Производные функций формы

Как вычисляются производные функций формы при использовании криволинейных элементов [c.297]

Запишем производные функций формы по [c.256]

Вычисление производных функций формы [c.275]

Однако теперь функции формы в (4.37) определены в локальной системе координат в соответствии с соотношениями (4 29)—(4.31) или (4.28) и вычисление производных по глобальным координатам требует предварительных математических преобразований. Эти преобразования аналогичны тем, которые были проделаны ранее в случае одномерного элемента, и необходимы для установления связи между производными функций форм по глобальным координатам и производным тех же функций по локальным координатам. [c.76]

Связь межд производными функций форм по глобальным координатам в (4.63) и производными тех же функций по локальным координатам устанавливается точно так же, как при рассмотрении плоского элемента в предыдущем разделе. Следовательно, в данном случае справедливы соотношения (4.38)—(4.40), которые нужно отнести к цилиндрической системе координат. [c.84]

Компонентами блока матрицы градиентов (4.91) являются производные по глобальным координатам от функций форм, заданных в локальной системе координат. Следовательно, здесь также требуется выполнить весь комплекс преобразований, устанавливающих связь между производными функций форм по гло-92 [c.92]

Здесь преобразование производных функции форм по глобальным координатам в производные по локальным координатам осуществляется в соответствии с (4 38)—(4.40). [c.98]

Подпрограмма вычисления значений локальных производных функций форм трехмерного шестигранного конечного элемента [c.205]

Исследуем теперь квадратичную форму вторых частных производных функций N1 (х, х) в точке т = х = 1/2. Имеем [c.205]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Члены, стоящие в этих равенствах слева, суть частные производные функции 5, которую мистер Гамильтон назвал главной функцией движения притягивающихся или отталкивающихся систем. Он думает, что если математики изучат эту главную функцию 5 и эти группы уравнений (5) и (6), они должны будут оценить их значение. Из группы (5) определяют Зп промежуточных интегралов известных уравнений движения (4) в форме Зп отношений между временем I, массами т, варьированными координатами х, у, z, варьированными составляющими скорости х, у, 2 и Зп начальными константами а, Ь, с, в то время как группа (6) определяет Зп конечных интегралов тех же известных дифференциальных уравнений, как.Зл отношений с бл начальными и произвольными константами а, Ь, с, а, Ь, с между временем, массами и Зл варьированными координатами. Эти Зп промежуточных и Зл конечных интегралов разрешают проблему динамики. Математики же находят семь промежуточных и ни одного конечного интеграла. [c.285]

Вторые производные функций, определяющих форму колебаний стержня, выражаются через изгибающие моменты, полученные из уравнений (84) [c.132]

Сложность интегрирования выражения (13) при вычислении составляющей Jk W) проистекает нз того, что оно содержит вторые производные перемещений. Поскольку в 20-узловых конечных элементах перемещения аппроксимируются квадратичными функциями N , то для интерполяции пли экстраполяции деформаций и значений энергии следует применять линейные функции формы т1, S). Функция, заданная в восьми точках [c.373]

Рассмотрим, как записываются производные функции в точке О через значения функций в окружающих точках (рис. 3.6). Координаты точки О, так же как и точек 1. ..6, считаются известными. Воспользуемся уравнением (3.66) и запишем его в матричной форме для каждой точки i = 1. .. 6 [c.84]

Наконец, заметим, что реологическим уравнением состояния, содержащим производные коэффициентов формы по времени, можно придать (по крайней мере, формально) интегральную и многократные интегральные формы, рассмотренные выше, если допустить возможность включения в ядра производных от дельта-функции Дирака. В таких случаях, однако, могут не выполняться условия теоремы разложения, и с математической точки зрения, видимо, удобнее включить производные по времени явно, как это делают некоторые авторы. [c.233]

При решении задачи статики многослойных панелей общего вида методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационных формулировок смешанного типа (4.41), (4.42) требования к выбору функций формы остаются такими же, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто используются алгебраические полиномы, порядок которых должен обеспечивать требуемую гладкость функций и их производных. В МКЭ важным требованием к функциям формы является требование воспроизводить в элементе однородное напряженно-деформированное состояние и, в частности, описывать смещение элемента как жесткого целого. Наиболее распространенный способ удовлетворения указанным требованиям состоит в повышении порядка аппроксимирующих полиномов. При этом используются полиномы более высокого порядка, чем это требуется, исходя из структуры вариационных уравнений, что приводит к увеличению обобщенных степеней свободы конечного элемента. Применение смешанных вариационных формулировок позволяет с помощью независимой аппроксимации деформаций и перемещений улучшить свойства конечных элементов. [c.190]

Далее будут рассмотрены основные типы решеток, у которых коррекция аберраций достигается подбором оптимальной формы поверхности при заданном распределении штрихов или подбором распределения и формы штрихов при заданной форме решетки. Расчет параметров таких решеток основан на построении функции оптического пути (7.5) для каждой точки решетки при заданном расположении источника и его изображения. Составляющие аберраций в плоскости изображения, перпендикулярной к главному лучу, в направлении дисперсии Ьу и направлении высоты щели Ьг могут быть выражены через производные функции оптического пути У о помощью соотношений [74] (см. рис. 7.7) [c.262]

Сделав далее предположения о непрерывности всех четвертых производных функции Ф(г, 6>, t), содержащих дифференцирование дважды по любому аргументу, по аналогии с пЛ, получим, что = 1, Г = t + Р(< ,6>), где Р (р в) — произвольная функция, определяющая при t = О форму поверхности So [c.294]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Теперь можно изучить вопросы использования изопараметриче-ских элементов при построении матрицы жесткости элемента. Соотношения между деформациями и перемещениями имеют обычный вид е=[0] 4 , где деформации е относятся к декартовой системе координат х, у). Поэтому [О] содержит производные функций формы по декартовым координатам. Для плоского состояния имеем, согласно (5.22), [c.261]

Программа PNDNI (см. приложение) формирует для той же точки интегрирования двухмерный массив DNI, столбцами которого являются производные функций формы по локальным координатам. Структура массива DNI определена соотношением (4.40). В зависимости от значения параметра NPE массив DNI соответствует конечному элементу первого или второго порядка. [c.79]

Подпрограмма вычисления значения Г ал >ИЫХ производных функций форм для произвольного конмногй элемента [c.204]

Напишите подпрограмму, которая будет вычислять част-je производные функций формы по х п у. Зависимость х и у естественных координат считайте линейной, а для ф используй- выражение (15.11). Координаты ( , tj) точки, в которой вычис-1ЮТСЯ производные, должны вводиться в подпрограмму в качест- исходных данных. [c.311]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Выведем в комплексной форме выражение для главного вектора сил, действующих со стороны положительной нормали на некоторую кривую АВ (рис. 20), взятую внутри среды в плоскости деформации 0X1X2. Подставим в соотношении (6.12) формулы (6.24), выражающие компоненты тензора напряжений через производные функции Эри, и учтем, что [c.122]

Из сказанного мы заключаем, что вопрос о форме равновесия свободной нити решается при помощи четырёх дифференциальных уравнений (37.14) и (37.19), заключающих в себе четыре неизвестные функции от s, а именно, X, у, Z i I. Уравнения эти второго порядка относительно X, у, Z и пе рвого относительно X. Кроме того, между первыми производными функций X, у, 2 по S мы имгем соотношение (37.19), свободное от всяких произвольных постоянных. Следовательно, число произвольных постоянных в самом общем решении рассматриваемых уравнений должно равняться шести т. е. интегралы будут иметь вид [c.400]

Вместо принципа наименьшего действия можно подставить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нудь и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченным, вероятно потому, что здесь вместе с исчезновением ва,риации вообще не получается минимум, как вто имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся им для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранлг в аналитической механике. Пусть, прежде всего, силы Y,, будут частными производными функции Щ далее пусть Т будет половина живой силы, т. е. [c.51]

Решение задачи о минимизации среднеинтегральных ускорений ведомого звена для случая установившегося неравно-кернрго вращения ведущего звена позволяет получить минимум максимальной скорости ведомого звена при симметричной относительно середины рассматриваемого интервала скорости ведущего звена. В частности, при равномерном вращении ве- дущего звена оптимальная передаточная функция является симметричной квадратичной параболой. Это решение, полученное интегрированием дифференциального уравнения Эйлера, обеспечивает движение без жестких ударов. Однако использование точных методов не дает возможности удовлетворить дополнительным граничным условиям, которые могут оказаться важными в некоторых случаях. Оптимальный закон движе ния, полученный в 1 этой главы, имел разрыв непрерывности второй производной функции положения в граничных точках рассматриваемого интервала, что приводило бы к мягким ударам в работе механизма в этих точках. В настоящем параграфе задача об определении оптимальной передаточной функции механизмов из условия минимума среднеинтегральных ускорений ведомого звена в классе функций, обеспечивающих движение как без жестких , так и без мягких ударов, решается методом Ритца. При этом скорость ведущего звена принимается постоянной. В данной задаче для закона движения механизма используем форму инвариантов подобия. Вы- [c.29]

Оба рассмотренных примера не обеспечивают непрерывность первых производных при переходе через границу конечного элемента, но часто применяются на практике. Согласованные формы (обеспечивающие непрерывность производных) требуют привлечения неполиномиальных функций формы. [c.284]

Известен закон преобразования координат ( , г], ) х, у, г) и заданы функции формы Ni(l, 1], С ). Вычислять производные dNi/dx, dNildy, dNijdz. [c.227]

Здесь а — некоторая скалярная функция, символ [/ф] соответствует в случае слабого разрыва разности выводящих производных функции /, взятых с двух сторон разрыва (в случае примыкания к покою [/ф] = /ф в возмущенном течении). В случае же нор мальной детонационной волны будем различать две возможности. Вначале рассмотрим случай, когда производные функций щ и с на фронте волны конечны (этот случай не основной — течения такого рода могут осуществляться лишь за плоскими детонационными волнами). Положим [/ф] = Дф /2ф, где Дф и Дф — выводящие производные, соответствующие двум произвольным течениям за детонационной волной при задан ной ее форме. Скачки [/ф] для основных функций удовлетворяют (2.6), и рассмотрение нормальной детонации в случае конечности производных производится аналогично случаю слабого разрыва. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...