Математика квантовой механики

Математика квантовой механики [c.100]

Теоретическая механика как наука начала развиваться в глубокой древности [45, 65]. Изучая такие фундаментальные свойства, как законы движения и равновесия материальных тел, она имеет огромное практическое значение и лежит в основе современного естествознания. Отвечая потребностям научно-технического прогресса, она постоянно развивается, совершенствуя существующие и разрабатывая новые методы исследований. Будучи тесно связанной со многими естественными науками (математика, теория относительности, квантовая механика, механика сплошной среды, электротехника, теория машин и механизмов и др.), теоретическая механика не только привносит в них свои результаты, но и заимствует от них новые знания, постановки задач, подходы к решению проблем. [c.9]

Физика твердого тела в настоящее время — это обширная область науки, тесно связанная с другими разделами физики и смежными дисциплинами. В недрах физики твердого тела и на ее стыках с химией, биологией, геологией, механикой, математикой, атомной и ядерной физикой, радиофизикой, физикой космоса, техникой возникли и стремительно развиваются химия твердого тела, молекулярная биология, радиационная физика твердого тела, твердотельная электроника, космическое материаловедение, физика полупроводников, физическое материаловедение, физика и техника низких температур, физика магнитных пленок и т. д. Эти области столь близко соприкасаются с физикой твердого тела, что знание основ последней необходимо каждому специалисту, активно работающему во всех перечисленных направлениях. Следует добавить, что синтез физики твердого тела и теоретической физики привел к созданию теории твердого тела, опирающейся на современные достижения квантовой механики, статистической физики, теории поля и широко использующей быстродействующие ЭВМ для проведения многочисленных трудоемких расчетов и численного моделирования различных явлений в твердых телах. Многие достижения физики твердого тела нашли непосредственный выход в практику. Результатом оказалось создание новых типов материалов с уникальными характеристиками и даже целых отраслей техники. [c.5]

Эта странность не нарушает наших общих построений. Как видно из изложенного, пространство uv является чисто математической конструкцией, созданной только для того, чтобы установить соответствие между определенными классами квадратных матриц третьего и второго порядка. Нельзя поэтому требовать или ожидать, чтобы такое пространство имело свойства, подобные свойствам физического трехмерного пространства. Нужно заметить, что изучению свойств пространства uv математики уделяли значительное внимание двумерный комплексный вектор, построенный в этом пространстве, называют спинором. Оказывается, что в квантовой механике спинорное пространство несколько больше соответствует физической действительности поэтому, чтобы учесть влияние спина электрона, нужно его волновую функцию или часть ее представить в виде спинора. Действительно, половинные углы и свойство двузначности внутренне связаны с тем фактом, что спин полуцелый ). Впрочем, дальнейшее изложение этого вопроса увело бы нас слишком далеко от классической механики. [c.135]

Нек-рые из этих решений имеют самостоят. значение и используются в квантовой механике, теории представлений групп, вычислит, математике, теории вероятностей. [c.473]

С одной стороны, наука о металлах обязана учитывать насущные вопросы практики — поставлять материалы, удовлетворяющие необычайно высоким и разнообразным требованиям машиностроения и новых отраслей техники. Условия эксплуатации деталей машин и приборов делают эту задачу весьма сложной. Металловедение не может пока отказаться от многих чисто эмпирических приемов, на основе которых даются практические рекомендации, хотя для этого приходится проводить трудоемкие и длительные эксперименты. С другой стороны, в металловедение в настоящее время весьма интенсивно внедряются новые физические представления и физические методы исследования, сильно обогащающие науку о металлах. В частности, необычайно расширяются возможности исследования металлов благодаря применению ядерных излучений, резонансных методов, дифракционного анализа и т. д. для выяснения атомного механизма явлений привлекаются представления квантовой механики, статистической физики, теории поля, термодинамики необратимых процессов и др. Можно ожидать нового серьезного шага вперед в связи с проникновением в металловедение математики, использованием методов математического планирования эксперимента, внедрением вычислительной техники. [c.5]

Наиболее ценной особенностью книги является то, что она представляет собой редко встречающееся сочетание написанной на высоком уровне научной монографии и учебного пособия. Как и многие другие солидные книги, оиа носит скромное название Введение . Ч. II охватывает широкий круг проблем квантовой механики, квантовой электродинамики, квантовой электроники, статистической физики, физики твердого тела, линейной и нелинейной оптики. В книге содержатся необходимые для понимания физической сущности рассматриваемых процессов сведения по теории вероятностей, операционному исчислению и некоторым другим разделам математики, [c.5]

Спектральный анали. операторов, в первую очередь самосопряженных, находит многочисленные применения в теории колебаний, теории стационарных случайных процессов, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнениях, теории спец. функций п др. областях математики и математической физики. [c.6]

О. ф. находят широкое применение в квантовой механике, квантовой теории поля, теории диф( ю])ен-циальных ур-ний и др. областях физики и математики. В частности, Н. Н. Боголюбов и его сотрудники исследовали вопрос о применении преобразований Фурье О. ф). к теории дисперсионных соотношений квантовой теории поля. [c.462]

Значительная часть книги посвящена вариационным принципам и аналитической динамике. Характеризуя аналитическую динамику в своих Лекциях о развитии математики в XIX столетии , Ф. Клейн писал, что физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего . Развитие науки в последующие годы решительно опровергло зто замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механики, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналитической динамики. [c.9]

Для понимания книги требуется знание основных положений математики, электродинамики, квантовой механики и статистической физики, даваемых на физических факультетах университетов и на факультетах технических учебных заведений с повышенной программой по физике. Надо, конечно, не столько все помнить, как не бояться заглянуть в соответствующий учебник. [c.8]

Анри Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, физик и философ, который был свидетелем как великого века классической механики, так и века революционных идей теории относительности и квантовой механики. Работа в области небесной механики привела его к вопросам динамической устойчивости и задаче нахождения точных математических выражений для описания динамической эволюции сложных систем. В процессе этих исследований он открыл метод сечений , ныне известный как сечение, или отображение, Пуанкаре. [c.12]

Второй из авторов, учась на мехмате, серьезно считал, и думаю, что Вы сейчас также считаете, что излагать квантовую механику математикам нужно как аксиоматическую систему. Такой подход, с точки зрения второго из авторов, предельно последовательно осуществлен в [ФЯ] (см. также [ФН]). [c.94]

Асимптотические методы в теории волновых явлений еще далеко себя не исчерпали, и мы надеемся, что приемы, изло-л енные в книге, помогут решить ряд новых интересных задач в акустике, геофизике, радиофизике и, может быть, в квантовой механике. С другой стороны, книга может оказаться полезной математику, интересующемуся современными проблемами математической физики. [c.6]

Основная цель книги состоит в том, чтобы последовательно изложить основные положения современной физической статистики и ряд ее применений для читателя, имеющего минимальный необходимый для понимания запас знаний по математике и основам квантовой механики. Фактически от читателя требуется лишь знакомство с элементарными волновыми свойствами свободных частиц и умение проводить простейшие операции дифференцирования и интегрирования. Реально это уровень знаний, который имеют студенты университетов и физико-технических вузов уже к концу изучения курса общей физики. [c.7]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Зачем же нам понадобилась обходная конструкция с сопряженным пространством Дело в том, что, казалось бы излишняя с точки зрения математики, она совершенно естественна физически. При сопоставлении квантовой механики с опытом состояния выступают как бы в двух ипостасях — с точки зрения их наблюдения и с точки зрения их приготовления . Этим двум сторонам физического проявления состояний как нельзя лучше отвечает двойная математическая модель бра-и кет-векторов, связанных соответствием (11). Следует еще подчеркнуть, что физически описание с помощью бра- и кет-векто- [c.335]

Итак, физика в отличие от математики имеет дело с материальными структурами. Лишь на определенном этапе изучения они заменяются математическими моделями. Из истории науки известно, что потребности физики побуждали к развитию целые математические отрасли (например, дифференциального и интегрального исчисления в связи с задачами механики). В свою очередь физика находила в математике готовый математический аппарат (например, теория линейных самосопряженных операторов в квантовой механике, теория групп). [c.10]

Именно эти соображения заставили нас в предлагаемой книге ограничиться рассмотрением классических систем, совершенно оставляя в стороне все, что относится к квантовой физике, хотя все развиваемые нами методы с соответствующими изменениями без всяких трудностей могли бы себе найти применение и к квантовым системам. Мы выбрали классические системы, главным образом, потому, что наша книга предназначена, в первую очередь, для читателя-математика, у которого мы не всегда можем предполагать достаточное знакомство с основами квантовой механики включать же краткое изложение этих основ в предлагаемую книгу мы сочли нецелесообразным, потому что такое включение, весьма значительно увеличив размеры книги, все же не достигло бы, по нашему убеждению намеченной цели квантовая механика, с ее своеобразными, во многом противоречащими всем классическим представлениям идеями не может быть сколько-нибудь прочно усвоена в таком ad ho изучаемом кратком изложении. [c.8]

Во второй главе построены точные уравнения для одночастичной функции Грина и усреднённого поля деформаций. Одночастичный массовый оператор и связанный с ним эффективный тензор модулей упругости определяется амплитудой рассеяния вперёд продольных и поперечных волн на случайных неоднородностях. Хотя диаграммная техника наилучшим способом приспособлена для расчета эффективных транспортных и упругих параметров среды с учётом многократного рассеяния волн на сильных флуктуациях, эта задача нас здесь интересовать не будет. Мы хотели привлечь внимание математиков, физиков-теоретиков - специалистов по квантовой механике и студентов к проблемам геофизики. Поэтому в этой и следующих главах мы подробно излагаем диаграммную технику в применении к геофизическим задачам. Кроме того, мы посвятили один параграф квантовому подходу к теории упругого поля. Этот подход позволяет понять, как возникает необратимость при описании поля в случайно неоднородной среде обратимыми во времени уравнениями и отменить все дополнительные правила отбора решений и обхода полюсов. Эта проблема обсуждается известными физиками Б.Б. Кадомцевым [6], [c.40]

Однако в общем случае приходится использовать методы теории возмущений для приближенного вычисления винеровских интегралов. Последние широко используются не только в теории брауновского движения, но и (с некоторыми изменениями) в квантовой статистической физике, в физике полимеров, в квантовой механике (фейнмановские интегралы по траекториям) и в ряде других областей физики и математики. [c.95]

В рамках К. х., наряду с традиц. расчётами геом. и электронной структуры молеку.т, развиваются квантовая теория полимерных молекул, движения ядер в ходе хим. реакции, теория фотово буждепил и т. п. Успешное развитие методов К. х. во многом зависит от развития методов квантовой механики, квантовой теории ноля и статистич. физики, методов вычислит, математики. [c.311]

Использование теоретико-ыножеств. конструкций в физике, как правило, опосредованно и происходит в оси. через такие матем. дисциплины, как функциональный анализ, динамич. системы, теория групп, топология, алгебраич. геометрия, нестандартный анализ и др. Классич. пример — формализация делъта-функ-ции Дирака б(х), к-рую физик представляет, напр., как точечную единичную массу бесконечной плотности, а математик — как отображение М. финитных ф-ций на прямую, т. е. функционал на пространстве финитных ф-ций. Др. пример — это моделирование эл.-магн. поля или поля Янга — Миллса как связностей на специальных геом. объектах (расслоениях), заданных парой пространств Е и М в отображением f Е М, если М модель пространства-времени, а f 4m) — пространство внутр. состояний точки т М. Такой подход является существ, шагом в единой теории поля. Многообещающим выглядит использование нестандартного анализа для нового построения квантовой механики л статистич. физики, где формализуются, напр., такие фиэ. конструкции, как бесконечные флуктуации поля в бесконечно малой области. [c.171]

Предлагаемая книга рассчитана на студентов, приступающих к изучению теоретического курса термодинамики, статистической физики и кинетики. В соответствии с этим предполагается, что читатель имеет достаточные знания по общей физике, высщей математике и квантовой механике. Более трудные параграфы, требующие от читателя больщей подготовки, отмечены звездочкой и могут быть опущены при первом чтении. [c.8]

Причина столь резких высказываний связана с тем, что квантовая механика в течение длительного времени развивалась без привлечения подходов физики. Можно сказать, что И. Пригожин открыл дверь из тюрьмы. Квантовая теория И. Пригожина базируется на междисциплинарном подходе к анализу сложных систем микромира, включающем рассмотрение эволюции систем на основе объединения достижений неравновесной термодинамики (неравновесные физико-химические процессы), физики (механизм необратимости процесса), математики (условия интегрируемости и не интегрируемости функций), механики (нелинейный резонанс) и др. Это позволило дать единую формулировку квантовой теории, с учетом того, что как в классической, так и в квантовой механике, существуют описания на уровнях траекторий, волновых функций или статических распределений (распределение вероятности). Когда речь идет о том, что система находится в определенном состоянии, с точки зрения классической механики, это состояние отвечает точке в фазовом пространстве, а в квантовой теории - это волновая функция. В перовом случае мы имеем дело с макромиром, а во втором -с микромиром (наномиром), для которого каждому значению энергии частицы соответствует определенная частота колебаний (о [c.66]

Завалищин Станислав Тимофеевич, доктор физико-математиче-ских наук, профессор. Заведующий сектором нелинейного анализа Института математики и механики УрО РАН. Известный специалист в области управления движением систем с импульсной структурой. Разработал новый подход к построению общей теории линейных систем, опирающийся на аппарат обобщенных функций построил теорию аналитического конструирования импульсных регуляторов, основанную на новом понятии импульсного синтеза и импульсно-скользяще-го режима. Разработал теорию динамических систем с умножением импульсных воздействий на разрывные реализации функций фазовых координат. На этой основе исследовал класс нерегулярных задач оптимизации Лагранжа и решил ряд актуальных оптимизационных задач квантовой механики, динамики летательных аппаратов, механики космических полетов, имеющих оптимальные импульсные решения. Ряд из этих результатов нашел применение в опытно-конструкторских изысканиях по созданию новой техники. В последнее время развивал новое научное направление, связанное с энергетической оптимизацией движения тел и мобильных манипуляционных систем в вязкой среде. [c.223]

В предыдущих главах мы обсуждали квазиклассическую технику эасчётов в квантовой механике и продемонстрировали различные приложения этого подхода. В частности, мы показали, что осцилляции энергетических распределений сжатых состояний, скрытые непрозрачной завесой математики, отчётливо видны, если воспользоваться анализом ВКБ. В данной главе мы продемонстрируем ещё одно приложение квазиклассических методов — проанализируем динамику волновых пакетов. [c.266]

Своеобразные свойства Э. ч. могут быть истолкованы только с привлечением понятий относительности теории II квантовой механики. Э. ч. — иринцн-пиально квантовомехаинч. объект. Релятивистская квантовая механика лежит в основе совр. теорнн Э. ч. В аппарате совр. методов исследования Э. ч. важную роль играет специальный отдел математики — теория групп, к-рая позволяет весьма полно изучить свойства симметрии Э. ч. (см. ниже). [c.522]

Подобная коротковолновая асимптотика существует для решений многих уравнений математической физики, описывающих всевозможные волновые процессы. При этом в разных областях физики и математики ее связывают с различньши именами. Например, в квантовой механике коротковолновая асимптотика называется квазиклассическим приближением, а ее отыскание — методом ВКБДж (Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна, Джефриса), хотя гораздо раньше этим приближением пользовались, например, Лиувилль, Грин, Стокс и Релей. [c.407]

В настоящем приложении приводится сводка основных свойств дельтафункции - ), которая оказалась полезной при описании точечных источников, точечных зарядов и т. д. Эга функция, используемая особенно часто как в квантовой механике, так и в классической прикладной математике, определяется с помощью следующих уравнений [c.694]

Перечисленные нами свойства наделяют множество я (91) структурой, известной в математике под названием действительной коммутативной йордановой алгебры (или алгебры Иордана) ). закон композиции которой в нашем случае реализуется сложением, умножением на действительные числа и взятием симметризованного произведения. Как мы уже видели, структура такой алгебры позволяет определить понятие совместности наблюдаемых. Возникает естественный вопрос нельзя ли перенести структуру йордановой алгебры на само множество 91 Если бы это было возможно, то у нас имелись бы все основания утверждать, что нам удалось провести алгебраическую аксиоматизацию квантовой механики, не прибегая к фундаментальному постулату о гильбертовом пространстве. Заметим, что множество всех наблюдаемых квантовой системы, подчиняющейся правилам суперотбора ), также удовлетворяет всем названным нами аксиомам, но при этом не предполагается, что обратное утверждение постулата 1 справедливо в общем случае. Правило суперотбора сводится к тому, что из соотношения [c.53]

Книга представляет собой краткое изложение начал теоретической физики механики, теории поля, квантовой механики. Главное внимание уделяется при этом логически последовательному наложению узловых фундаментальных вопросов с современной точки зрения. Книга будет полезна всем изучающим теоретическую физику, ио не обязательно выбравшим ее своей основной специальностью студентам физтехов, физикам-экспернментаторам, а также интересующимся физикой инженерам, математикам, химикам, биологам и др. Книга даст также возможность лицам, получившим физическое образование в предыдущие десятилетия, получить представление о современном состоянии пауки. [c.2]

Последующие два-три года были героическим временем квантовой механики, периодом, в ходе которого она приняла фактически уже современную форму. В этой работе чрезвычайно велика была опять-таки роль Нильса БОРА, который нашел правильную (вероятностную) физическую интерпретацию теории, в частности вопросов, связанных с процедурой измерения, а также роль Поля Адриана Мориса ДИРАКА, придавшего математической форме теории весьма законченный и элегантный вид (с точки зрения физйка, а не математика). [c.327]

Кроме курса высшей математики Мария Ивановна читала спецкурс по применению теории групп в квантовой механике. Как известно, основные принципы использования аппарата теории групп в квантовой механике были сформулированы почти одновременно с рождением этой области физики, в начале 30-х годов, когда вышли монографии Г. Вейля и Е. Вигнера. Однако даже в начале 50-х годов этот метод не получил еще достаточно широкого распространения среди наших физиков-теоретиков, хотя в курсе квантовой механики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, первое издание которого появилось в 1948 г., вопросам теории симметрии было уделено уже достаточно много места. Книги Вейля и Вигнера были переведены на русский язьпс значительно позже. [c.3]

В своих знаменитых работах 1824—1828 гг., представленных Ирландской Академии наук, Гамильтон, решая проблему оптики о распространении света в оптически неоднородных и неизотропных средах, пришел к уравнениям, впоследствии получившим название уравнений Гамильтона, или, по предложению Якоби, канонических уравнений. Удивительна судьба этих уравнений. Сам Гамильтон показал, что канонические уравнения могут быть с успехом использованы и в аналитической механике. Позже уравнения Гамильтона были применены в электронной оптике для описания движения заряженных частиц в электромагнитных полях. Развитие квантовой механики привело к созданию уравнений, совпадающих по форме с классическими уравнениями Гамильтона (Гайзенберг). Уравнения Гамильтона используются в различных областях механики и математики в небесной механике, в теории управления, в теории устойчивости движения, в теории нелинейных колебаний и т. д. [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...