Динамические системы с простейшими установившимися движениями

Последние уравнения можно рассматривать следующим образом. Мы нашли 2N функций, и от фазовых переменных 9, р, а также от времени, которые обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории динамической системы Еще более четкая картина получится, если из этих 2N уравнений исключить зависимость от времени. Тогда останется множество 2N — 1 функций тллько от переменных фазового пространства. Эти функции обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории их можно обозначить специальными символами Ф (д, р), / = 1, 2,. . ., 2ЛГ — 1. Такие функции называются интегралами сохранения, или просто интегралами, или кон-стлнтлми движения. Таким образом, мы в самом общем виде установили существование 2N — 1 интегралов движения. Приписывая интегралам движения множество численных значений [c.355]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...