при качании маятников в противофазе (рис. 11.25, в). То, что сог > wi, объясняется тем, что возвращающая сила при колебаниях в противофазе больше, чем при колебаниях в одной фазе, за счет деформации связывающей пружины. Если упругость пружины невелика, то различие в частотах будет небольшим. Отметим, что разбираемая система обладает двумя степенями свободы (двумя координатами), так как ее положение в каждый момент времени определяется положением обоих маятников. Система с двумя степенями свободы обладает двумя собственными частотами, которые называются нормальными. Это означает, что при специальных способах возбуждения можно вызвать колебания маятников либо в одной фазе (с частотой oj), либо в противофазе (с частотой сог)- Но при произвольном возбуждении возникают колебания того и другого типа и, следовательно, обе частоты появляются одновременно. Каждый маятник, таким образом, участвует в двух колебанйях, близких по частоте. А в этом случае, как мы знаем, результирующее колебание маятника представляет собой биения. Итак, при произвольном возбуждении системы из двух связанных маятников возникают биения. При этом частота колебаний маятников [c.351]

Интерференционное взаимодействие двух резонаторов превращает исходную монохроматическую частоту v в дублет v + Av. Более высокая частота соответствует измененной бывшей собственной частоте, а более низкая частота определяет период лерекачки энергии от одного резонатора к другому (скорость обмена энергий). Эти интерференционные явления изменен- ую собственную частоту колебаний и периодическую перекачку (обмен) энергии от одного резонатора к другому — легко наблюдать на опыте с двумя связанными маятниками. [c.21]

Из сказанного можно сделать вывод, что если частота колебаний маятника и частота собственных колебаний пружинки имеют одинаковый порядок величины, то, отклоняя как(Ляибо из маятников, мы получаем стохастииескую-картину отклонений различных маятников, связанных пружинками на общей оси, не изменяющуюся со временем. [c.16]

Из ЭТИХ рассуждений следует, что всегда возможное основное колебание (6.27), когда масса маятника колеблется вертикально, при определенном соотношении собственных частот может вызывать колебания по координате ф. В силу закона сохранения энергии это, конечно, возможно лишь за счет амплитуды основного колебания. Таким образом, в процессе колебаний энергия колебаний по координате X перекачивается в энергию колебаний по координате ф, и, как показывают эксперименты, этот процесс происходит периодически в обоих направлениях. Происходящие при этом процессы внешне очень похожи на обычные связанные колебания, однако в их основе лежит совершенно другой механизм возникновения. В то время как обычные связанные колебания ранее рассмотренного типа можно исследовать методом малых колебаний, т. е. путем линеаризации уравнений движения, описанные здесь явления принципиально нельзя объяснить, работая с линеаризованными уравнениями. На эти важные обстоятельства указал Меттлер (Ing.-Ar h., 1959, Bd. XXVlIl, 213—228). [c.266]

Интересен слумай, когда жесткость соединительной пружины существенно меньше жесткости пружин маятников к К ), Тогда систему можно рассматривать как два слабо связанных Дру1 с другом (посредством соединительной пружт1ны) осциллятора. При этом собственные частоты согласно (36.31) оказываются близкими и колебания тел согласно (36.32) представляют собой биения (см. качественное объяснение биений на с. III). Характер этих биений таков, что в те моменты, когда нормальные колебания синфазны и биения первого тела имеют максимальную амплитуду, амплитуда биений второго тела [c.122]

Спусковые регуляторы действуют периодически и применяются при малой частоте вращения оси, угловая скорость которой регулируется. На рис. 31.12 показан спусковой регулятор с автоколебательной системой, состоящий из маятника-регулятора 7 и жестко связанного с ним анкера 3. Анкер вместе с маятником совершает колебания вокруг неподвижной оси 2. На анкере укреплены палетты I 4, которые удерживают ходовое колесо 5 от вращения. Движущий мо.мент на валу 6 колеса создается силой тяжести О гири. При переходе через среднее положение палетты позволяют колесу повернуться на один зуб. При повороте зуб толкает анкер и сообщает колебательной системе импульс, необходимый для поддержания ее непрерывных колебаний, затем в крайнем положении маятника происходит остановка ходового колеса, после чего этот процесс повторяется. Период собственных колебаний маятника Гм связан с параметрами регулятора формулой [c.399]

Нормальные частоты стержня зависят от его размеров, плотности и упругих свойств материала, из которого он изготовлен. Поэтому для данного стержня его пор.чальные частоты имеют вполне определенные значения. Нормальные частоты поперечных колебаний данной струны зависят, кроме того, еще и от ее силы натяжения. Выбирая соответствующим образом на-чал1)Иые условия в стержне, можно возбудить те или иные свойственные им нормальные колебания. Например, если струну, закрепленную по концам, слегка оттянуть в средней ее точке, а затем отпусппь, то мы возбудим в ней первое нормальное колебание. При этом все точки струны, кроме крайних, колеблются в одинаковых фазах, а отклонения различных точек от по.чожения равновесия находятся в определенном отношении, которое все время сохраняется и равно отношению их амплитуд (рис, 161, а). Такое колебание струны происходит с наиболее низкой нормальной частотой п является основным тоном собственных колебаний струны (см. 49). Как мы видели, второе нормальное колебание связанной системы из трех маятников происходит так, что средний маятник все время остается в покое, а крайние колеб.тются в противоположных фазах. Подобное нормальное колебание (рис. 161, б) можно возбудить и в струпе. Для этого нужно оттянуть средние точки каждой половины струны па одинаковое расстояние, но в противоположные стороны, и затем их одновременно отпустить. Тогда струна начнет колебаться так, что ее средняя точка будет все время находиться в покое, а точки одной половины струны колебаться в противофазе по отношению к точкам другой половины струны. [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...