Система N частиц классическая

Свободная энергия 13 Сечение рассеяния 49, 221, 245 Система N частиц классическая 115— 147 [c.404]

В основу классической статистической механики (1,2) систем многих частиц кладутся следующие вероятностные представления. Пусть имеется система N частиц. Вместо того, чтобы рассматривать все возможные значения, которые могут принимать координаты и импульсы частиц такой системы, можно рассмотреть всю [c.174]

Усредняя это выражение по классическому распределению Гиббса, получаем, что на каждую степень свободы классической статистической системы приходится в среднем кинетическая энергия, равная в 2. Полная средняя кинетическая энергия системы N частиц с s степенями свободы сверх трансляционных равна [c.130]

Классические системы N частиц [c.115]

Гл, 4. Классические системы N частиц [c.116]

Оценим в рамках идеологии дебаевского приближения среднее квадратичное отклонение узла, связанное с тепловым движением в равновесном кристалле. Пусть для простоты 0>0в ( классический кристалл). Если зафиксировать какую-либо частоту , то на нее приходится три коллективных колебания системы N частиц и в среднем энергия 30. Поэтому от колебаний с частотой со на одну частицу приходится энергия 3Q/N, откуда для потенциальной энергии частицы, совершающей гармоническое (но не свободное) колебание с частотой ю, в среднем имеем оценку [c.512]

Здесь Q(E)dE — число возможных состояний между Е и E+dE, которое на языке чисто классической механики пропорционально фазовому пространству для всей системы из N частиц с энергиями между Е и E + dE 0 — параметр, характеризующий канонический ансамбль. Множитель n( ) является очень быстро возрастающей функцией Е, тогда как яв- [c.21]

Правда, в классическом приближении, когда число частиц в системе N - д, ъ том микросостоянии, в котором находится частица-подсистема, практически никогда не будет ни одной частицы термостата. В этом случае каждое истинное микросостояние системы будет включать в себя ровно N таких микросостояний, которые при [c.149]

При температуре абсолютного нуля энергия газа должна быть минимальной, и поэтому в системе бозонов, а также в системе классических частиц все частицы занимают наинизший энергетический уровень =0, / 1, Л = Л ), а в системе фермионов частицы занимают N низших энергетических уровней в соответствии с принципом Паули [c.200]

Рассмотрим газ или жидкость из N одинаковых классических частиц, заключенных в объем V. Система описывается гамильтонианом [c.114]

Как известно из классической механики, систему из N частиц в случае пренебрежения их пространственной структурой (т. е. когда частицы рассматриваются как материальные точки) можно описать при помощи ЗМ дифференциальных уравнений, которым соответствуют 6Л интегралов движения, т. е. величин, сохраняющихся при изменениях, происходящих в системе. Полное число интегралов движения, естественно, задается тем, что в каждый момент времени система определяется ЗМ координатами и ЗА импульсами частиц (см., например, [1]). Среди 6А интегралов движения ) не все играют одинаковую роль. Чтобы выяснить эту роль, рассмотрим изолированную систему, т. е. систему, которая не подвержена действию внешних сил ). Для такой системы имеется десять интегралов движения, которые соответствуют физическим величинам, всегда сохраняющимся при любом произвольном взаимодействии между частицами системы во время движения. Эти величины, по крайней мере, в принципе можно измерить на опыте в рамках классической механики. 10 интегралов движения можно представить, в соответствии с их физическим смыслом, следующим образом 10 = 4-1-3-2. Цифра 4 соответствует закону сохранения [c.9]

Такое рассмотрение может быть проведено на основе использования метода молекулярной динамики. В рамках этого метода кристалл рассматривается как система N классических частиц (атомов), взаимодействующих по определенному закону, который задается потенциалом взаимодействия. [c.205]

Классическая система содержит N частиц, каждая из которых обладает 5 степенями свободы, так что ее поведение может быть описано при помощи фазовой (представляющей) точки в 2sN-мерном фазовом пространстве (Г-пространстве) с координатами Рь , Рб1 , ди , Чзм- Пусть О (рь. . ., t) dQ — число фазовых точек в элементе объема dg Г-пространства, [c.608]

Системой, рассматриваемой в классической кинетической теории газов, является разреженный газ, состоящий из N молекул, помещенных в сосуд объемом V. Температура газа предполагается достаточно высокой, а плотность достаточно низкой, так чтобы молекулы можно было рассматривать как локализованные волновые пакеты, размеры которых много меньше среднего межмолекулярного расстояния. Для этого необходимо, чтобы длина волны де Бройля молекулы была бы много меньше среднего расстояния между частицами [c.67]

Многие системы, представляющие физический интерес, могут рассматриваться классически. Большой класс таких систем описывается классическим гамильтонианом для N частиц, имеющим вид [c.325]

Решение. Пусть система состоит из N частиц, имеющих помимо трансляционных еще по з внутренних степеней свободы, и пусть движение системы описывается уравнениями классической механики. Тогда микроскопическое состояние такой системы фиксируется точкой в 2 X (3-Ь )Л-мерном фазовом пространстве импульсов и координат х = (р,д). Пусть ж — одна из компонент классического вектора состояния х (координата или импульс), такая, для которой гамильтониан +оо. Обозначая ( ж) , = (1x1. .. dX ,- dx + ... dX2 z .г) f, [c.129]

Идеальный газ, состоящий из N частиц массой т (подчиняющийся классической статистике), заключен в бесконечно высокий цилиндр, помещенный в однородное гравитационное поле, и находится в состоянии теплового равновесия. Вычислить классическую статистическую сумму, свободную энергию Гельмгольца, среднюю энергию и теплоемкость системы (см. также гл. 1, задача 15). [c.150]

Классическую статистическую сумму для системы N взаимодействующих частиц можно записать в виде [c.115]

Остановимся теперь на характеристике исследования статистических систем. Не повторяя всего уже сказанного по этому поводу в первом разделе книги, отметим еще раз, что проведение сформулированной выше программы исследований не может основываться на использовании одного лишь аппарата механики. По самому характеру поставленных задач мы не можем даже воспользоваться решениями, к примеру, классической механической задачи (в общих рассуждениях этого параграфа мы ради наглядности ограничиваемся вариантом классической механики, при квантовомеханическом рассмотрении эта наглядность затушевывается еще и рядом других проблем) о движении каждой из N частиц системы, даже если имеется возможность (конечно, явно фантастическая) получить таковые, так как для этого нам необходимо располагать очень большой дополнительной информацией [c.271]

В связи с чем мы можем говорить, что, измеряя температуру классической системы, мы тем самым измеряем среднюю кинетическую энергию всех N частиц системы (в расчете на одну частицу системы или нет — это уже частное дело), причем теоретический предел погрешности этого измерения ввиду малости относительной флуктуации этой величины (6e jV 2) при V>1 чрезвычайно мал. [c.404]

В квантовой механике роль, подобную роли классической функции распределения >лг, играет матрица плотности р у 3, 41. Например, в координатном представлении матрица плотности системы N частиц является фушщией времени и координат и дискретных спиновых переменных ) частиц [c.206]

Задача 2В. Для классической системы N частиц с парным взаимодействием написать цепочку уравнений Боголюбова для функций распределения Р,. Записать первые два уравнения этой цепочки, выделив корреляционные чааи в функциях Ег и з. [c.399]

Вернемся теперь к нашей обычной классической системе N взаимодействующих между собой частиц с оператором Лиувил-ля Z/ в виде (2.4.15) и с = 0. Локально равновесное состояние такой системы определяется функцией распределения ) [c.326]

Функции распределения в фазовом пространстве. В классической механике динамическое состояние системы с / степенями свободы определяется набором обобщенных координат q) = Qi, и импульсов (р) = (Pi, или заданием точки (q p) =. ..,..., ру>) в 2/-мерном фазовом пространстве системы Г. В частности, система из N частиц может быть описана с помощью 3N декартовых координат (г ,...,гдг) = q ,... и соответствующих импульсов (р1,...,рдг) = (р1,...,рздг). Они определяют точку (г ,..., Гдг,Р1,..., рдг) в 6А -мерном фазовом пространстве Гдг. Динамические состояния системы называются также микроскопическими состояниями в отличие от макроскопических состояний, которые мы введем позже. [c.12]

Обобш,енное кинетическое уравнение. Рассмотрим систему N тождественных классических частиц, заключенных в объеме V. Как и ранее, фазовые переменные каждой частицы будут обозначаться через х- = (r ,pj. Кроме того, будут рассматриваться группы из s частиц соответствующий набор фазовых переменных обозначим через 2,..., х ). Почти во всех интересующих нас случаях гамильтониан системы может быть представлен в виде [c.164]

Теперь ставится задача пояснить некоторые основные идеи метода статистической механики при постановке и решении задач динамики сложных систем, подчиняющихся законам классической механики, и вывести некоторые законы, принимаемые в МСС аксиоматически. Рассматривается свободная замкнутая механическая система состоящая из N частиц, взаимодействующих между собой и с внешними телами, имеющая степеней [c.13]

I = О система классических упругих частиц проэволюционирует к моменту времени t к такому состоянию, что при обращении времени система в точности повторит свою эволюцию в обратном порядке. Разумеется, такое "обратное кино" можно реализовать и просто мгновенным преобразованием скоростей v, — —v у каждой г-й частицы из полного набора N частиц. Итак, молекулярная механика газа обратима во времени, что явно не согласуется с нашими житейскими представлениями. [c.173]

Более органичным и естественным подходом к исследованию систем многих частиц является использование вероятностного формализма. Заметим сразу, что такой подход не исключается и при рассмотрении чисто механических проблем (см. 2). Именно, вместо отыскания траекторий отдельных частиц г, = rj(i, Г (0),..., глг(О)) (в варианте классической теории), т. е. решения задачи с начальными условиями, мы будем строить функцию распределения, например г лг(г , такую, что величина dr . .. dr определяет вероятность нахождения частиц системы в бесконечно малых объемах (fi, Г + dri),. .., (г , + йглг) в момент времени t. Качественно новый по сравнению с традиционной механикой элемент рассмофения состоит в том, что микроскопическое представление об изначальной дискретности системы при использовании вероятностного способа ее описания не сохраняется если усилия классической механики направлены на отыскание траекторий движения каждой из N частиц системы (причем дискретный характер системы сохраняется в теории всегда), то основное внимание статистической теории уделяется [c.18]

Чтобы перейти от общего случая к классическому описанию систем N частиц, мы могли бы воспользоваться процедурой квази-классического перехода (именно в результате этого перехода появляются траектории отдельных частиц и другие атрибуты классического рассмотрения) и получить все, что надо, так сказать, без идейных затрат. Но нас сейчас интересуют не квантовые поправки и не критерии классичности системы, а лишь способ фиксации состояния. Поэтому вспомним просто механику, в которой микроскопическое состояние материальных точек можно полностью определить, задав в какой-либо определенный момент времени t их координаты g = (Г[,..., гдг) и импульсы р — (Pi,..., Рлг)- Иными словами, микроскопическое состояние классической системы можно задать как точку (9>Р) = (гь i rAr, Pi,. , Рлг) в бЛГ-мерном пространстве импульсов и координат частиц, которое называется фазовым пространством. Эволюция этого состояния описывается уравнениями классической механики, например системой канонических уравнений Гамильтона (W. Hamilton, 1834) [c.24]

Вместе с тем с точки зрения квантового подхода — это одно и то же состояние. Чтобы избежать этих повторений при переходе от общего квантовомеханического описания системы к классическому, мы должны либо ограничить область фазового пространства многомерным клином, так чтобы любая перестановка индексов частиц выводила бы фазовую точку р, д) за пределы области рассмотрения и не учитывалась бы (на рис. 15 — это заштрихованная область), или, используя все фазовое пространство, учесть, что каждое тождественное с точки зрения квантовой теории состояние в предельном классическом случае будет повторено N1 раз (число перестановок друг с другом N индексов частиц 1, 2, 3,..., М). Поэтому в появляющихся в результате квазиклассического перехода интегралах по фазовому пространству р,д), под знаком которых стоят функции от динамических величин для системы N одинаковых частиц (функция Гамильтона Н р,д) и т.д.), которые в силу тождественности частиц не изменяются при перестановках их индексов, необходимо либо ограничить указанным выше способом область интефирования в пространстве (р, д), либо интегрировать по всему фазовому пространству, повторяя при этом каждое доклассическое состояние систе мы N1 раз, и затем, чтобы не получить величину, в ЛГ раз большую допредельной, разделить весь интефал на ЛГ . [c.69]

Относительные флуктуаций этих величин, относящихся к отдельной частице системы, как мы видим, не малы. Некоторые авторы связывают понятие температуры со средней кинетической энергией е. На уровне столетней давности, когда кроме распределения Максвелла ничего другого не было, это еще как-то звучало. Действительно, для классической системы = кв (для нерелятивистской системы, когда = р /2т, мы определили, что к = 3/2), но в общем случае такой пропорциональности не сушествует, и попытка построить определение общей характеристики (такой, в частности, как температура в) на результате для частного случая вряд ли может в настоящее время считаться научной. Далее, если бы мы могли измерять энергию отдельных частиц, помешенных в термостат, то мы получили бы разброс в результатах порядка 80 % (такого разброса в показаниях термометра ннкто никогда не наблюдал). Но мы построили теорию не для одной частицы, а для системы N тел. Заметим, что в классической системе одинаковых частиц средняя кинетическая их энергия равна [c.115]

Использование гармонического приближения можно оправдать лишь в том случае, когда амплитуды колебаний узлов по сравнению с межатомным расстоянием а — у/уЩ, достаточно малы, т. е. 7 = х /а -С 1. Оценим в рамках идеологии деба-евского приближения среднее квадратичное отклонение узла, связанное с тепловым движением в равновесном кристалле. Пусть для простоты в > 9 ( классический кристалл). Если зафиксировать какую-либо частоту ш, то на нее приходится три коллективных колебания системы ЛГ частиц и в среднем энергия Ъв. Поэтому от колебаний с частотой ш на одну частицу приходится энергия Ъв/N, откуда для потенциальной эн 1гии частицы, совершающей гармоническое (но не сюбодное) колебание с частотой ш, в среднем имеем оценку [c.203]

Конечно, система большого числа магнитных моментов — это статистическая система, а не какие-то санки , но объяснение спинового эха на основе продемонстрированного выше динамического подхода полностью уподобило бы его парадоксу Лошмидта (см. гл. 5, 6-е)). Напомним, что в системе из нейтральных частиц типа газа Лошмидт предложил в момент t = <0 мгновенно поменять скорости всех N частиц газа, v, —> -v,, i = 1,..., JV. Тогда в соответствии с законами механики к моменту t = 2<о система возвратится в свое начальное (при t = 0) состояние, сколь далеким от равновесного оно бы ни было заранее (при t < 0) приготовлено. Так как реально эту операцию переключения скоростей произвести невозможно, то для ее хотя бы мысленной реализации необходимо воспользоваться услугами демона Максвелла. Этот хитрый демон был придуман для того, чтобы путем создания вечного двигателя второго рода опровергнуть П начало термодинамики не совершая физической работы и не потребляя никакой энергии, он способен сортировать частицы равновесного классического газа по скоростям, пропуская через вбвремя открывающуюся дверцу в отдельный контейнер только быстрые. Таким образом, без энергетических затрат возникает подсистема с более высокой температурой, которую уже можно было бы использовать как нагреватель для обычной тепловой машины. [c.398]

Лебовиц [23] недавно исследовал флуктуации полного линейного импульса системы. Рассмотрим некоторую классическую систему N бесструктурных частиц с массой т. Ради простоты изложения предположим, что силы, действующие в системе, являются центральными двухчастичными силами. В этом случае гамильтониан можно записать в виде [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...