Вычисление производных функций формы

Вычисление производных функций формы [c.275]

Однако теперь функции формы в (4.37) определены в локальной системе координат в соответствии с соотношениями (4 29)—(4.31) или (4.28) и вычисление производных по глобальным координатам требует предварительных математических преобразований. Эти преобразования аналогичны тем, которые были проделаны ранее в случае одномерного элемента, и необходимы для установления связи между производными функций форм по глобальным координатам и производным тех же функций по локальным координатам. [c.76]

Подпрограмма вычисления значений локальных производных функций форм трехмерного шестигранного конечного элемента [c.205]

Сложность интегрирования выражения (13) при вычислении составляющей Jk W) проистекает нз того, что оно содержит вторые производные перемещений. Поскольку в 20-узловых конечных элементах перемещения аппроксимируются квадратичными функциями N , то для интерполяции пли экстраполяции деформаций и значений энергии следует применять линейные функции формы т1, S). Функция, заданная в восьми точках [c.373]

Правую часть (4.8) иногда записывают в форме [oP,y... (X, t) dt]yi, чтобы подчеркнуть, что координаты X считаются постоянными, т. е. что при вычислении производной имеют дело с одними и теми же частицами. Если некоторое свойство задано функцией Р,/... в пространственных переменных [c.158]

Выписывая в развернутом виде проекции полного ускорения по правилу вычисления производной от сложной функции Цх, у, г. /), в которой, в свою очередь, х. у. г являются функциями времени I, можно получить с учетом найденных выражений для Рх. Ру, Рг уравнения движения (3.1.1 )- (3.1.3) в следующей форме [c.105]

Прежде чем ш штъ расчет, отметим, что линия магнитного резонанса симметрична относительно центральной частоты щ. Убедимся в правильности этого утверждения. Если а) и f > — два собственных состояния ё о + Ш ж) с разностью энергии % Еа — Еь) Лшо + баь, то два состояния I а) и I 6), полученные из а) и j 6 ) соответственно путем поворота всех спинов в обратном направлении, будут также собственными состояниями Ь ( o + i) с ft( -j — )=fi, uo—oeb- Таким образом, каждому переходу с частотой а о + соответствует переход равной интенсивности с частотой Шо — и. Если /( ) —функция формы, то h (и) / (шо-Ьм) — четная функция и. Поскольку моменты кривой пропорциональны производным в начале координат от их фурье-преобразования, мы будем применять для их вычисления формулу (IV.13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины се в пределах ширины линии и предположить, что форма линии описывается Х" (м) /а>, так же как и %"( ). Тоща, поскольку /( ) — нормированная функция формы, (IV.13) может быть переписано в виде [c.112]

В этом разделе будет проиллюстрировано вычисление матрицы элемента. Если вернуться к гл. 5, то мы увидим, что каждое из приведенных там соотношений, определяющих матрицы элементов, содержит производные от функций формы по переменным х, у и г. В случае одномерной задачи теории поля, например, выражение для коэффициентов матрицы теплопроводности содержит производную йЫ йх [c.253]

Составление матрицы Якоби, обратной к ней матрицы и вычисление ее определителя составляют первый этап работы цикла, в котором вычисляются коэффициенты матриц элементов. Необходимые для составления матрицы Якоби частные производные вычисляются в подпрограмме, которая определяет как функции формы Ни так и их производные дНг/д и дЯ 1дц. Выбор соответствующего множества функций формы осуществляется с помощью условных операторов 1Р, устанавливающих тип и порядок эле мента. [c.314]

Для вычисления характеристик элемента необходимо, во-первых, задать функцию формы и ее производные, а во-вторых, установить порядок интегрирования. [c.173]

Подпрограмма вычисления значений локальных производных от функций форм двухмерного четырехугольного конечного элемента [c.204]

Эта же форма сохранится и тогда, когда Х , Т,, будут частными производными по Х,, У,,, 2, функции и (Хр Ур 2 ,. ... ... х , у , 2 , ), явно содержащей время. В этом можно убедиться, производя такие же вычисления. [c.281]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Уравнение (7.122) в частных производных позволяет определить искомые передаточные функции. Однако такая форма выражения динамических свойств мало пригодна для использования при анализе систем регулирования. Поэтому на основании частных решений уравнения (7.122) будут найдены частотные характеристики и передаточные функции для отдельных случаев, представляющих практический интерес. При решении уравнений используется метод преобразования Лапласа. Ниже в общих чертах без деталей будет рассмотрен только ход решения уравнений, а громоздкие промежуточные вычисления будут опущены. В качестве исходных приняты уравнения (7.120) и (7.121). [c.171]

Таким образом, форма первого дифференциала не зависит от того, является ли х независимой переменной или функцией другой переменной t. Это свойство позволяет при практических вычислениях, включающих только первые дифференциалы, использовать правила дифференцирования и таблицу производных без учета того, является ли х независимой или зависимой переменной, осмысливая последнее только в окончательном результате. [c.95]

Чётные производные волновой функции данной энергии. До этого момента вычисления были точными. Однако в такой форме выраже- [c.157]

После вычисления частных производных от Е необходимо при помощи (13) из правых частей уравнений (14) исключить /. Уравнения (14) не обладают канонической формой. После того как система (14) проинтегрирована, величина I находится как функция времени посредством квадратур пз уравнения [c.228]

Использование формулы (43) осложнено необходимостью вычисления в точке А(хд уд) производных вида у (х) функции у=у(х) одной переменной, заданной в явной форме, тогда как кривые сечения [c.535]

Подпрограммы формирования параметров для численного интегрирования по методу Гаусса, вычисления значений функций форм и их локальных и глобальных производных для двухмерных четырехугольных и трехмерных шестигранных конечных элементов первого и второго порядка и формирования масивов NPD и NPA [c.203]

Подпрограмма вычисления значения Г ал >ИЫХ производных функций форм для произвольного конмногй элемента [c.204]

Самым большим практическим преимуществом универсальных подпрограмм вычисления функции формы является возможность их проверки с помощью простой программы. Обычно достаточно проверить, правильно ли вычисляются узловые значения и производные. Проверка осуществляется по простым ко-нечно-разностиым формулам после вычисления по подпрограмме значений функций в двух близлежащих точках. Иногда используются и другие тесты. Самый интересный из них связан с вычислением собственных значений, но использование его неэкономично [4], [c.174]

Воспользуемся выражением для первой вариации 61 в форме (2.21), но в качестве контрольного контура выберем аЛЬ, как это было сделано в 3.2.4. При выводе выражения (2.33) было установлено, что вариация I за счет перемещения точки к по направлению характеристики второго семейства равна нулю. Это объясняется тем, что в силу непрерывности функций в точке к имеет место равенство Фье = Фм- Характеристика ак является линией разрыва производных от функций а(х,у), в х,у). Поэтому и производные от Ф е и Фнь на ак не совпадают. Имея ввиду вычисление второй вариации, включим в выражение для 61 и член с 6ул2 В этом случае будем иметь [c.108]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Задача имеет следующую особенность. Параметры, описывающие физико-механические и геометрические характеристики пластины, перфорированной системой отверстий, являются разрывньщи функциями координат. Вводится сплошная модель пластины, изгибная жесткость которой рассматривается как переменная функция координат. Переход к сплошной модели оказывается возможным благодаря применению импульсивных функций нулевого порядка. Поведение такой модели пластины с отверстиями изучается на основе дифференциального уравнения равновесия в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами для пластин с неоднородной жесткостью. Решение уравнения находится с помощью метода Бубнова. Для критического усилия сдвига йолучено решение в замкнутом виде (в виде окончательной зависимости), позволяющее находить его числовые значения для различных вариантов пластин. Для осуществления процедуры вычисления критического усилия сдвига на ЭВМ при различных форме выреза, числе вырезов и положении центра отверстий разработана программа. [c.297]

Форма решения (3.4), имеющая вид произведения экспоненты на функцию Эйри, аргументами которых являются бесконечные ряды по степеням (о 7з, и основные вычисления первых четырех параграфов главы взяты из статьи В. С. Булдырева [4]. В асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений прообраз рядов (3.4) был предложен Черри [1]. Наряду с асимптотикой в форме Черри известна асимптотика в форме О л-в е р а [1] (сумма двух асимптотических рядов, из которых один умножен на функцию Эури, а другой — на ее производную). Форма Олвера позволила Р. Льюису и др. [1] получить интересные асимптотические разложения, из которых можно как частный случай вывести некоторые формулы 5 гл. 6. Построения этой работы во многом аналогичны построениям главы 2. Другие применения методики Олвера можно найти в работах И. В. Мухиной и И. А. Молоткова [1] и Н. Я. Кирпичниковой [1], посвященных теории упругих поверхностных волн [c.442]

Смысл кусочного тестирования состоит в следующем. Предположим, что пространство несогласованных базисных функций содержит все полиномы такого порядка г, какой имеет старшая производная в энергетическом функционале (в обозначениях гл. 5 Рл с Кп), и пусть граничные условия вдоль периметра п1)оизвольно взятой части элементов определены как значения произвольно взятого частного решения и Рг на этой линии. Тогда кусочное тестирование считается выполненным, если приближенное решение Ун, вычисленное по методу конечных элементов в форме Ритца без учета разрывов на границах между элементами, совпадает с м на рассматриваемой части элементов. Таким образом, кусочное тестирование-выполнено, если при и Рг [c.181]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что решение в форме (6.56) принципиально не требует вычисления вторых частвых про-иаводвых от навигационных функций по параметрам движения. В сравнении со способом решения в форме (6.52), где необходимо вычислять вторые частвые производные, в данном способе на каждом этапе решения необходимо учитывать статистические свойства ошибок оцениваемых значений параметров движения КА. Поэтому выбор конкретного способа решения зависит от тех требований, которые предъявляют к решению задачи определения движения КА в целом — требований по точности, по оперативности, по реализуемости на борту КА и т. д. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...