Периодический потенциал. Электроны в кристалле

Теорема Блоха. Кристаллическая решетка самим фактом своего существования свидетельствует о наличии в кристалле периодического электрического поля. Очевидно, что потенциал поля обладает той же пространственной периодичностью, что и сама решетка. Уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид [c.335]

Эффективная масса отражает влияние периодического потенциала кристаллической решетки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы. [c.230]

Эти результаты мы используем в 19 для описания зонной структуры электронного газа в слабом периодическом потенциале. После того, как мы получили представление о значении зонной модели, мы в 20 изучим общие свойства функции Е к). Мы увидим, что решения уравнения Шредингера для электрона в периодическом потенциале описывают квазичастицы [электроны в кристалле, или блоховские электроны). Влияние периодического потенциала включено в свойства этих квазичастиц. Для динамики электронов в кристалле, т. е. для их движения под действием внешних сил, это означает следующее вместо того, чтобы рассматривать движение отдельных электронов под действием комбинации внешних полей, кристаллического потенциала и кулоновского взаимодействия, вводится понятие электрона кристалла. Последний испытывает влияние только со стороны внешних сил, реагируя как квазичастица с эффективной массой /п ( ) и связью между энергией и импульсом, заданной зонной структурой. Во всех остальных отношениях, однако, квазичастица реагирует на эти силы как свободный электрон. Это мы обсудим (наряду с другими вопросами) в 21. [c.71]

Мы получили новое уравнение Шредингера, которое отличается от (21.10) тем, что в него уже не входит в явном виде периодический потенциал V (г). Для этого введен новый эквивалентный оператор Гамильтона вместо оператора кинетической энергии для свободных электронов. Это уравнение точно указывает на свойства квазичастицы —электрона в кристалле. Периодический потенциал включен в свойства электрона. Волновой пакет электрона ведет себя в электрическом поле как свободная частица с зарядом —е и с дисперсионным соотношением Е (к) между энергией и волновым вектором. Соотношение Е к) заменило теперь выражение Е=й к /2т для свободных электронов, а вторая производная функции Е к) (см. (20.11)) заменила обратную массу свободного электрона. [c.94]

Теперь мы покажем, что в слабом периодическом потенциале функции и не постоянны, а энергия каждого из состояний несколько сдвигается по отношению к энергии свободного электрона. В частности, оказывается, что в точках л/а и О, где зоны были вырожденными, они теперь отделяются друг от друга. Таким образом, в случае почти свободных электронов в кристалле энергетические зоны можно схематически представить в том виде, в каком они изображены на фиг. 18. Оказывается, что в простых металлах эффект периодического потенциала действительно очень мал, и поэтому такое представление о зонах почти свободных электронов вполне оправданно. [c.61]

В бесконечном кристалле вероятность нахождения электрона в любой ячейке одинакова. Сам по себе периодический потенциал не дает рассеяния электронов, приводящего к электропроводности металлов. [c.307]

Вообще говоря, гамильтониан Я , описывающий электроны проводимости в кристалле, должен включать эффективный периодический потенциал кристаллического поля. Для простоты мы предположим, что закон дисперсии для электронов соответствует изотропной параболической зоне и учет кристаллического поля сводится к тому, что в гамильтониане (4.4.11) величину т следует рассматривать как эффективную массу электрона. Полный гамильтониан системы Я может включать также гамильтонианы других квазичастиц и гамильтонианы взаимодействия. [c.299]

Металлические кристаллы - кристаллы, все атомы которых объединены металлическими связями. Металлические кристаллы образуют атомы всех подгрупп а и. Ш- 1ПЬ подгрупп периодической системы (см. табл. 1.1). Они электроположительны, так как имеют малый первый потенциал ионизации. В металлическом кристалле при взаимодействии с элементами других групп эти атомы легко отдают свои валентные электроны и превращаются в положительные ионы. [c.32]

Зонная энергетическая структура кристалла в большинстве случаев может быть описана на основе модели почти свободных электронов, в которой на электроны в разрешенной зоне действует лишь возмущающее слабое поле периодического потенциала ионных остовов. На основе этой модели часто можно объяснить как общие черты зонной структуры, так и тонкие детали формы наблюдаемых поверхностей Ферми. Мы также укажем на те случаи, когда зонная трактовка неприменима. Но она качественно позволяет найти ответ почти на все вопросы, касающиеся поведения электронов в металле. [c.310]

Появление таких энергетических зон может быть понято с двух точек зрения. При объединении свободных атомов в кристалл дискретные уровни этих атомов распадаются на группы термов, которые и образовывают энергетические зоны. Или же непрерывный энергетический спектр свободного электронного газа под действием периодического потенциала решетки разбивается на характеристические энергии, так как электроны с заданной энергией (и с заданным импульсом) при прохождении через решетку претерпевают брэгговское отражение. Оба способа описания, исходящие из сильно связанного или из свободного электрона, приводят к зонной модели твердого тела. [c.70]

Здесь V (г)—периодический потенциал в кристалле, р = —1% д—оператор импульса электрона. Для к =к- -у, уравнение имеет внд [c.391]

Эта глава будет посвящена изучению взаимодействия между электронами в металлах. Мы воспользуемся простой моделью металла, в которой периодически распределенный заряд ионов заменен равномерно размазанным по всему кристаллу положительным компенсирующим зарядом. Такая модель газа взаимодействующих электронов лучше всего описывает простые металлы (например, щелочные), в которых электроны ведут себя почти как свободные, т. е. периодический потенциал может рассматриваться как малое возмущение, лишь слабо искажающее движение электронов. Возможно, что эта модель дает также неплохое приближение и для всех металлов, исключая переходные и редкоземельные в последних двух случаях периодическое поле играет суще-ственную роль. [c.82]

Чтобы продемонстрировать влияние поверхности на энергию, которая требуется для удаления электрона, сравним периодический потенциал бесконечного кристалла / " (г) с потенциалом (г), фигурирующим в одноэлектронном уравнении Шредингера для конечного образца того же материала. Для простоты будем рассматривать только кристаллы кубической системы, обладающие симметрией относительно инверсии. В бесконечном (или периодически повторенном) кристалле потенциал образуется как сумма вкладов от всех элементарных ячеек Вигнера — Зейтца с центрами в точках решетки [c.354]

Изложенные выше грубые теории когезионной энергии в молекулярных и ионных кристаллах дают столь хорошие результаты главным образом потому, что конфигурация валентных электронов в этих твердых телах не испытывает существенных искажений по сравнению с их конфигурацией в изолированных атомах (молекулярные кристаллы) или ионах (ионные кристаллы). Это не справедливо в случае ковалентных кристаллов и металлов, распределение валентных электронов в которых значительно отличается от существующего как в изолированных атомах, так и в изолированных ионах этих веществ. Следовательно, для расчета когезионной энергии подобных твердых тел нельзя ограничиться вычислением классической потенциальной энергии системы слабо или почти не деформированных атомов или ионов, образующих определенную кристаллическую структуру. Даже простейшие расчеты должны теперь включать в себя вычисление уровней энергии валентных электронов в присутствии периодического потенциала ионных остовов. [c.39]

Для вычисления отклика неоднородного полупроводника на приложенный внешний электростатический потенциал и даже для расчета распределения электрического заряда в отсутствие приложенного потенциала почти всегда используют полуклассическую модель, описанную в гл. 12. Когда потенциал ф (х) налагается на периодический потенциал кристалла, электроны п-ш зоны можно рассматривать (в полуклассической модели) как классические частицы (т. е. волновые пакеты), описываемые гамильтонианом [c.212]

В гл. 5 было показано, что энергетический спектр электрона, движущегося в строго периодическом поле неограниченного кристалла, имеет зонную структуру полосы разрешенных энергий отделены друг от друга зонами запрещенных энергий. Нарушение периодичности потенциала, вызванное дефектами решетки (примесными атомами, вакансиями и др.), приводит к возникновению в запрещенной зоне дискретных уровней. [c.240]

Металлы имеют электрическое сопротивление из-за того, что никакое твердое тело не является идеальным кристаллом. В нем всегда есть примеси, вакансии и другие несовершенства периодической структуры, на которых могут рассеиваться электроны, и при очень низких температурах именно они ограничивают проводимость. Однако даже если бы удалось полностью устранить несовершенства периодической структуры, то и тогда проводимость осталась бы конечной из-за тепловых колебаний ионов, которые нарушают идеальную периодичность потенциала, действующего на электроны. Такие отклонения, величина которых зависит от температуры, могут приводить к рассеянию электронов они обусловливают температурную зависимость электронного времени релаксации, отмечавшуюся в гл. 1. [c.218]

Величина т получила название эффективной массы электрона. Эффективная масса отражает влияние периодического потенциала решетки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы. Из (7.96) следует, что электрон в периодическом поле к ристаллической решетки движется под действием внешней силы F в среднем так, как двигался бы свободный электрон под действием этой силы, если бы он обладал массой т. Таким образом, если электрону в кристалле вместо массы т приписать эффективную массу т, то его можно считать свободным и движение этого электрона описывать, так как описывается движение свободного электрона, помещенного во внешнем поле. Разница между т и т обусловлена взаимодействием электрона с периодическим полем решетки, и, приписывая электрону эффективную массу, мы учитываем это взаимодействие. [c.233]

Мы выяснили, что существование энергетических зон — важнейшая особенность энергетического спектра электронов в кристалле. Построение энергетических зон — сложная задача теории твердого тела и, например, изложение методов построения зон выходит за рамки данного курса. Полезно дать предсгавление о виде энергетических зон и связанных с ними ферми-поверхностей в простом приближении. В качестве такого мы выбрали модель пустой решетки, т. е. решетки, характеризующейся исчезающе малым по величине периодическим потенциалом. Ввиду предельной слабости потенциала энергетические зоны пустой решетки строятся на основе приближения свободных электронов. [c.83]

На рис. 30 [2] показано чередование разрешенных энергетических зон и щелей для периодического потенциала. Энергия электрона дана как функция волнового вектора в схеме расширенных и приведенных зон Бриллюэна для одномерного кристалла с постоянной решетки а. Нелокализо- [c.78]

Где т — масса электрона. Учет периодического потенциала кристаллической решетки (метод Блоха) усложняет эту зависимость, приводя к разрывам параболической зависимости W p) в областях запрещенных энергий (см. рис. 1.4). Функция W p) непрерывна в различных интервалах пространства импульсов, называемых зонами Бриллюэна (например, при —n/a k n/a и др.), а при переходе от одной зоны Бриллюэна к другой терпит разрывы. Применение одноэлектронной зонной теории с блоховскими волновыми функциями хорошо оправдывается для кристаллов с s- и р-электронами, орбитали которых имеют большую пространственную протяженность и значительное взаимное перекрытие (в случае кристаллов с d- и /-орбиталями применять зонную теорик> нужно с осторожностью (см. 4.4)). [c.13]

В работе Ли, Лоу и Пайнса [133] был развит вариационный метод, применимый к исследованию случая промежуточной связи а <6, не опирающийся на использование адиабатического приближения. Исследовалось медленное движение электрона, окруженного облаком виртуальных фононов оптической ветви колебаний в ионных кристаллах. Диэлектрик рассматривался как непрерывная колеблющаяся среда с одной ветвью продольных колебаний частоты Й ( ) = Й. Действие периодического потенциала решетки на электрон учитывалось путем введения эффективной массы электрона т. [c.261]

Блоха, учитывающих средний периодический потенциал кристалла. Это приближение основано на допущении, что при поглощении света остаются неизменными все состояния, занятые другими электронами. В действительности же в результате перехода одного электрона из валентной зоны в зону проводимости должны изменяться и состояния всех остальных электронов валентной зоны. Формально такое изменение можно учесть, введя эффективное взаимодействие между электроном и дыркой, образующейся при освобождении одного из валентных состояний. Это взаимодействие является проявлением многочастичности всех электронных состояний кристалла. [c.312]

Влияние решетки на энергию связи в металлах. Теперь мы займемся изучением энергии связи в простых металлах. Стабильность атомов в простых металлах по сравнению с теми же атомами в свободном состоянии обусловлена тем, что энергия, отвечающая функции Блоха при k = О, в металле много ниже, чем энергия основного электронного состояния свободпого атома. Этот эффект иллюстрируется кривой на рис. 10.17 для натрия и рис. 10,18 для модели линейного периодического потенциала в виде цепочки прямоугольных потенциальных ям (притягивающие потенциалы). Энергня основного состояния атома Б решетке (когда атомы находятся друг от друга на расстояниях, которые отвечают реальному кристаллу) оказывается много ниже, чем для нзолированных атомов. [c.354]

В применяемом здесь обычном приближении электроны считаются независимыми частицами, подчиняюш 1шися статистике Ферми— Дирака. В приближении нулевого порядка твердое тело рассматривается как ящик или сосуд, внутри которого электроны движутся, как газ это так называемая модель Зоммерфельда. Более реалистично влияние кристаллической решетки учитывается в приближении первого порядка, где периодический потенциал решетки рассматривается как возмущение состояния почти свободных электронов. Можно исходить из противоположного допущения, а именно считать, что электроны достаточно жестко связаны с атомными ядрами в твердом теле, но способны двигаться через решетку благодаря некоторому перекрытию орбиталей, принадлежащих близко расположенным атомам. Как то, так и другое рассмотрение приводят к одним и тем же результатам в кристалле существуют области близко расположенных уровней энергии (энергетические зоны), разделенные запрещенными зонами (энергетическими щелями). Эти зоны соответствуют областям, для которых волновое уравнение Шредингера имеет или не имеет решения. Линия раздела между разрешенными и запрещенными уровнями носит название границы зоны. Волновые функции "ф всегда могут быть представлены как волновые функции свободных электронов, модулированные функцией, имеющей периодичность решетки. [c.457]

Как и в случае свободных электронов, при рассмотрении проводимости, обусловленной блоховскими электронами ), возникают два вопроса а) Какова природа столкновений б) Как движутся блоховские электроны в промежутках между столкновениями Полуклассическая модель касается лишь второго вопроса, но теория Блоха критическим образом затрагивает и первый из них. Друде предполагал, что электроны сталкиваются с неподвижными тяжелыми ионами. Это нрэдположвпие несовместимо с очень большими длинами свободного пробега, возможными в металлах, и не позволяет объяснить наблюдаемую их зависимость от темперятуры (см. стр. 23). Теория Блоха исключает такое допущение и из теоретических соображений. Блоховские уровни — это стационарные решения уравнеиия Шредингера в присутствии полного периодического потенциала ионов. Когда электрон на уровне имеет отличную от нуля среднюю скорость (а это всегда так, если величина 5ё (к)/ 9к случайно не равна нулю), эта скорость сохраняется неограниченно долго ). Мы не можем рассматривать столкновения с неподвижными ионами как механизм, обусловливающий уменьшение скорости, поскольку взаимодействие электрона с фиксированной периодической решеткой ионов полностью учтено в исходном уравнении Шредингера, решением которого является блоховская волновая функция. Поэтому проводимость идеально периодического кристалла равна бесконечности. [c.218]

Периодический потенциал Приближение свободных электронов 121, 72, 73 в двумерном случае 167 вигнеровский кристалл II299 Волна спиновой плотности П 299 диамагнетизм II280, 281 [c.433]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...