Уравнения относительного движения в прямоугольных координатах

Этими уравнениями, которые мы будем называть уравнениями относительного движения в прямоугольных координатах, вполне определяется относительное движение точки М. [c.197]

В некоторых случаях дифференциальные уравнения имеют первый порядок, в других это уравнения второго порядка возможны также системы, включающие уравнения первого и второго порядка. Уравнения Лагранжа для планет — это пример системы первого порядка уравнения относительного движения в прямоугольных координатах представляют собой систему второго порядка применение метода Ганзена приводит к смешанной системе. [c.225]

Задача 57. Написать уравнения движения в прямоугольных координатах и определить скорость и ускорение конца М кривошипа ОМ, вращающегося вокруг неподвижного центра О. Длина кривошипа ОМ = г. Угол поворота кривошипа относительно горизонтальной оси изменяется по закону ф = (в/. [c.188]

Проектируя обе части равенства (5) на оси Ax z, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат [c.439]

Большое преимущество принципа Гамильтона заключается в том, что с помощью его в дифференциальных уравнениях движения системы материальных точек можно относительно легко заменить прямоугольные координаты другими переменными. [c.28]

Основная идея метода Ганзена состоит в том, что рассмотрение возмущенного движения планеты Р разделяется на следующие этапы сначала можно интегрировать уравнения в прямоугольных координатах Ганзена (4.1.18) или в полярных координатах Ганзена (4.1.43), т. е. сначала можно изучить возмущенное движение точки Р в плоскости оскулирующей орбиты XY (см. рис. 62). Затем можно рассмотреть уравнения, определяющие положение плоскости оскулирующей орбиты XY относительно плоскости ху, далее в долготу (см. рис. 63) необходимо внести поправки, обусловленные движением оскулирующей плоскости. Для планет Солнечной системы эти поправки достаточно малы. [c.412]

Можно прийти к весьма простому для рассмотрения предельному случаю названной задачи, если исходить вместо общей задачи трех тел из так называемой ограниченной задачи трех тел. Последняя есть частный случай плоской задачи трех тел, в которой масса точки Р3 равна пулю, а точки Рх, Р2 описывают окружности . Чтобы получить дифференциальные уравнения движения для точки Р3, введем в заданной плоскости вращающуюся систему осей с началом в центре инерции точек Р1 и Р2, так что точки Рх и Р2 относительно повой системы координат будут неподвижными. Без ограничения общности можно принять, что угловая скорость и = 1 в силу уравнений (12 5) для прямоугольных координат Х2к-1, Х2к точки Рк к = 1, 2, 3) во вращающейся системе координат получаются следующие дифференциальные уравнения [c.168]

Теперь мы составим дифференциальные уравнения для движения катящегося шара. Пусть будут — координаты относительно неподвижной в пространстве прямоугольной системы координат. По неподвижной плоскости I катится без скольжения шар. Пусть будут х, у, г — координаты относи- [c.556]

Так, в космических приложениях, когда аппарат совершает орбитальное движение, наиболее удобно вести решение в инерциальной систем координат, и в качестве основы для разработки функциональных алгоритмов БИНС следует взять векторную систему уравнений (3.64). При этом позиционную информацию получают в форме декартовых прямоугольных координат, скоростную — в форме проекций абсолютной скорости на выбранные инерциальные оси, а информацию об ориентации — в виде соответствующей матрицы ориентации или трех углов ориентации ЛА относительно выбранного базиса. [c.80]

Мы исследуем теперь независимо от предыдущего дифференциальное уравнение в частных производных, определяющее поперечное движение идеально гибкой струны, предполагая, 1) что натяжение струны может считаться постоянным, 2) что квадратом наклона какого-нибудь участка струны относительно ее пе рво-начального направления можно пренебречь. Как и прежде, р обозначает линейную плотность в какой-либо точке, а 7 — постоянное натяжение. Пусть оси прямоугольных координат расположены соответственно, параллельно и перпендикулярно струне, так что координата х дает положение любой частицы в состоянии равновесия, а X, у, Z — ее смещенное положение в момент времени t. Силами, действующими на элемент dx, являются натяжения на его концах и какие-либо внешние силы Fp dx, Zp dx. Согласно принципу Даламбера они образуют систему, находящуюся в равно- [c.200]

Как известно, простейшей аппроксимацией, описывающей симметричные относительно срединной поверхности колебания пластин, является обобщенное плоское напряженное состояние. Эта аппроксимация легко получается из трехмерных уравнений теории упругости. Поясним это на примере пластины, ориентированной в прямоугольной декартовой системе координат х, у, г так, что ее срединная плоскость описывается уравнением 2=0, а боковые поверхности — уравнениями г= Н. Уравнения теории упругости записываются в виде уравнений движения малого элемента [c.169]

Этот процесс лучше всего рассматривать в прямоугольной системе координат у, 2, которая движется вместе со спутником (рис. 24.24). После действия второго импульса снаряд оказывается смещенным относительно точки встречи в движущейся координатной системе хуг, т. е. он движется относительно точки встречи с некоторой остаточной скоростью Жо, г/о, 2о- Последующее движение снаряда в гравитационном поле планеты определяется линеаризованными уравнениями движения снаряда под действием центральной силы притяжения в системе координат, движущейся вместе со спутником. Если спутник движется с постоянной угловой скоростью О) по орбите радиуса Го, то ошибки начального положения и скорости изменяются во времени согласно следующим соотношениям ) [c.718]

Установив это, рассмотрим точку массы 1, находящуюся под действием центральной силы / 1, зависящей только от координат х , у ) точки приложения относительно двух прямоугольных осей 0]Х1, О ух, имеющих начало в точке Ох, через которую проходит сила. Если время обозначить через х, то уравнения движения будут [c.344]

Данное здесь доказательство принадлежит в существенном Фросту ). Другое доказательство, несколько отличающееся по форме, дано Рэлеем ). Так как уравнение (1) линейно, то оно удовлетворяется средним арифметическим некоторого числа отдельных решений q>i, 9 2, 9>з,... Предположим, что вокруг точки Р, как начала координат, проведено бесконечное множество прямоугольных систем координат, и пусть движению относительно системы х, у, Z. В этом случае среднее арифметическое (назовем его через ср) функций 9 i> Ч з- сть функция только от г — расстояния точки Р. Если мы хотим теперь выразить, что при движении, характеризуемом потенциалом скоростей q> (если только такое существует), поток через шаровую поверхность, которая, не выходя из области, наполненной жидкостью, может быть стянута в одну точку, равняется нулю, то мы должны положить [c.58]

Уравнения гидродинамики в форме Эйлера, Движение жидкости будем рассматривать относительно неподвижных прямоугольных осей координат. Отметим какую-нибудь точку пространства А, через которую проходит элемент жидкости (фиг, 424). Жидкость, вступая в точку А, получает вполне определенную скорость К, зависящую от положения этой точки в пространстве и от времени если во всех точках пространства для всякого времени будут определены скорости, то этим вполне будет охарактеризовано движение всей жидкости. Исходя из этого положения, Эйлер и составляет диф-ференциальные уравнения для определения скорости жидкости в функции ее координат д , г и времени t [c.689]

Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в относительной прямоугольной системе координат [c.328]

Решение векового уравнения в прямоугольных координатах. Определитель векового уравнения (2,11) или (2,38), выраженный в прямоугольных координатах, имеет ЗЛГ строк и ЪЫ столбцов. Поэтому, раскрывая определитель, мы получаем уравнение степени ЗЫ относительно Х( = 4Л ), т. е. даже в случае трехатомной молэкулы порядок уравнения равен 9. Мы знаем, что вековое уравнение имеет шесть (или в случае линейных молекул — пять) нулевых решений, соответствующих шести (или пяти) ненастоящим колебаниям (поступательному движению и вращению молекулы в целом). Поэтому вековое уравнение должно содержать множитель X (или X ). Однако этот множитель нельзя сразу отделить в соответствующем определителе (2,38). [c.159]

Аналогично выражаются через проекции ускорения на прямоугольные оси координат проекции силы инерции Ф , Фу, Ф . О силах инерции существует несколько точек зрения. Согласно первой точке зрения сила инерции условно прикладывается к точке, чтобы уравнению движения (44) придать более удобную форму условия равновесия (45). Поэтому силу инерции Ф называют фиктивной, даламберовой, условной и т. д. С этой точки зрения силы инерции в принципе Даламбера не являются настоящими, реальнь ш силами и отличаются не только от обычных сил, создаваемых действием тел, но даже и от сил инерции в относительном движении. [c.342]

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного как решения диференциальног< уравнения Лапласа. Рассмотрим теперь явления плоского, или двухразмерного, движения жидкости. Хотя такие движения в строгой форме едва ли встречаются в действительности, тем не менее многие движения жидкости—по крайней мере определенные области движения — могут рассматриваться приближенно, именно как плоские. Главное преимущество такого представления о течениях заключается в упрощении математического исследования. Однако это упрощение обусловливается не уменьшением числа независимых переменных места (такое упрощение возможно и в отнощении трехразмерных движений, симметричных относительно оси вращения), а тем, что, поскольку плоское явление зависит только от двух прямоугольных координат х, > ), диференциальное уравнение v aIrлa a удовлетворяется как действительной, так и мнимой частью любой аналитической функции комплексного аргумента х- 1у. [c.139]

Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в 5 гл. I. Предположим сначала, что масса Юпитера л равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским-орбитам пусть орбиты — эллипсы. Удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне Ь,С,1,д если а и е—большая полуось и эксцентриситет орбиты, то Ь = у/а, С = - 0(1 — е ), д — долгота перигелия, I — угол, определяющий положение астероида на орбите, — эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с гамильтонианом Го = —1/ 2Ь ). При ф О полный гамильтониан Г разлагается в ряд по возрастающим степеням /х F = Fo -Ь fJ.Fi -Ь. .. В подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, поэтому Г згшисит от Ь,С,1 и д — 1. Положим Ух = Ь, у2 = С, Хх = I, Х2 = д — I и Н = Г — С. Функция Н теперь зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных, Т1, Х2 она 2тг-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде гамильтоновой системы [c.186]

В уравнениях невозмущенного движения (9.7) неизвестными функциями являются прямоугольные декартовы координаты движущейся точки М относительно системы координат Oxyz (см. рис. 45) с неизменными направлениями осей. [c.418]

Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных преобразований (ср. 9). Приведенная выше аксиома требует инвариантности уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при условии, что это — собственные преобразования (т. е. группа преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно переноса начала координат означает однородность пространства, а инвариантность относительно вращения — его мзотротгкость. Инвариантность по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное преобразование) означала бы эквивалентность винтов с правой и левой резьбой. [c.27]

Дис )ференциальные уравнения задачи и первые интегралы. Лод движением системы точек относительно некоторой точки С мы понимаем ее движение относительно прямоугольной системы координат XYZ с началом в точке С и осями, сохраняю- щими неизменные направления в пространстве. [c.178]

Выведем теперь уравнения Ньютона — Лагранжа. Пусть движение спутника Р (рис. 8.1) рассматривается относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат Axyz с началом в притягивающем центре Л. Единичные векторы осей обозначим соответственно через i. k. [c.267]

Эти три уравнения выражают закон площадей для осей д , у и г например представляет сумму всех моментов сил относительно оси х к количества вращения относительно оси л, т. е. сумму статических моментов количеств движения всех точек материальной системы относительно оси X. Для какой-нибудь произвольной оси закон площадей можно выразить тем же способом, как и для координатной оси. Достаточно со-отьетственную ось избрать осью, -ов прямоугольной системы координат. Если величину количества вращения д 1Я соответствующей оси обозначим через В, а сумму моментов сил — через М, то получим [c.314]

Обозначим силу сопротивления относительному смещению частицы в любом горизонтальном направлении через Рл, а в вертикальном - через V. Массу частицы с учетом присоединенной массы феды обозначим через т 1, а массу среды в объеме, равном объему частицы, - через ш о, отношение средних плотностей частицы и феды - через А = р / р о. Пусть х,у,2 - проекции на оси прямоугольной системы координат относительной скорости частицы в среде. Тогда ди( >ференциальные уравнения движения частшц 1 относительно среды могут быть записаны в форме [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...