Уравнение орбиты в полярных координатах

Исключая г из уравнения (4.10) и уравнения орбиты в полярных координатах [c.111]

Напишем уравнение орбиты в полярных координатах, отсчитывая полярный угол ф от оси Ох [c.543]

При мер 17. Определим годограф скорости точки М, если она описывает коническое сечение с постоянной секторной скоростью вокруг фокуса этого сечения. Плоскость траектории, или орбиты точки, примем за плоскость Оху уравнение орбиты в полярных координатах, отнесённое к фокусу F и полярной оси Fx, будет [c.66]

Действительно, уравнение орбиты в полярных координатах было выведено в виде [c.472]

Уравнение орбиты в полярных координатах. Пусть [c.216]

Чтобы получить уравнение орбиты в полярных координатах, мы исключим й из уравнений [c.26]

Согласно формулам (4) и (5) 2.04, уравнение орбиты в полярных координатах имеет вид [c.28]

Разделяя переменные в (9.690 и интегрируя, мы получим соотношение между ы и ш, т. е. уравнение орбиты в полярных орбитальных координатах [c.455]

В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.). в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси д и у которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью и. Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования ), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна ), который закончил построение теории Луны н составил соответствующие таблицы З). используемые с 1923 г. в ежегодниках. [c.378]

Определение положения и скорости снаряда в плоскости орбиты в данный момент времен и. Дадим сводку полученных результатов. В абсолютном движении траектория центра масс снаряда есть эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли. Уравнение траектории в полярных координатах г и и имеет вид [c.48]

В качестве примера быстрого эллипса для перелета между двумя соосными эллиптическими орбитами рассмотрим траекторию, показанную на рис. 6.18. Быстрые перелетные орбиты могут понадобиться в тех случаях, когда промежутки времени между благоприятным расположением планет, при котором возможен перелет по траекториям, показанным на рис. 6.17, слишком велики и желательно иметь большую свободу выбора момента старта. При этом продолжительность перелета также существенно сокращается. Если задан радиус точки встречи, то величину т]" можно найти из уравнения целевой эллиптической орбиты в полярных координатах. Из условия соосности вытекает, что ц1 — Поэтому величины v , [c.170]

Мы нашли, в частности, величины р, е, определяюш,ие орбиту, но для ее полного нахождения нам надо еще найти направление оси апсид (рис. 116), т. е. угол е пользуясь уравнением конического сечения в полярных координатах (учебник, r/i. XVI, 90) [c.275]

ОНИ дают решение одной и той же задачи установления связи уравнения орбиты с величиной центральной силы разница лишь в том, что первая решает эту задачу в декартовых, а вторая — в полярных координатах. [c.485]

Таким образом, постоянные v и 0 определяют положение плоскости орбиты, а уравнение (9.74) или (9.74 ) есть уравнение плоскости орбиты в переменных Клеро — Лапласа. Чтобы получить значения остальных постоянных, приведем уравнение орбиты (9.75) к обычному виду уравнения кривой второго порядка в полярных координатах. [c.460]

Но уравнения (14.26) представляют собой дифференциальные уравнения в полярных координатах кеплеровского движения точки единичной массы, притягиваемой к началу координат точкой с массой то- т +т2. Это движение происходит по эллипсу, гиперболе или параболе в согласии с законами Кеплера, а каждая из точек Mi и М2 описывает подобную кеплеровскую орбиту, фокус которой находится в точке Мо. [c.746]

Основная идея метода Ганзена состоит в том, что рассмотрение возмущенного движения планеты Р разделяется на следующие этапы сначала можно интегрировать уравнения в прямоугольных координатах Ганзена (4.1.18) или в полярных координатах Ганзена (4.1.43), т. е. сначала можно изучить возмущенное движение точки Р в плоскости оскулирующей орбиты XY (см. рис. 62). Затем можно рассмотреть уравнения, определяющие положение плоскости оскулирующей орбиты XY относительно плоскости ху, далее в долготу (см. рис. 63) необходимо внести поправки, обусловленные движением оскулирующей плоскости. Для планет Солнечной системы эти поправки достаточно малы. [c.412]

Постоянные а,,а, и доопределяют положение плоскости орбиты по отношению к осям координат. В полярных координатах уравнение (11) принимает вид [c.136]

Это—диференциальные уравнения в полярных координатах для задачи двух тел. За исключением различия в обозначениях они таковы же, как уравнения (65) главы V. Поэтому р и 6 удовлетворяют условиям движения по коническому сечению согласно закону тяготения, и из уравнения (63) и из определения 6 следует, что три тела описывают подобные конические сечения, имеющие произвольные эксцентриситеты. Эти решения включают решения в форме прямой, где в частном случае орбиты являются окружностями. [c.283]

Эллиптическое движение спутника нами исследуется в полярных координатах в плоскости орбиты. Метод изучения эллиптического движения в полярных координатах Клеро распространил на исследование плоского возмущенного движения Клеро впервые предложил употреблять полярный угол в качестве независимого переменного в уравнениях возмущенного движения. В данной работе показывается, что метод Клеро приложим также и к изуче- [c.8]

Исходя из уравнения (3.34), можно сделать некоторые общие заключения о характере орбиты. Можно показать, например, что она симметрична относительно точек, в которых радиус г имеет максимум или минимум. Для того чтобы сделать это, мы должны показать, что орбита не меняется при отражении от полярного радиуса такой точки. Выберем для этого систему координат таким образом, чтобы полярная ось проходила через одну из этих точек. Тогда угол 0 будет здесь равен нулю и указанное отражение можно будет выполнить посредством замены 0 на —0. Дифференциальное уравнение орбиты [c.87]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

Пример 3. Частица описывает орбиту вокруг неподвижного центра О, притяжение которого соответствует закону всемирного тяготения. Пусть г, 0 — ее полярные координаты с началом в центре О. Показать, что уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид [c.364]

Это есть полярное уравнение конического сечения, один из фокусов которого находится в начале координат. Из этого исследования и из 55 следует, что если орбита есть коническое сечение, один из фокусов которого находится в начале и сила зависит только от расстояния, то тело движется под влиянием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и, наоборот, если сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, то тело описывает коническое сечение, один из фокусов которого находится в начале координат. [c.92]

В принципе описанным выше методом можно пользоваться при любых значениях эксцентриситета и наклонения. Однако, когда орбита прямолинейная или почти прямолинейная, эффективность метода падает. Объясняется это тем, что в ряде используемых соотношений, и в частности в уравнении (7.18), величина Л стоит U знаменателе. Поэтому в случае, когда все три компоненты Л становятся меньше некоторого предела, следует, чтобы не терять точность, перейти к другим переменным. В качестве таких новых переменных можно взять полярные координаты (г, а, Р), для которых справедливы следующие соотношения [c.243]

Пусть ОХ — основное направление в плоскости орбиты, причем Солнце находится в точке О. Обозначим через г, 0 полярные координаты планеты, масса которой равна т, а через й — долготу перигелия, так что 0 = /- -(о, где / — истинная аномалия. Если (1з — линейный элемент орбиты, то составляющие силы сопротивления вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему будут соответственно —/и/ и —тНг . или —тН и —тРг . Поэтому уравнения движения при Н = су г будут иметь вид [c.304]

При исследовании МСС часто оказываются полезными упрощенные уравнения движения — уравнения движения в плоскости полярной орбиты. Их можно составить, обратившись к рис. 6.6, на котором изображены инерциальные оси координат, одна из которых Оуз параллельна вектору угловой скорости суточного вращения Земли, а другая — О з — параллельна линии узлов и направлена в сторону восходящего узла (см. рис. 2. 5). Уравнение движения КА относительно поперечной оси Оу может быть, очевидно,записано в виде [c.135]

Все размеры отнесены к Разберемся, какие кривые представлены уравнением (20). Отметим, что кривая, заданная этим уравнением, пересекает полярную ось в точках Ри Ас координатами Хр =1 и Хд =-(1-1-е)/(1-е), соответствующими значениям полярного угла ф = О и ф = л (рис.9). Назовем эти точки вершинами орбиты. [c.113]

Уравнение орбиты в полярных координатах имеет вид г = р/(1 + есо8ф), а движение по [c.23]

Доказательство. Необходимость. Первый и второй законы Кеплера позволяют сделать вывод, что орбита каждой планеты есть плоская кривая, и для нее имеет место интеграл площадей относительно Солнца. Из теоремы 3.7.7 следует, что тогда сила взаимодействия планеты с Солнцем — центральная с центром в Солнце. Постоянная площадей для планет не равна нулю, и мы можем воспользоваться формулами Вине. Выберем по.пярные координаты с центром в Солнце и полярную ось направим в точку орбиты, ближайщую к Солнцу (перицентр орбиты). Полярный угол, полученный таким способом, обозначим п. Он называется истинной аномалией. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид [c.256]

Это есть интеграл площадей в плоскости орбиты в полярных координатах. Отсюда по формуле (9.45) найдем соотношение между V и t так же, как это было описано выше, и решение задачи приведется к вычислению интеграла в уравнении (9.45) и к последующему затем решению полученного уравнения отнО сительно истинной аномалии v. [c.457]

Радиус-вектор г можно найти также из общего уравнения кеилеровой орбиты в полярных координатах, которое в рассматриваемом случае наиииштся в виде [c.494]

Пример. Частица П описывает центральную орбиту, уравненне которой в полярных координатах имеет вид f (р, ф) = О, со скоростью v = F (р). Доказать, что частица Р под действием центральной снлы, равной l dv idr, может описывать центральную орбиту f r , и0) = О со скоростью v = nr F (г")-Показать также, что отношение моментов количеств движения точек Р и П отно-снтельпо центров сил равно /г 1 и что времена прохождения соответствующих элементарных дуг находятся в отношении 1 ri r [c.352]

Обратно, уравнение (25) может быть использовано для нахождения закона центральной силы, заставляющей точку описывать данную кривую. Необходимо лишь написать уравнение кривой в полярных координатах и вычислить правую часть от (25). Это обычно значительно проще прямого процесса нахожден 1я орбиты, когда дан закон силы. [c.82]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

EleKTop кинетического момента и вектор Лапласа позволяют построить репер, в котором орбита материальной точки, движущейся в поле центральной ньютонианской силы, представляется каноническим уравнением в полярных координатах. При этом вектор Лапласа направлен из притягивающего центра в перицентр орбиты, а вектор кинетического момента перпендикулярен плоскости орбиты. [c.260]

В этом параграфе исследуется задача о нахождении уравнения орбиты гиперреактивной точки в ноле тяготения и определении элементов орбитальной траектории в так называемой неизменяемой плоскости движения Лапласа. Исследование начнем, исходя из основной системы плоского гинерреактивного движения (6.27), записанной в полярных координатах. Найдем дифференциальное уравнение орбиты s lp). [c.193]

Уравнение (2.71) является уравнением кривой второго порядка, в фокусе которой иаходится начало координат постоянная р называется параметром орбиты, а постоянная е — ее эксцентриситетом. Значение с зависит от выбора направления полярирй оси в плоскости орбиты. Если полярную ось направить на ближайшую к центру силы точку траектории (см. выбор осей на рис. 2.6), то с=0. [c.84]

Полезно ввести представление о центре орбиты, поместив его как раз посередине между вершинами, т.е. в точке на полярной оси с декартовской координатой Лс =(хр-1-д д)/2 =-е/(1-е). Определим на полярной оси точку F, симметричную силовому центру О относительно центра орбиты. Ее декартова координата окажется Хр =-2е/(1-е). Учитывая, что гсо8ф = х, перепишем уравнение траектории тела (20) в виде [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...