ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Классические уравнения движения из "Теория твёрдого тела " В этом параграфе мы рассматриваем классическую проблему. Функция Гамильтона составляется из кинетической энергии всех ионов и их энергии взаимодействия. [c.131] Потенциальную энергию взаимодействия мы разложим по возрастающим степеням отклонений 8па1- Первый (постоянный) член в этом разложении есть потенциальная энергия ионной решетки в равновесии. Мы здесь опустим эту часть, как и отрицательный фон, так как они ничего не вносят в динамику колебаний решетки, единственно интересующую нас в данный момент. [c.131] Второй член разложения—линейный относительно а1. Так как мы ведем разложение вокруг положения равновесия, то и этот член должен исчезнуть. [c.131] Кроме того, они очевидно, вещественны. [c.132] Кроме этих общих соотношений существует еще большое число других соотношений, которые получаются, если использовать симметрию решетки. Мы позднее вернемся к этому вопросу, но сначала симметрию решетки исключим из рассмотрения. Позднее мы сможем легче высказать общие соображения, вытекающие специально из симметрии решетки. [c.132] Собственные векторы ипас уравнений (30.9) обозначаются соответственным индексом у это значит, что каждому соу соответствует ЗлЛ/ величин Они называются нормальными колебаниями ). [c.133] Для каждого соу уравнение (30.12) имеет решение Са =е д). Эти решения можно записать в векторной форме. Тогда они определены с точностью до произвольного множителя, который может быть выбран так, чтобы е 4 д) были нормированы (и друг к другу ортогональны). [c.133] Прежде чем подробнее обсуждать (30.14), рассмотрим дисперсионные соотношения (30.13). Шу( ) —с точностью до множителя А —есть энергия, — вектор в обратной решетке. Функция ш( ) играет для колебаний решетки ту же роль, как функция Е (к) для движения электронов в решетке. [c.134] Мы можем перенести сюда все существенные качественные результаты гл. IV. [c.134] НИЙ д лежит в зоне Бриллюэна. Так как / может принимать Зг значений, то имеется ЪгЫ различных Шу( ), т. е. столько же, сколько кристалл имеет внутренних степеней свободы. [c.134] Эти граничные случаи соответствуют характерным формам колебаний. Так как ] 7 = 2л/Я,, то для q — Q колебания соответствуют бесконечной длине волны. Все элементарные ячейки колеблются одинаково. При этом для а) = ш амплитуды обоих базисных атомов в элементарной ячейке имеют одинаковое направление, тогда как для со = o+ они направлены в противоположные стороны. Первый случай является граничным случаем для акустических волн соответственно ветвь, исчезающая при / = 0, называется акустической ветвью. Вторая форма колебаний в ионных кристаллах легко возбуждается оптически. Соответствующая ветвь колебаний поэтому называется оптической ветвью. [c.136] При 7 = л/а базисные атомы одного сорта (/И, или Aij) лежат как раз в узлах колебаний с длиной волны 2а. Если каждая элементарная ячейка содержит г базисных атомов, то наряду с акустической ветвью возбуждается г — 1 оптическая ветвь колебаний. [c.136] Из (30.15) не видно, описывает ли это уравнение поперечные колебания, т. е. отклонения, перпендикулярные к цепочке, или продольные колебания, т. е. смещения в направлении цепочки. Уравнение (30.15) справедливо в обоих случаях, пока амплитуды колебаний малы. При этом, конечно, смысл константы f для обоих случаев различен. При малых амплитудах каждое трехмерное колебание цепочки может быть разложено на три независимые части, из которых одна состоит из продольных колебаний и две —из поперечных. Оба поперечных колебания лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях, линия пересечения которых является направлением цепочки в положении равновесия. [c.136] Вернуться к основной статье