Вероятность для классического движения

Вероятность для классического движения [c.181]

Кроме того, функция распределения вероятности зависит только или от координаты или только от импульсов. В квантовой механике, ассоциируемой с волновой функцией ц , в отличие от классической механики, квантовое состояние определяется только или координатой или импульсом. И. Пригожин представил функцию квантового состояния ц/ как амплитуду вероятности, для которой соответствующая вероятность р задается произведение амплитуды ij (q) и ц/(я ). Так что, функция квантового состояния у есть функция двух наборов переменных либо координат q и q , либо импульсов р и р . В эволюции квантовых систем И. Пригожин отводит ключевую роль резонансам Пуанкаре, чуждым локальному описанию поведения системы на уровне траекторий. Пуанкаре рассмотрел динамическую систему как характеризуемую суммой кинетической энергии ее частиц и потенциальной энергии, обусловленной их взаимодействием. Если взаимодействие отсутствует (потенциальная энергия равна нулю), то траектория движения частиц описывается интегрируемыми функциями. Пуанкаре доказал, что динамические системы в большинстве случаев являются неинтегрируемыми. Он также [c.66]

Несмотря на это, предпринят ряд попыток связать стохастичность квантовых систем в классическом пределе со свойствами стационарного энергетического спектра в квазиклассическом приближении. В работах [601, 602] показано, что стохастическому движению классической системы можно сопоставить нерегулярность энергетического спектра квантовой системы. В [155] на основе аналогии с классическими бильярдами выводится закон расталкивания случайных энергетических уровней в виде распределения вероятностей для расстояния между ближайшими уровнями АЕ [c.384]

В этой книге естественно завершена классическая ветвь динамики твердого тела, связанная с поиском возможных интегрируемых случаев. Вероятно, что другие случаи и интегралы, которые могут быть найдены в будущем, уже никогда не вызовут того внимания, как уже найденные и приведенные здесь. Классики пытались их использовать для понимания движения и делали это с переменным успехом. В динамике твердого тела увлечение геометрическими интерпретациями движения, восходящими к Пуансо, временами сменялось аналитическими исследованиями, большинство из которых, к сожалению, совершенно не было востребовано ни физиками, ни инженерами и вскоре становилось доступным лишь специалистам. [c.11]

Принцип детального равновесия. Из классической и квантовой механики известно, что для многих систем уравнения движения инвариантны относительно изменения направления отсчета времени (замены t на —/). Эта инвариантность позволяет получить очень важную связь между вероятностями протекания прямого И1 обратного процессов. [c.324]

Мы видели, что уравнения движения Ньютона инвариантны только при преобразовании Галилея, которое, как мы знаем, нельзя считать верным. Поэтому априори весьма вероятно, что эти уравнения, а возможно и другие известные законы физики не будут сохранять своей формы при преобразовании Лоренца. Из постулата эквивалентности следует, что такие законы не дают правильного отражения опытных фактов, и их следует так обобщить, чтобы они были инвариантными относительно преобразования Лоренца. Конечно, эти обобщения должны быть такими, чтобы для скоростей, значительно меньших скорости света, они переходили в классические законы, так как при этих скоростях преобразование Галилея является приближенно верным. [c.210]

Статистическая закономерность (закономерность поведения ансамбля), хотя и является уже иным типом каузальной связи, чем динамическая, но в то же время является ближайшей к ней по своему характеру, поскольку в основе ее лежит наложение реальных движений огромного количества дискретных частиц, входящих в статистический ансамбль. То, что это—иной тип каузальной связи для ансамбля, видно уже из необходимости ввести понятие о микроканоническом распределении и вероятности. То, что этот тип близок к динамическому, видно, во-первых, из того, что возможность рассмотрения такого ансамбля основана на экспериментально подтвержденном представлении о механическом однородном и независимом (на длине свободного пробега) движении каждой из частиц, входящих в ансамбль, и, во-вторых, из того, что описание поведения физических классических ансамблей осуществляется в статистической механике гамильтоновыми уравнениями с помощью тех же по форме и существу функций, которые применяются в классической механике. [c.873]

HF может сформироваться до того, как протон участвующего в реакции атома водорода окажется на том межъядерном расстоянии, которое соответствует основному электронному > состоянию молекулы HF. Таким образом, существует большая вероятность того, что после реакции протон будет находиться на большем расстоянии от атома F, чем равновесная длина связи HF. Следовательно, это приведет к классическому колебательному движению. Заметим, что для протекания реакции, записанной уравнением (6.22), необходим атомарный фтор. Его получают путем диссоциации тех или иных молекул, играющих роль донора для фтора, таких как SFs или молекулярный Ь г. Диссоциацию можно получить различными способами, например, при столкновениях с электронами в электрическом разряде (SFe -f- в —> SFs-j-F-j-e). [c.399]

В третьей части этой книги мы постараемся понять процесс эволюции во времени большой системы молекул. В принципе, вероятно, возможно рассмотреть поставленную задачу решив уравнение Лиувилля при надлежащем выборе начальных и граничных условий. Детальный анализ такого решения должен выявить все особенности, наблюдаемые в макроскопической физике. Сказанное основано на следующей фундаментальной идее если задана некоторая система, описываемая в момент времени f = О произвольным распределением ансамбля, то ее эволюцию во все последующие времена можно объяснить посредством точных законов классической или квантовой механики. Иными словами, мы утверждаем, что для понимания кажущегося противоречия между поведением большой совокупности молекул и основными законами движения не требуется никакой качественной модификации законов механики. [c.9]

Ограничения, накладываемые на начальные области, в классической теории являются некоторыми чуждыми основам теории требованиями, необходимыми для согласования с законами физической статистики. Эти ограничения означают, что начальный опыт может лишь установить, принадлежит ли микросостояние системы к той или иной из достаточно больших областей достаточно простой формы. Иначе говоря, они означают, что начальное измерение настолько грубо , что оно не может установить, принадлежит ли микросостояние системы к какой-либо из аномальных областей, осуществляющей противоречащее второму началу движение системы и, следовательно, обладающей очень малой величиной или очень сложной формой. Однако по истечении некоторого макроскопического времени т может оказаться, что, в противоречии со вторым началом, осуществится макроскопическое состояние, менее равновесное, чем начальное. Принятое нами ограничение начальных областей не исключает такой возможности, и, следовательно, возможности после времени т заключить, что в начальный момент осуществлялась одна из точек аномальной области. Но в силу принятого нами принципа равновероятности точек начальной области, содержащей аномальную область как свою очень малую часть, вероятность такого течения процесса будет совпадать с обычно определяемой вероятностью соответствующей флюктуации. [c.41]

По поводу этих работ Мизеса [14], [24], так же как и всех других работ такого типа, следует отметить, что они, по существу, вообще не относятся к той проблеме обоснования, которая рассматривается в настоящей работе,— к выяснению связи физической статистики и микромеханики. Мизес с самого начала отказывается от постановки задачи об установлении этой связи. Между тем, практическая невозможность решить уравнения механики для статистических систем совсем не означает принципиальную возможность от них отказаться и, в частности, не означает возможности отказаться от вполне поддающихся учету качественных следствий дифференциальных уравнений движения (на основании сказанного в 18, можно видеть, например, в каких случаях допустимо в классической механике исследование схемы цепей Маркова, а также можно видеть, что в этих случаях условие сим метрии вероятностей переходов не выполняется). Настоящая задача обоснования статистики заключается не в том, чтобы дать построение всей системы физической статистики, исходя из некоторых внутренних принципов, из специально выбранных аксиом, а в том, чтобы согласовать наличие вероятностных законов статистической механики с теми выводами, которые вытекают из микромеханики (например, в классической теории мы должны считать, что в каждом данном случае осуществляется определенное микросостояние, независимо от того, знаем ли мы его или нет, а в квантовой теории мы можем, например, извлекать следствия из стационарности [c.124]

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея з виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей) этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей. [c.25]

Эту концепцию легко обобщить на случай классической статистической механики. Однако ввиду того, что в этом случае начальные координаты и импульсы системы неопределенны, мы можем указать только распределения вероятности Р л р[. р п, . .. 9 ) для этих переменных. Вместо того, чтобы следить за движением отдельной точки в фазовом пространстве, мы должны следить за движением целого облака точек, представляющих ансамбль систем. Ожидаемое значение любой функции величин р1 и д г можно вычислить тогда путем интегрирования произведения этой функции на вероятность Р л по всему фазовому пространству. [c.121]

В частности, статистическое описание с введением вероятностей и усреднением по распределениям вероятностей лучше соответствуют описанию объектов, составленных из очень большого числа атомов. Если число атомов уменьшать, то на фоне вероятностного описания, которое не теряет своего усредненного по многим однотипным процессам смысла, начинают выступать и играть все большую роль индивидуальные процессы. Их можно назвать флуктуациями, и далее можно довольно произвольно выбирать степень детализации их описания. Например, движение броуновской частицы можно описывать как диффузию. А можно, повторяя часто измерения, описывать это движение как случайную марковскую цепь. В пределе, следя за частицей через очень малые промежутки времени, мы можем говорить об очень сложной траектории такой частицы. В любом случае, в применении к классической частице у нас не возникает сомнений в возможности сколь угодно точного описания. Однако для квантовой частицы это не так наблюдение сопровождается взаимодействием с макромиром, и это взаимодействие не может быть сколь угодно малым. Чтобы найти пути к более полному пониманию соответствующих эффектов, целесообразно сначала познакомиться с флуктуациями. [c.93]

В классическом режиме вероятность того, что данная орбиталь, соответствующая поступательному движению, занята, всегда очень мала по сравнению с единицей. При записи большой суммы в классическом режиме для системы, состоящей из такой орбитали, мы пренебрегаем членами порядка и более высокими степенями Я, так как эти члены соответствуют заселенности орбитали более чем одной молекулой. Такое приближение, как отмечалось выше, лежит в основе понятия классического режима. Для фермионной системы члены порядка и выше вообще никогда не играют роли. [c.154]

Общая причина движений, состояний, свойств физических объектов — взаимодействия между объектами и взаимодействия внутри объектов. Однако в каждом частном случае имеется своя конкретная причинно-следственная связь. Например, движение тела в механике полностью определяется силой, действующей на тело, положением и скоростью тела в некоторый начальный момент времени. По этим данным однозначно определяется положение и скорость его в любой другой момент времени. Иными словами, взаимодействия, положения и скорости материальных точек механической системы в некоторый момент времени есть причины, однозначно определяющие дальнейшее движение — следствие. По характеру причинно-следственных связей физические теории неоднородны. Так, классическая механика и электродинамика относятся к динамическим теориям, в которых эта связь однозначна причина А порождает одно следствие В. Но статистическая физика относится к другому виду теорий с неоднозначной причинно-следственной связью для отдельной частицы (в системе с большим их числом) причина А порождает не одно, а несколько следствий (В , В2, Вз и т. д.) с различной вероятностью наступления. Однозначной закономерность становится только для большого числа частиц, т. е. закономерность имеет вероятностно-статистический характер. Например, если вероятность следствия В, равна 0,1, то однозначно предсказания для одной частицы сделать нельзя, а для миллиона частиц событие наступит с очень небольшими отклонениями для ста тысяч, т. е. почти однозначно. [c.24]

Как мы видим, в этих условиях после отскока частицы от границы тела распределение вероятностей частицы коллапсирует, а с неопределенностью самого тела пока еще ничего не происходит частица может отскочить как от сплошной, так и от любой из пунктирных линий (см. рис. 4). Но если от одной и той же точки стенки отскочит не одна, а две падающие частицы, то точка их пересечения может быть локализована, и во внешний мир будет перенесена информация, что только точка сплошной линии является реальной. Еще двух частиц будет достаточно для того, чтобы зафиксировать угол направления сплошной линии в плоскости чертежа. Произойдет коллапс не только вероятностей для движения частиц, но и коллапс вероятностей расположения твердого тела. Как мы видим, одной лишь информационной связи с внешним миром достаточно для того, чтобы функция распределения вероятностей положения твердого тела коллапсиро-вала в состояние, отвечающее вполне определенному положению классического объекта (разумеется, с точностью до тепловых флуктуаций границы). [c.105]

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего важность соотношения неопределенностей для анализа явлений микромира, движение электрона в основном состоянии атома водорода. В теории Бора точечный электрон движется по орбитам, которые квантованы. Однако его движение по квантованной орбите ничем не отличается от механического перемещения частицы вдоль траектории в классической механике. В рамках квантовой механики нельзя говорить о движении электрона по траектории, но можно говорить о вероятности местонахождения электрона в той или иной области пространства. Это обстоятельство также связано с принципом неопределенности если электрон зафиксирован в какой-то точке пространства в какой-то момент времени, то его импульс, а следовательно, и скорость становятся полностью неопределенными и понятие траектории теряет смысл. Распределение вероятностей координат 3j/eKTpoHa в атоме водорода рассмотрено в 30. Здесь достаточно заметить, что имеются вероятности пребывания электрона достаточно далеко от ядра и достаточно близко. Наиболее вероятным расстоянием в основном состоянии является расстояние до первой боровской орбиты в теории Бора. Это заключение в принципе может быть подтверждено экспериментально. В настоящее время проведено достаточно много измерений распределения плотности электронного облака в атомах и эти измерения находятся в хорошем согласии с предсказаниями квантовой механики. [c.120]

Чему равна вероятность нахождения электрона вне классических границ его движения для шнейного осциллятора в первом возбужденном состоянии [c.186]

Область, где кинетическая энергия частицы по закону сохранения энергии становится отрицател1.ной, является в классической механике запрещенной. В квантовой механике абсолютного запрета на пребывание частицы в этой области нет. Найти для атома водорода а основном состоянии область, в которой электрон не может находиться по шконам ДЕ1Ижения классической механики, и вычислить вероятность того, что он находится в этой области по законам движения квантовой механики. [c.206]

Ф-лы (2, 3) имеют простой физ. смысл. В электрич. ноле энергстич. зоны наклоняются (рис, ), Если суммарная энергия электрона и дырки, равная Йси, больше Sg, то в этом случае волновые ф-ции электрона tpg и дырки 1 з, перекрываются коэф. поглощения а велик, а его осцилляции объясняются интерференцией падающей и отражённой от потенц. барьера (обусловленного полем Е) электронных волн. Интерференц. картина частично сглаживается после усреднения по направлениям движения. При суммарной энергии fia iSg классически доступные области для электрона и дырки пространственно разделены, однако их волновые ф-ции ipj и ярд всё же перекрываются своими экспоненциальными хвостами под барьером. Т. о., в электрич. поле поглощение при kaтуннелирования электрона и дырки под барьером. [c.346]

По сравнению с оптич. спектроскопией и инфракрасной спектроскопией Р. имеет ряд особенностей. В Р. практически отсутствует аппаратурное уширение спектральных линий, поскольку в качестве источника радиоволн используют когерентные генераторы, а частоту V можно измерить с высокой точностью. Отсутствует и типичное для оптич, диапазона радиационное ушире-вие, т. к. вероятность спонтанного испускания, пропорциональная V, в диапазоне радиоволны пренебрежимо мала. Из-за малой энергии к на единицу мощности приходится большое число квантов, что практически устраняет квантовомеханич. неонредеяёнвость фазы радиочастотного поля, к-рое можно описывать классически. Всё это позволяет получать информацию о веществе из точных измерений формы резонансных линий, к-рая определяется в Р. взаимодействием микрочастиц друг с другом, с тепловыми колебаниями матрицы и др. полями, а также их движением (в частности, Доплера эффектом в газах). Ширина линий в Р. меняется в очень широких пределах от 1 Гц для ЯМР в жидкостях до 101 Гц для ЭПР в концентриров. парамагнетиках, ферромагн. резонанса, параэлектрического резонанса ионов в твёрдых телах. [c.234]

Вероятно, целесообразно подчеркивать в современных курсах механики, что закон тяготения Ньютона в его классической формулировке справедлив для гравитирующих материальных точек. Для планеты Земля учет истинной формы Земли и реального распределения масс геоида приводит к более сложному выражению гравитационного потенциала и как следствие к дополнительным силам, вызывающим эволюцию орбит близких спутников Земли. Определение траекторий тени или трассы спутника на поверхности Земли является интересной задачей кинематики относительного движения. [c.31]

Второй случай предиссоциации. Как упоминалось ранее, граница между случаями I и II предиссоциации далеко не четкая. Разница в принципе заключается в том, что в случае II диссоциация может происходить чисто классическим путем всякий раз, когда фигуративная точка, представляющая колебательное движение, достигает соответствующей точки седла потенциальной поверхности, в то время как в случае I должен происходить дополнительно электронный переход, вероятность которого меньше единицы. Другими словами, в случае I предиссоциации достигается хребет пересечения (седловина) и возникает диссоциация не каждый раз, а только для части а таких благоприятных конфигураций ). Если величина а очень мала для данного случая I предиссоциации, например для триплет-синглетной интеркомбинации, не составляет труда различить I и II случаи предиссоциации. Но, если значение а больше, чем, скажем, 1/10, установить различие труднее, особенно для возбужденных электронных состояний. Несколько обязательных условий для идентификации данной предиссоциации как случая II установить-легко, однако пи одпо из них не является достаточным. [c.482]

Существует определенное сходство в формальных выражениях для матрицы плотности в квантовой механике и для корреляционной функции случайного классического волнового поля. Однако, по существу, эти физические объекты разительно отличаются друг от друга. Дело в том, что волновая функция квантовой механики в простейщем случае относится только к одной частице. Грубо говоря, она реальна только там, где эта частица существует, и имеет мало смысла для тех областей, где частицы нет. Можно сказать и по-другому. В квантовой механике все физические величины получаются в результате действия некоторых операторов на волновую функцию. Соответственно, средние значения этих величин можно получить путем их усреднения с весом ф . Отсюда видно, что абсолютная фаза и абсолютная амплитуда волновой функции не имеют физического смысла и могут быть выбраны для удобства расчетов по своему усмотрению. Поэтому сильные относительные изменения амплитуды в далеких по расстоянию точках не приводят к заметному изменению локальных физических величин, если градиент ф при этом изменяется ничтожно мало. По этой причине 1 / -функция приобретает смысл распределения вероятностей, а не распределения реальной плотности или волнового движения, как в случае классических полей. [c.57]

Условимся использовать это же самое дискретное ячеестое пространство и для описания механического движения системы классических частиц. Тогда мы сразу же сталкиваемся с понятием информации. Рассмотрим нашу механическую систему атомов в некоторый фиксированный момент времени. В этот момент ее фазовая точка находится в одной единственной ячейке из Г возможных ячеек. Можно сказать, что вероятность попадания в данную ячейку равна р = 1 /Г. Если учитывать все возможные ячейки, то систему атомов можно рассматривать как запоминающее устройство с информацион- [c.176]

Для описания броуновского движения классических моделей разработано два важных и, как правило, эквивалентных метода ланжевеновский, основанный на добавлении в уравнение движения, кроме сил трения, еще шумовых сил (их коррелятор определяется через константу затухания с помощью ФДТ), и марковский, основанный на уравнении Фоккера — Планка для условной вероятности перехода системы из одного состояния в другое. В последнее время в связи с развитием квантовой оптики и электроники эти методы были обобщены для описания броуновского движения квантовых систем, например, гармонического осциллятора или моды резонатора [5]. [c.74]

Эргодическая теорема. В классической механике динамические состояния изолированной системы описываются как движение фазовой точки в фазовом пространстве, поэтому динамическая величина А представляется зависящей от времени величиной = А (Pf), которая изменяется со временем в соответствии с движением фазовой точки. Следовательно, наблюдаемое значение набл величины А следует рассматривать как среднее по времени от At. Поскольку для системы в состоянии теплового равновесия величина 4набл остается постоянной, усреднение может проводиться по достаточно большому промежутку времени. Таким образом, принцип равной вероятности можно сформулировать следующим образом [c.19]

В этом случае квантовомеханич. законы движения приближённо переходят в классич. законы движения ч-ц по определ. траекториям, подобна тому как законы волн, оптики в аналогичных условиях переходят в законы геом. оптики. Условие малости де-бройлевской длины волны (22) означает, что рЬ %, где рЬ по порядку величины равно классич. действию для системы. В этих условиях квант действия ii можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханич. законов в классические осуществляется при В этом пределе исчезают все специфич. квантовомеханич. явления, напр, обращается в нуль вероятность туннельного эффекта. [c.259]

Вквантовой механике, в отличие от классической, для образования С. с. ч-ц необходимо, чтобы потенц. энергия притяжения и радиус действия сил были достаточно велики (см. Потенциальная яма, Нулевая энергия). Кроме того, в потенц. яме типа изображённой на рис. из-за возможности вылета ч-ц из области притяжения вследствие туннельного эффекта не образуется стабильных С. с., если энергия ч-цы больше потенц. энергии на бесконечности. Однако если вероятность туннельного перехода мала (в классич. пределе она равна нулю), то ч-ца в такой потенц. яме может находиться достаточно длит, время (по сравнению с периодами движения в яме). Поэтому наряду со стабильными С. с. суш,ест-вуют нестабильные (мета- или квазистабильные) С. с., к-рые с течением времени распадаются. Напр., нестабильными С. с. по отношению к а-распаду или (и) делению явл. ядра нек-рых тяжёлых элементов. [c.672]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...