Уравнения с периодической правой частью

Уравнения с периодической правой частью [c.108]

В этом параграфе рассматриваются уравнения с периодической правой частью в окрестности постоянного решения, г именно, уравнения вида [c.108]

В 9 рассматриваются уравнения первого порядка. Формулируются некоторые общие теоремы о расположении интегральных кривых таких уравнений. Большая часть параграфа посвящена изучению уравнения с полиномиальной правой частью. Для такого уравнения весьма подробно изучается вопрос о возможном числе периодических решений. Дается ряд условий, достаточных для того, чтобы число периодических решений не превышало степени полинома, стоящего в правой части. [c.6]

С периодическими правыми частями. Например, уравнение (1) можно записать в виде системы [c.103]

Подставляя выражения для у, у и /(у, у) в исходное уравнение (9.2) и приравнивая нулю сумму коэффициентов при членах, подобных относительно р,, и л, мы получим систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и с периодической правой частью. Число этих уравнений зависит от того, до какого порядка малости мы будем вести разложение рядов. Если при разложении и подстановке ограничимся только членами не выше второго порядка малости, то мы получим шесть уравнений, определяюш,их шесть функций А, В, С, [c.695]

Обратимся к случаю г = д тогда краевая задача сводит ся к нахождению -периодической функции в Ц, удовлетво ряющей уравнению (4.17) с -периодической правой частью Для разрешимости этой задачи необходимо и достаточно, чтобы [c.255]

Основной факт, устанавливаемый теоремой Пуанкаре, заключается в том, что возможные в квазилинейных системах при достаточно малом ц периодические движения располагаются вблизи периодических движений соответствующих линейных систем, в которые они обращаются при ц = 0. В связи с этим линейная система, получаемая из квазилинейной при ц = О, и ее периодические решения, вблизи которых возникают периодические решения квазилинейной, называются по отношению к последней порождающими. В применениях теоремы Пуанкаре приходится иметь дело с двумя видами порождающих систем и решений и соответственно с двумя методами построения периодических решений квазилинейных систем. Первый относится к случаю, когда порождающие уравнения являются уравнениями вынужденных колебаний с периодической правой частью, явно зависящей от времени, периодическое решение которых не содержит никаких произвольных параметров. Большей частью это порождающее решение будет единственным периодическим решением порождающей системы, вблизи которого расположится единственное периодическое решение квазилинейной системы, непрерывно переходящее в порождающее, когда ц 0. Так будет, например, в квазилинейной системе с уравнением [c.525]

Решая дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (4.69) при периодической правой части, находим v (см. п. 7). После последовательной подстановки v в (4.68) и (4.59) получаем окончательный вид приближенного решения для уста-. новившегося режима [c.158]

Даже в простейшем случае системы двух неавтономных дифференциальных уравнений с периодическими относительно t правыми частями [c.18]

Уравнения (48) не совсем равносильны уравнениям (44), поскольку исчез параметр и. Однако эти новые уравнения однородны, если не обращать внимания на присутствие С в правой части уравнения (48а). Поэтому, если X (т), У (т) есть решение при С = Со, то кХ (т), к (т) при произвольном к будет решением при С = к С . Поэтому соответствующая процедура состоит в получении периодического решения уравнений (48) для любого подходящего значения 6 и в использовании затем любого из трех уравнений (44а), (446) или (47) для определения численного значения к для конкретной спутниковой проблемы. Это равносильно утверждению, что для любого наперед заданного значения параметра т все сведении об этом периодическом решении, за исключением размеров орбиты, получаются из уравнения (48). Чтобы определить размеры, необходимо прибегнуть к помощи уравнения, содержащего и. [c.294]

Пуанкаре распространил свой метод и на общий случай, когда правые части дифференциальных уравнений зависят явно от i при этом правые части должны быть, однако, периодическими функциями t. Предполагается, что существует периодическое решение с тем же самым периодом легко показать на примерах, что аналогично подсчитываемый определитель по крайней мере не всегда равен нулю. Последнее правдоподобно, так как для обоснования равенства нулю определителя существенную роль у нас играла стационарность потока. Мы не будем больше здесь и далее углубляться в важные и интересные вопросы, связанные с теорией дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Большую часть известных методов и результатов этой теории можно истолковать с помощью рассмотренных нами стационарных потоков кроме того, при начальном рассмотрении не решенной еще задачи следует ограничиваться разбором простых нетривиальных случаев. [c.193]

Доказанная теорема дает полное описание всех движений, целиком находящихся в достаточно малой окрестности гомоклинической структуры. Совокупность этих движений достаточно сложна. При достаточной малости окрестности б гомоклинической структуры все эти движения седлового типа. Среди них бесчисленное множество пе зио-дических движений, отвечающих всевозможным периодическим последовательностям вида (7.80), асимптотических к этим периодическим, устойчивых по Пуассону непериодических. Несмотря на необычайную сложность этого множества движений оно не изменяет своей структуры при малых гладких возмущениях правых частей дифференциальных уравнений, поскольку его описание с помощью [c.324]

Это — уравнение того же типа, что и уравнение вынужденных колебаний, причем наличие в правой части члена Ц os 0 с частотой, равной частоте собственных колебаний, приведет, как это было показано в 96, к появлению в общем решении выражений, содержащих время 0 множителем при тригонометрической функции. Как уже ранее было указано, функция 2(0) является периодической функцией с периодом 2я следовательно, множитель х, должен быть равным нулю. Воспользовавшись этим, проинтегрируем последнее уравнение и получим периодическое выражение для г [c.507]

Система линейных уравнений (10.22) решается последовав тельно, начиная с первого уравнения, которое совпадает с порождающим уравнением, При решении каждого из уравнений отыскиваются только периодические решения одним из указанных ранее способов. Возможные периоды решений могут быть лишь равными или кратными периоду правой части. [c.197]

Принимая во внимание выражение для Ео (28), мы видим, что все члены функции являются периодическими с периодом 2 я, за исключением лишь того, который происходит от члена с os 6 в правой части уравнения (30) точнее, имеем [c.185]

Правая часть уравнения показывает, что при О < а С 1/2 мы имеем по координате х либрацию и траекторией в плоскости ху является замкнутая кривая. Движение в этом случае является периодическим переменная х совершает колебания в пределах я > z > —Ъ Ь > 0), причем я и Ь связаны между собой соотношением [c.381]

В правых частях этих линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами содержатся периодические функции времени, которые в дальнейшем будут называться возмущениями. Функции [c.80]

Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами, отличающееся от уравнения (1.3) наличием периодической функции времени в его правой части. [c.26]

Возвращаясь к уравнению (4.50), видим, что частота р возбуждающей функции в его правой части совпадает с частотой периодического коэффициента и равна 2. Следовательно, условие резонанса принимает вид [c.153]

Принципиальное решение указанных задач дает теория А. Пуанкаре. Им было, в частности, показано, что соответствие между решениями систем (40) и (41) имеет место не всегда. В зависимости от характера правых частей уравнений (40) может оказаться, что периодическому решению порох<дающей системы (41) не соответствует периодическое решение исходной системы (40). С другой стороны, возможны случаи, когда решению порождающей системы отвечает несколько и даже бесчисленное множество периодических решений исходной системы. Именно эти особые случаи представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний. [c.52]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

Переходя к определению периодического решения второго уравнения (11), линеаризируем предварительно его правую часть по )з и после упрощений с учетом равенства (3) приведем к безразмерной форме [c.244]

Уравнения (1.5) и (1.6) вместе с начальными распределениями и граничными условиями, например для на левом и для J на правом концах трубы, полностью определяют течение. В отличие от линейного (акустического) приближения при I X начальные распределения забываются , и периодические граничные условия вырабатывают решение, периодическое по 1. Анализ значительно упрощается, если взаимодействие волн, бегущих в разных направлениях, оказывается несущественным, что позволяет пренебречь в правых частях (1.5) и (1.6) слагаемыми с множителем (3 — х). Тогда С - и (7 -характеристики заменятся прямыми [c.288]

Выражения (29) представляют собой решение уравнения Ван-дер-Поля с медленно изменяющейся амплитудой, и, конечно, в общем случае они не являются периодическими по t, однако система (15) удобна и для- отыскания равновесных решений. Действительно, приравнивая правую часть первого уравнения (15) нулю, будем иметь [c.67]

Среди нелинейных систем особое место занимают автоколебательные системы. Термины автоколебания и автоколебательные системы предложены более 50 лет тому назад А. А. Андроновым. Явление автоколебаний проявляется в самых разнообразных формах, таких, как, например, свист телеграфных проводов, скрип открываемой двери, звучание человеческого голоса или смычковых и духовых музыкальных инструментов. Автоколебательными системами являются часы, ламповые генераторы электромагнитных колебаний, паровые машины и двигатели внутреннего сгорания, словом, все реальные системы, которые способны соверщать незатухающие колебания при отсутствии периодических воздействий извне. (Слово реальные здесь означает, что исключается идеализированный случай, когда система не обладает трением.) Характерные свойства автоколебательных систем обусловлены нелинейностью дифференциальных уравнений, которые описывают поведение таки с систем. Правые части этих дифференциальных уравнений обычно содержат нелинейные функции фазовых переменных л . На рис. 1.1 —1.4 приведены графики функций, которые отражают типовые нелинейности, встречающиеся при рассмотрении многих механических и электрических автоколебательных систем. Характеристика силы сухого (кулоновского) трения имеет вид, показанный на рис. 1.1, а, где у — относительная скорость трущихся [c.10]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Уравнение (2.3.8) — уравнение типа Хилла (с периодическими коэффициентами), в котором имеется периодическая правая часть. Если исключить просто интегрируемый случай Az =l, который, как будет показано ниже, является резонансным случаем, то уравнение (2.3.8) не интегрируется при ei O. Поэтому для решения уравнения (2.3.8) следует применять приближенные методы. При е< п удобно применить для решения уравнения метод Крылова — Боголюбова [19], взяв в качестве малого параметра эксцентриситет орбиты е. [c.73]

В приложениях (в частности, при исследовании устойчивости в целом нелинейных систем) иногда удается построить определенно-положительную функцию F, производная которой V является лишь отрицательной знакопостоянной функцией, но не определенно-отрицательной в то же-время возникают серьезные трудности при попытке построить функцию V с определенно-отрицательной производной. В подобных случаях весьма полезна следующая теорема, установленная сначала Е. А. Барбашиным и Н. Н. Красовским (1952), а также А. П. Тузовым (1955), для уравнений (1.1), правые части Xs которых не зависят от t, а затем распространенная Н. Н. Красовским (1959) на периодические системы. [c.24]

При этом до нашего столетия основным превалирующим математическим аппаратом, использовавшимся теорией колебаний, были линейные дифференциальные уравнения. Многие вопросы физики и техники связаны с такими линейными системами. Если говорить только об обыкновенных дифферешц1альных уравнениях, то основными уравнениями классической теории колебаний были линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и периодической право частью. С помощью этого [c.15]

Большинство задач теории вибрационного перемещения сводится к исследованию решший нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими по быстрому времени т = ю i правыми частями, для которых окорости изменения обобщенных координат имеют вид [c.198]

Уравнение (4-3.24) применимо, если предыстория G находится на очень малом расстоянии от предыстории покоя. Это справедливо на практике, если по крайней мере в не очень отдаленном прошлом модуль величины G был мал для любого значения s. Действительно, правая часть уравнения (4-3.24) является просто первым членом разложения в ряд интегралов, причем первый отброшенный член имеет второй порядок по модулю G (см. уравнение (4-3.25)). Следовательно, оценку О для периодических течений, используемых в реометрии, необходимо производить лишь с точностью до членов первого порядка по ее модулю, поскольку вклад в напряжение членов более высокого порядка не превышает вклада членов, обусловленных отброшенным интегралом. [c.173]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

Следовательно, остается рассмотреть уравнения (II.251а) — (II. 251Ь). Правые части этих уравнений — периодические функции с периодом 2я/п. Поэтому, чтобы получить уравнения первого приближения, достаточно разложить эти правые части в ряды Фурье и рассмотреть первые члены этих разложений. Эти члены будут правыми частями уравнений первого приближения. Получим [c.293]

Но по историческим и практическим причинам мы применим метод Виттенбауэра [215]. Пользуясо этим методом, мы наносим в системе прямоугольных координат X, у значение числителя дроби правой части уравнения (с) по оги у, а значение знаменателя—по оси X, и, следовательно, мгновенное значение углевой скорости со равняется квадратному корню из тангенса угла, образованного вектором точки, с1 ютветствующей данному значению ф, и осью X. Если числитель и знаменатель являются периодическими функциями угла ф, то точки, соответствующие различным углам поворота кривошипа q , образуют замкнутую кривую С иногда до- Фиг. 163 вольно сложной формы. Предельные значения угловой скорости ы определяются касательными и кривой С, проведенными через начало координат О (фиг. 163). Таким образом, получаем [c.366]

Поэтому, казалось бы, естественно поставить задачу виброакустической диагностики прямозубой передачи как задачу разделения виброакустического сигнала на ряд компонент, обусловленных различными факторами, каждый из которых является самостоятельным источником виброакустической активности. Конечно, такое разделение без всяких оговорок возможно-лишь в том случае, когда зубчатая передача может рассматриваться как линейная механическая система с постоянными параметрами [6—8]. При этом1 различным факторам, обусловливающим виброакустичность, соответствуют различные по структуре правые части системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих колебания передачи. Однако если необходимо учесть периодическое изменение жесткости зацепления в процессе пересопряжения зубьев (чередование интервалов однопарного и двупарного зацепления), то математическая модель передачи описывается системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [9—12]. Здесь уже принцип суперпозиции действует только при условии, что жесткость зацепления как функция времени не зависит от вида правых частей уравнений. Даже при этом условии можно разделить те факторы возбуждения вибраций, которые определяют правые части системы уравнений при известном законе изменения жесткости, но нельзя выделить составляющую виброакустического сигнала, обусловленную переменной жесткостью зацепления. Наконец, учет нелинейностей приводит к принципиальной невозможности непосредственного разложения виброакустического сигнала на сумму составляющих, порожденных различными факторами. Тем не менее оценить влияние каждого из этих факторов на вибро-акустический сигнал и выделить основные причины интенсивной вибрации можно и в нелинейной системе. Для этого следует подробно изучить поведение характеристик виброакустического сигнала при изменении каждого из порождающих вибрации факторов, причем для более полного описания каж- [c.44]

При 00 = О равенство (2.5) представляет собой асимптотику автомодельного решения при (р со и соответствует асимптотике, найденной в [5]. При действительных и отличных от нуля значениях оо выражение (2.5) можно рассматривать как суперпозицию двух периодических по переменной волн с волновыми векторами (2.3) и (2.4). Применим для определения направления распространения волны то же правило, что и для решений уравнений с постоянными коэффициентами (см., например, [7]), а именно будем считать, что направление распространения волны зависит от знака 1ш к при значениях оо с достаточно большими 1то . Тогда можно заключить, что первый член правой части (2.5) соответствует волне, распространяющейся при увеличении в отрицательном направлении (р а второй — волне, распространяющейся в положительном направлении (р. [c.623]

Таким образом, пол)гчили линейную систему 9-го порядка с периодическими коэффициентами. Рассмотрим частный случай, когда спутник движется по полярной круговой орбите (/ о = 90 ). В данном случае i = = Сз =0, поэтому боковое и тангажное движения спутника разделяются и могут быть изучены независимо. При этом в боковом движении имеют место только свободные колебания, так как правые части соответствующих уравнений равны нулю в плоскости тангажа имеют место вьшужд -ные колебания, так как С2 0. Движение в плоскости тангажа в соответ-ствиич (6.30) описывается уравнением [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...