Уравнения для волн Римана

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЛН РИМАНА 159 [c.159]

Уравнения для волн Римана [c.159]

Через начальную точку А и ) проходят три ветви ударной адиабаты. Согласно 1.7, малые разрывы описываются с ошибкой меньшей или порядка а - амплитуда скачка) уравнениями для волн Римана. Поэтому две ветви ударной адиабаты в окрестности точки А лежат в начальной плоскости и соответствуют плоскополяризованным разрывам, а третья - ортогональна к ней и, очевидно, представляет окружность, лежащую в плоскости из = и , соответствующую вращательному разрыву с начальной точкой А. Обозначим эту окружность через Ьа- [c.362]

Уравнения плоских установившихся баротропных (в частности, изоэнтропических) сверхзвуковых течений имеют решения типа простых волн, аналогичные решениям для волн Римана в случае одномерных течений. [c.285]

В этих уравнениях буква / употреблена для обозначения постоянного коэффициента /1, определенного (как и в 3.4 для волн Римана) формулой [c.185]

Определение и построение рещений, описывающих стационарные простые волны, аналогичны тому как это делалось в Главе 3 для волн Римана. Стационарные двумерные (косые) простые волны представляют собой рещения уравнений (6.3), (6.4),в которых 1, и т,- зависят от некоторой функции 7( 2,Сз) [c.286]

Для волн Римана достаточно проверить совпадение характеристических скоростей и направлений на плоскости 1 2, определяющих малые изменения величин в этих волнах. Рассматривая решения, представляющие волны Римана, Па = иа(0), где 0 -заранее не известная функция х и г, получим из уравнений (7.6) [c.304]

Упругий потенциал и уравнение, описывающее волны Римана, для рассматриваемой среды имеют вид [c.366]

И, следовательно, скорость и как функция р в случае волн Римана может быть найдена независимо от интегрирования уравнений движения (18.1) — (18.2). Для скорости и (р) будем иметь [c.222]

Подставляя (9-40) в одно из уравнений (9-39), получим уравнение для простой волны Римана [c.254]

В области волн Римана можно построить аналитическое решение. Уравнение характеристики для какой-нибудь волны Римана имеет вид ас = at а < а(е) < ао, но а(е) является известной величиной а,(е) = Следовательно, f = откуда е = а (f) и соответствующую скорость определяем по формуле [c.143]

Для рассматриваемого случая, полагая в (1.1), (1.2) для фиксированного i (ai u)=0, получим течение типа плоской двойной волны (вместо (3) останутся два уравнения, получающиеся составлением соответствующей линейной комбинации) полагая, что в нуль обращаются сразу два таких соотношения, получим плоские волны Римана. Каждый раз, в соответствии с теоремой [7] о примыкании течений различных рангов, плоскости типа и) = О или прямые ((а и)=0, и) = О, i ф к) в пространстве годографа скоростей М2, будут являться характеристическими многообразиями соответственно для уравнений тройных и двойных волн. Таким образом, в случае, если сохраняется потенциальность течения, можно с помощью (1.1), (1.2) построить решение в некоторой области взаимодействия трех волн Римана (функции определяются по заданным [c.151]

В плоском случае для согласованных а и 7 решение в области TG"UQ будет простой центрированной волной Римана. Поведение характеристик в этой области легко исследовать аналитически. Уравнения семейства характеристик, исходящих из G"T, в системе координат получающейся из исходной поворотом вокруг начала [c.446]

Это уравнение соответствует условию непроницаемости поршня, а краевое условие для него определяет известный закон движения точки 1 в простой волне Римана. Однако уравнения для характеристик (2.6), имеющие вид [c.477]

Динамические методы диагностики основаны на использовании связи количественных и качественных параметров структуры и эволюции волн сжатия и разрежения, которые можно зафиксировать в эксперименте, со свойствами среды. Измерения автомодельных течений типа стационарной ударной волны или простой волны Римана позволяет по найденным из экспериментов кинематическим параметрам определить свойства исследуемого вещества, характеризующие его реакцию на ударную нагрузку. Проведение экспериментов при различных начальных условиях и интенсивностях ударных волн дает базу для построения калорического уравнения состояния Е = Е(р, V) в области р—У-диаграммы, перекрытой адиабатами Гюгонио и Пуассона. Анализ полей давления и скорости при ударно-волновом нагружении релаксирующих сред дает основу для определения кинетических закономерностей процессов упругопластического деформирования, разрушения, химических и фазовых превращений. [c.25]

Исследование плоских волн значительно облегчается благодаря использованию точного решения нелинейных уравнений в виде простой волны Римана, бегущей в одном направлении. Точные решения такого типа в случае пространственного нестационарного движения отсутствуют. Поэтому для отыскания правильного закона затухания сферических ударных волн на больших расстояниях необходимо исходить из дифференциальных уравнений движения сжимаемого газа. При этом процедура линеаризации уравнений не может быть использована. [c.281]

Характеристики в волне Римана образуют в рассматриваемом случае сходящийся пучок. Найдем момент времени, начиная с которого эти характеристики пересекаются, т. е. начиная с которого в газе образуется ударная волна. Для этого продифференцируем второе уравнение (11.1) по параметру и и результат приравняем нулю [c.199]

Если с не постоянна на интегральной кривой волны Римана, то на отрезках, где характеристическая скорость с - монотонная функция, она может быть использована в качестве параметра в на кривой. Тогда уравнение (1.20) приобретает стандартный вид уравнения Хопфа для нахождения функции x,t) [c.34]

Существуют случаи, когда структура разрыва может быть описана той же гиперболической системой уравнений, решения которой терпят разрыв. Так обстоит дело для разрывов решений линейных уравнений или для разрывов, соответствующих волнам Римана, не изменяющим при движении своей формы. Однако, в общем случае для того, чтобы можно было построить рещение задачи о структуре разрыва, система уравнений, описывающая структуру, должна отличаться от исходной гиперболической системы уравнений. [c.98]

Теперь будем изучать нелинейные волны в среде с упругим потенциалом, заданным выражением (3.1). Для системы уравнений (3.3) ищем частные решения, названные в 1.4 волнами Римана, или простыми волнами, (Свешникова [1982]), т.е. решения вида [c.159]

Для изучения поведения деформаций сдвига пр (/3 = 1,2) в квазипоперечных волнах Римана служат уравнения (3.16), которые при а = ai,2 становятся линейно зависимыми. Одно из уравнений может быть отброшено, а оставшееся записывается в [c.169]

Для интегральных кривых двух квазипоперечных волн Римана (3.22) теперь получаем уравнения [c.173]

В 7.2 рассмотрены квазипоперечные волны, распространяющиеся в положительном (для определенности) направлении оси х (волны, распространяющиеся в противоположную сторону, считаются отсутствующими). Это позволяет, как и в 7.1, оставить в качестве неизвестных только переменные, характеризующие эти волны. Система уравнений для квазипоперечных волн, распространяющихся в сторону а > О, состоит из двух уравнений (7.6). Эти уравнения, содержащие три постоянных коэффициента, преобразованием Галлилея и изменением масштабов могут быть приведены к одной из двух стандартных форм, соответствующих X > О или X < 0. Проверено ( 7.3), что упрощенные (приближенные) уравнения (7.6) с принятой при рассмотрении квазипоперечных волн малой амплитуды точностью дают описание волн Римана и ударных волн, не отличающееся от описания, полученного ранее (в Главах 3 и 4) при отыскании приближенного решения точных уравнений. [c.316]

Примем для функции р выражение р = — и ). В качестве оправдания такого выбора можно сказать, что такой вид имеет функция р при малой анизотропии в области малых деформаций (Глава 2). Для этого же вида функции р в 9.3 подробно рассмотрены волны Римана. Уравнение ударной адиабаты (9.21) примет вид [c.388]

Теперь подтвердим справедливость утверждений (154) и (155), выведя их непосредственно из полных уравнений движения с помош ью оригинального метода Римана, распространив его на случай одномерных волн обш его вида в однородных трубах или каналах. Определим с для волн, имеющих произвольное избыточное давление ре, в этом общем случае придав уравнению (9) вид [c.177]

Воспользовавшись методом Римана-Гюгонио-Адамара, А. С. Предводителев получает весьма общее уравнение для скорости распространения звука. Частным случаем уравнения Предводителева является уравнение (3.16), Развивая общую теорию распространения волн, А, С. Предводителев разработал метод, позволяющий находить скорость распространения звуковых волн для различных режимов распространения волны и для различных уравнений состояния, которым подчиняется среда. Так, например, приняв в качестве уравнения состояния [c.117]

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если течение безвихревое и одно из семейств характеристик — прямые линии с постоянными параметрами, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее к области движения с постоянными параметрами может примыкать только или еще одна такая область движения с постоянными параметрами, или простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны достаточно, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, на С+-и С- характеристиках справедливы инварианты Римана 1+, -(см. 2.2). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С имеют одно и то же значение инварианта / = и—2а/(у—1), т. е. по всей области течения / — постоянная величина. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ имеет свое постоянное значение /+, то из постоянства двух величин /+ и / следует постоянство ы и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик имеет вид dx/dt = u + a. Подчеркнем, что параметры [c.57]

Возникает область вакуума P = R = 0. Таким образом, уравнение (2.90) имеет единственный корень, если выполнено условие и,—И2 /вак=—2 ui + a2) ( —1). Задача о распаде произвольного разрыва послужила основой для создания оригинального численного метода решения нестационарных задач газовой динамики. Аналогичная задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков послужила основой для создания численного метода расчета стационарных плоских осесимметричных и пространственных сверхзвуковых течений. Конфигурации, возникающие при взаимодействии сверхзвуковых потоков, аналогичны соответствующим конфигурациям в нестационарном течении и изображены на рис. 2.11, а—5. Отличие состоит в том, что при расчете задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков параметры в волне разрежения связаны соотношениями Прандтля — Майера (2.74), а не инвариантами Римана. Ограничимся этими краткими замечаниями. В дальнейшем при изложении методов сквозного счета будут приведены расчетные формулы. [c.66]

На основании решения Римана [51 ] для плоских волн конечной амплитуды представим уравнения неразрывности (1.2.5) и движения жидкости (1.2.6), учитывая (1.3.2), в следующем виде [c.36]

Можно поставить задачу об отыскании такой зависимости р = / (р), при которой не будет иметь место эффект опрокидывания волны сжатия Римана. Так будет, например, если скорость с получает-е. с/йр = 0. В этом с.лучае на основании (18.8), (18.10) и (18.12) для определения вида зависимости р от р будем иметь следующее простое дифференциальное уравнение [c.226]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

В общем случае система (9-37), (9-38) не содержит решений ТИ па волн Римана и ее невозможно привести к одному уравнению, как это сделано для системы (9-37). Однако в случае слабой дисперсий и диссипации можно искать решение системы в виде квазипростой волны [c.255]

Обычное X.— 3. у. L = 0 в линейном случае (е = 0) для гармонических сигналов переходит в параболич. ур-иие теории дифракции (Леоитовича параболическое уравнение). Для возмущений с плоскими фронтами X.— 3. у. переходит в ур-ние простых волн Римана волн), описывающее укручение профиля бегущей волны вплоть до образования разрывов — ударных фронтов. Обычное X,—3. у. также справедливо в той области пространства, где разрывов нет. [c.415]

Для выявления влияния диссипативных членов на поведение нелинейных решений рассмотрим приближенно частное решение уравнений (1.45), характеризующееся большим пространственным масштабом Ь, которое близко к волне Римана малой амплитуды. Домножим уравнения (1.45) на левый собственный вектор [c.82]

Для других волн Римана, соответствующих с О, из последнего уравнения (3.9) следует постоянство в них энтропии S = onst. Из этих уравнений легко исключить все неизвестные, кроме йщ/йв. [c.160]

Итак, поведение квазипродольных волн в среде с малой анизотропией и малой нелинейностью качественно не отличается от поведения волн сжимаемости в газах. Анизотропия среды в принятом приближении в главных членах не проявляется. Малые поперечные компоненты деформации (на порядок меньще продольных) появляются лищь при наличии предварительной деформации сдвига. Проявление нелинейности качественно такое же, как у газов с произвольным уравнением состояния. По этой причине в дальнейщем изложении мы уделяем главное внимание поперечным и квазипоперечным волнам. Но квазипродольные волны Римана будут необходимы для построения рещения автомодельных задач. [c.164]

Характеристические скорости квазипоперечных волн даются равенством (3.20). В зависимости от знака перед корнем квазипоперечные волны разделяются на быстрые и медленные. Изменение ui и U2 в каждой из квазипоперечных волн Римана описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (3.22). Интегральные кривые волн Римана представлены на рис. 3.1, где стрелками обозначено направление уменьщения характеристических скоростей вдоль интегральных кривых в средах, у которых упругий модуль ответственный за нелинейность X > 0. (Для сред X < О эти направления указывают увеличение характеристических скоростей.) Изменение щ и U2 в частицах среды с ростом времени в неопрокидывающихся волнах Римана совпадает с направлением уменьшения характеристических скоростей вдоль интегральных кривых (при х > О вдоль стрелок). Как частный случай рассмотрены волны Римана при отсутствии волновой анизотропии. При этом оказалось, что одна из волн Римана является плоскополяризованной (значения щ, U2, из В такой волне лежат в некоторой плоскости, проходящей через ось из), а другая волна является вращательной (ui, U2, из принадлежат окружности uj- - и = onst, лежащей в плоскости из = onst). Вращательная волна является бегущей волной, т.е. перемещается не изменяя со временем своей формы. [c.176]

Если изменения деформаций в скачке [и ] настолько малы, что их квадратами можно пренебречь, то уравнения (4.4) да1ют линейную систему для [и ], полностью совпадающую с линеаризованной системой (3.10) волн Римана, в которой Ф = Фik Uj) определены формулами (4.3) и а = роУУ . [c.180]

Видно, что оно совпадает с аналогичным выражением (3.15) для из — 11з в кваэипоперечной волне Римана. Заменим теперь [из] в первых двух уравнениях (4.10) полученным для него выражением. Как и в Главе 3, будем пользоваться введенным ранее формулой (3.19) коэффициентом х [c.185]

С учетом того, что на одной из характеристик ф = О, можно заключить, что V X- Согласно уравнениям (6.6) получим, что изменение имеет порядок х - Учет этого изменения привел бы в уравнениях (6.5) к появлению пренебрежимо малых членов порядка хе (при изучении волн Римана в Главе 3 в уравнениях не учитывались члены меньше,чем x ). На первый взгляд может показаться существенным вклад в уравнения (6.5) изменения 6,-f , за счет члена / кФ- Как и выражение для Ф, величины /, разлагаются в ряды по emi- Конечная часть /, (не связанная с деформацией или анизотропией) может быть вычислена из квадратичной пое части функции Фо, равной Несложные вычисления показывают, что конечное значение имеют только /23 = /з2 = 2< 23 = 2< 32 = 1. В первом уравнении (6.5) слагаемого с /23 нет. В третьем уравнении для продольной компоненты 1з будет присутствовать член имеющий порядок х -При изучении волн Римана уравнение для продольной компоненты решалось приближенно и члены такого порядка малости не учитывались (учитывались члены порядка е ). Во втором уравнении (6.5) соответствующий член будет присутствовать в виде ф dis/d y. Поскольку I3 соответствует продольной компоненте, которая в кваэипоперечной волне меняется мало, так что /3 dh/dj е, то приведенный выше член имеет порядок малости Х , более высокий, чем учитываемые при изучении поперечных волн члены. [c.289]

Постоянство энтропии и инварианта Римана. Для вывода асимптотики на плоскости Д (г, рассматривается область П = = го < г < Гф, < > 0 , где постоянная го > О и г = rф(i) есть уравнение ударной волны (фронта), причем Гф(0) = го- Вывод основан на приближении, связанном с отбрасыванием, ввиду их относительной малости, величин 0 г ) в соотношениях (4) и (8), а также с условием конечности суммарного расхода через границу г = го. Эти соглашения формулируются ниже как предположения А и В. [c.193]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Этот метод, впервые разработанный Зоммерфельдом, позволяет непосредственно исследовать решение уравнения теплопроводности на соответствующей римано-вой поверхности (или в римановом пространстве). При угле раствора пк/т риманова поверхность (или пространство) оказывается /г-листной, и решение будет иметь период 2ятс. Этот метод интересен в историческом отношении, так как после его применения к задаче распространения тепла от источника в теле, ограниченном плоскостями 0 = О и й = 2%, Зоммерфельду удалось с его помощью дать первое точное решение задачи дифракции волн на полуограниченной плоскости (например, на плоскости 6 = 0). В настоящее время развит более простой метод решения этих задач, пригодный как для уравнений теплопроводности, так и для других дифференциальных уравнений математической физики в частных производных. Поэтому здесь достаточно только упомянуть о работах Зоммерфельда, а также о других работах, в которых используется идея римановой поверхности [33—36]. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...