Связи материальной системы и перемещения ее точек

Глава XII. СВЯЗИ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ЕЕ ТОЧЕК ) [c.310]

Последуюш,ее развитие механики характеризуется углубленным изучением ранее намеченных разделов и появлением ряда ее новых ветвей. Дальнейшее обоснование принципа возможных перемещений, сформулированного Лагранжем, было проведено П. С. Лапласом (1749— 1827), который ввел реакции связей, действующие на каждую точку материальной системы, и сделал предположение об идеальности связей. М. В. Остроградский (1801 — 1861) обобщил принцип возможных. перемещений, распространив его на неудерживающие связи. [c.12]

Т. е. 1) дифференциал кинетической энергии материальной системы на бесконечно малом ее перемеи ении равен алгебраической сумме элементарных работ всех сил на соответствующих перемещениях их точек приложения 2) приращение кинетической энергии материальной системы на конечном ее перемещении равно алгебраической сумме полных работ всех сил на соответствующих перемещениях их точек приложения. Слова всех сил означают в обоих случаях всех заданных сил и реакций связей или всех внешних и внутренних сил. В законах количеств движения и кинетических моментов внутренние силы не фигурировали, ибо их главный вектор и главный векторный момент относительно любого центра равны нулю но алгебраическая сумма работ внутренних сил в общем случае материальной системы не равна нулю, как показано в п. 5° 2 она равна нулю в частном случае абсолютно твердого тела, но уже для упругого тела не равна нулю ). [c.206]

Т. е. если связи материальной системы идеальны и двусторонни, то алгебраическая сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции на всех виртуальных перемещениях точек системы равна нулю. [c.389]

Итак, под несвободной (или связанной) механической системой будем понимать систему материальных точек с наложенными на нее дополнительными условиями, связывающими в общем случае радиусы-векторы и скорости ее точек. Эти дополнительные условия, ограничивающие свободу перемещения системы, называют связями. Аналитически связи выражаются уравнениями, а конкретно реализуются в виде поверхностей различных тел, твердых стержней, нерастяжимых нитей и т, д. [c.145]

Применяя совместно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений к движущейся системе, можно сделать следующий вывод при движении системы, на которую наложены совершенные связи, сумма элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек системы равна нулю при любом возможном перемещении системы из занимаемого ею в каждый данный момент положения. [c.391]

Предположим противное, т. е. что хотя бы одна точка М,, помещенная без начальной скорости в такое положение, будет двигаться. Точка может при этом двигаться согласно со связями в направлении равнодействующей заданных сил Fv и сил реакции связей Rv, если не имеет начальной скорости. Работа этих сил Fv + Rv на действительном элементарном перемещении точки Mv (dxv, dy , dz ) будет положительной, если точка действительно движется (аналогично для каждой точки системы). Следовательно, полная работа заданных сил Г, и сил реакции Rv на действительном перемещении должна быть положительной, если система движется из покоя. В самом деле, движения точек материальной системы должны при этом происходить в согласии с наложенными на систему связями это значит, что возникающие при этом перемещения dx , dy , dz-, должны являться некоторыми из возможных 6xv, бг/v, 6zv. При этом [c.74]

Силовой расчет механизмов можно выполнить различными способами. Однако в последнее время пользуются преимущественно принципом Даламбера, который формулируется так если к каждой точке материальной системы, кроме равнодействующей заданных сил и реакций связей, приложить еще силу инерции этой точки, то уравнениям динамики можно придать форму уравнений статики. Основанный на принципе Даламбера силовой метод расчета, который состоит в перенесении методов статики в решение задач динамики механизмов и машин, называют кинетостатическим расчетом механизмов в отличие от статического расчета, при котором силы инерции звеньев не учитываются. Таким образом, если закон движения материальной системы известен, то, присоединяя к точкам этой системы, кроме задаваемых сил и реакций связей, также фиктивные силы инерции, можно рассматривать эту систему условно находящейся в равновесии и определять неизвестные силы методами статики, т. е. с помощью уравнений равновесия или принципа возможных перемещений. [c.342]

Внешние и внутренние силы. Пусть S есть какая угодно материальная система, т. е. система, состоящая из одного или нескольких тел (твердых, жидких или газообразных). Мы будем рассматривать ее как совокупность материальных точек и предполагать, что она находится под действием системы сил, в которую входят также и реакции. Эти реакции представляют собой действия связей, которые ограничивают свободу перемещения отдельных материальных точек системы. [c.102]

Определение напряжений и перемещений при заданных ускорениях основано на приведении задач динамики к задачам статики с помощью известного из курса теоретической механики принципа Даламбера (метода кинетостатики). Напомним, что этот принцип состоит в следующем если в любой момент времени к каждой материальной точке данной системы приложить силу инерции этой точки, то эти силы инерции будут уравновешиваться заданными силами, действующими на систему, и реакциями связей, т. е. система может рассматриваться как находящаяся в состоянии покоя (или равномерного прямолинейного движения). [c.469]

В задачах статики, решение которых методом обобщенных координат мы рассмотрели в предыдущем параграфе, связи, наложенные на механическую систему, всегда являются стационарными. Но в динамике связи могут быть и нестационарными. Каковы же будут возможные перемещения точки или системы материальных точек в случае нестационарных связей Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала материальную точку М, принужденную перемещаться по заданной поверхности, которая сама движется определенным образом в пространстве в уравнение такой движущейся поверхности, поскольку ее положение в пространстве изменяется с течением времени, будет входить аргумент t, и, следовательно, это уравнение имеет вид [c.544]

Теорема. Если связи, наложенные на систему материальных точек, таковы, что среди возможных перемещений имеется поступательное перемещение всей системы как одного целого вдоль неподвижной оси х, то центр масс системы будет двигаться вдоль этой оси как материальная точка, масса которой равна сумме масс всех точек системы и на которую действуют все внешние активные силы, приложенные к точкам системы, т. е. [c.309]

Чтобы убедиться в том, что в условии (13.1) содержится вся статика, т. е. что из нового условия равновесия можно получить известные из статики условия как частные случаи, выведем из (13.1) условия равновесия твердого тела его можно рассматривать как частный случай материальной системы оно состоит из бесчисленного множества точек, причем каждая пара точек связана идеальным стержнем так как все эти связи стационарны, то действительное перемещение является одним из виртуальных и формула (8.6), выведенная для действительных перемещений, тем же методом выводится и для виртуальных, т. е. мы имеем [c.353]

Мы приходим к формулировке принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах для равновесия сил в каждой точке материальной системы с голономными, идеальными и двусторонними связями необходимы и достаточны условия (13.25), т. е, все обобщенные заданные силы должны равняться нулю. [c.373]

Вопрос об исключении неизвестных сил реакций встречается уже в статике при нахождении условий равновесия системы материальных точек. Наиболее общим принципом, позволяющим получить условия равновесия системы материальных точек, является принцип виртуальных перемещений (или виртуальной работы). Как было отмечено в 3 гл. I, виртуальным перемещением системы называется перемещение, которое система совершает при виртуальном варьировании ее обобщенных координат. Под виртуальным варьированием при этом понимается бесконечно малое изменение координат, совместимое с наложенными на систему связями и совершаемое в фиксированный момент времени. Принцип виртуальных перемещений обычно формулируется для специального, достаточно широкого класса связей, называемых идеальными связями. По определению связь является идеальной, если силы реакции этой связи при любом виртуальном перемещении системы не совершают никакой работы, т. е. [c.91]

Уравнение (117.3) называемое общим уравнением динамики, показывает, что в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю. [c.319]

Применим к данной системе материальных точек общее уравнение динамики, т. е. приравняем нулю сумму работ задаваемых сил (включая силы реакции неидеальных связей) и сил инерции на возможных перемещениях точек системы [c.420]

Принцип возможных перемещений (Иоганн Бернулли (1667—1748)). Необходимым и достаточным условием равновесия системы материальных точек, подчиненной геометрическим стационарным неосвобождающим и идеальным связям, является равенство нулю суммы элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия, т. е. [c.309]

Для этой цели вспомним прежде всего, что если вводятся реакции связей Ri, то точки системы ведут себя так, как свободные материальные точки, на каждую из которых действует сила B,i. Поэтому всякая точка Р,-, которая начинает действительно двигаться из состояния покоя (по предположению, существует, по меньшей мере, одна такая точка), испытывает в первый элемент времени dt перемещение 8Р<, которое, в силу закона возникающего движения (гл. Vn, п. 12), будет иметь направление и сторону соответствуюш ей силы Fi - так что виртуальная работа - - J ,-) 8Р , совершенная этой силой, будет существенно положительной i). [c.248]

В 114 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работа реакции N равна нулю. Затем в 148 было показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой поверхности работа нормальной реакции N и силы трения Р (т. е. касательной составляющей реакции) равна нулю. Далее, работа реакции Л шарнира (см. рис. 10), если пренебречь трением, будет также равна нулю, поскольку точка приложения силы Л при любом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, если на рис. 322 материальные точки и В рассматривать как связанные жестким (нерастяжимым) стержнем В1В , то силы и будут реакциями стержня работа каждой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанному дает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с учетом сделанных оговорок считать идеальными. [c.377]

Теорема Лагранжа. Для того чтобы система. материальных точек, на которую наложены односторонние идеальные связи, не зависящие явно от времени, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма работ всех активных сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении системы, была бы неположительной, т. е. удовлетворяла бы условию [c.160]

Рассмотрим случай, когда на систему материальных точек наложены идеальные, не зависящие явно от времени, голономные связи. Предположим, кто в некоторый момент времени связи внезапно снимаются (например, при взрыве летящего снаряда). За время удара происходит освобождение системы от связей. В течение времени удара возможные перемещения системы находятся в соответствии с наложенными связями. При этом среди возможных перемещений находятся и действительные перемещения до удара (соответствующие уравнениям связи), т. е. перемещения, пропорциональные скоростям точек системы до удара [c.612]

В 1788 г. Лагранж, обобщая работы своих предшественников сформулировал весьма удобный в приложениях принцип виртуальных перемещений, устанавливающий условия равновесия системы материальных точек с идеальными и стационарными связями. Многие годы это был именно принцип, т. е. положение, принимаемое без доказательства. В настоящее время предпочитают, пользуясь законами Ньютона и их следствиями, все условия этого принципа строго доказывать, иначе говоря, принцип стали рассматривать как теорему. Помня об анахронизме названия, мы сформулируем и приведем доказательство принципа виртуальных перемещений для частного случая, когда связи не только идеальные и стационарные, но и удерживающие ). [c.414]

Перейдем теперь к формулировке принципа виртуальных перемещений необходимое и достаточное условие равновесия системы материальных точек с идеальными связями заключается в равенстве нулю виртуальной работы задаваемых сил, т. е. [c.92]

Уравнения Лагранжа (28.11) были получены из принципа Даламбера (28 2) путем исключения зависимых виртуальных перемещений с помощью формул (28 3), представляющих собой преобразование радиусов-векторов материальных точек системы к ее обобщенным координатам да Следует иметь в виду, что сам выбор обобщенных координат системы неоднозначен. Для одной и той же системы всегда можно указать несколько наборов независимых параметров, однозначно определяющих ее положение в пространстве и удовлетворяющих уравнениям связей. Последнее означает, что обобщенные координаты да какого-нибудь одного набора можно задать с помощью однозначных функций х параметров да и времени составляющих другой возможный набор обобщенных координат [c.164]

Система материальных точек предполагается несвободной, т. е. движение системы и возможные перемещения ее точек стеснены связями (п. 1.1 гл. XVII). Связи, как это было оговорено, предполагаются [c.324]

Возможные перемещения могут быть как освобождаю-щ и м и, при которых некоторые из точек системы покидают нало.женные на систему связи (освоболадаются), так и н е о с-в о б о ж д а ю щ п м и, при которых наложенные на систему связи сохраняются и после перемещения системы. Так, например, материальная точка М, подвешенная при помощи нерастяжимой гибкой нити к неподвижной точке О (рис. 121), может находиться в равновесии под действием некоторых сил, если расстояние точкп от центра не превышает длины нити. Условие связи здесь может быть записано в виде неравенства (соединенного с равенством) [c.156]

Необходимым и достаточным условием равновесия го-лономной материальной системы, подчиненной только идеальным связям, является равенство нулю работы всех активных сил на любом виртуальном перемещении точек материальной системы, т. е. [c.30]

Рассмотрим систему N материальных точек Р (v = 1, 2,. N). Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеальными. Пусть бг — виртуальное перемещение точки Pv, т., — ее масса, w — ускорение в ииерциаль-ной системе координат, а F — равнодействующая всех активных сил, приложенных к точке Pv. Тогда имеет место общее уравнение динамики (п. 57) [c.226]

Движение относительно центра тяжести. Рассмотрим снова материальную систему S кз N точек Р,- с двусторонними связями без трения и обозначим через W)Pi(i=l, 2,. .., /V) какое-нибудь иртуальное перемещение системы Sотносительно центра тяжести G (т, е. относительно системы осей с началом в G и с неизменными по отношению к галилеевым осям направлениями) и через уско рение относительно О точки Р,-. Будем иметь [c.273]

Сравнивая затем уравнение (16 ) со вторым уравнением (4 ) (отнесенным к центру тяжести) и припоминая еще тождество K )z= K, заключаем, что если для какой-нибудь материальной тстемы связи, предполагаемые двусторонними и без трения, допускают произвольное перемещение (виртуальное) ее как неизменяемой системы, то реакции, которые возникают под действием каких угодно сил, имеют относительно центра тяжести результирующий момент, постоянно равный нулю. [c.275]

Другой пример, с некоторой точки зрения более обилий, мье имеем, когда речь идет о материальной системе со связями, независящими от времени, без трения и двусторонними. В силу первого предположения всякое из элементарных перемещений, которые испытывает система во время ее движения, является виртз альным перемеп1ением (т. I, гл. VI, и. 13), так чго благодаря второму [c.279]

Чтобы дать простейший пример, рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек Р, Pj, движущихся без трения по прямой Ох, и предположим, что, в то время как точка Р подвергается действию какой-нибудь активной силы, составляющая которой по оси X есть X, при помощи подходящего автоматического устройства осуществляется воздействие на точку Pj некоторой силы Ф, вынуждающей эту точку следовать за Р при ее движении на неизменном расстоянии. Сервомоторная сила Ф, осуществляющая эту динамическую связь, не удовлетворяет всем условиям, характеризующим идеальные связи, так как работа этой силы не равна нулю при всяком бесконечно малом перемещении, совместимом со связями. Действительно, здесь единственной связью является динамическая связь, вынуждающая точку Pj сохранять неизменным ее расстояние от точки Р, а так как перемещение Зх точки Р, равное перемещению точки Pj, остается произвольным, то работа ФЗх сервомотор-ной силы отлична от нуля, поскольку, вообще говоря, не исчезают ни тот, ни другой сомножители. Отсюда следует, что сервомоторная сила Ф при постановке задачи о движении должна рассматриваться как прямо приложенная к системе, а не как реактивная сила, осуществляющая связь без трения неизменяемой системы двух точек PPj. [c.319]

Рассмотрим теперь произвольную деформирующуюся материальную систему в положении равновесия легко видеть, что как вся система в целом, так и любая произвольно выбранная часть её должны удовлетворять условиям (38.1) равновесия твёрдого тела. Заметим предварительно, что прибавление новой связи не может нарушить равновесия системы в самом деле, прибавление связи стесняет простор для выбора виртуальных перемещений системы следовательно, виртуальные перемещения системы с добавочной связью входяг, как частная система, в состав виртуальных перемещений для системы без добавочной связи а потому, если активные силы не давали работы на любом из виртуальных перемещений при отсутствии добавочной связи, то они не дадут работы и на виртуальных перемещениях при наличии этой связи. Отсюда вытекает, что любая материальная система обязана в своём положении равновесия подчиняться всем условиям, найденным для твёрдого тела, так как равновесие этой системы не должно нарушиться и в том случае, если бы система затвердела. Прилагая условия равновесия твёрдого тела сначала ко всей системе, а затем к соответственно выбранным частям её, мы можем таким путём найти все те условия относительно приложенных сил, которые для нас интересны. Вообще говоря, для полного решения задачи о равновесии деформирующегося тела нам пришлось бы разбить его н бесконечно малые элементы, т. е. повторить указанный приём бесконечное множество раз в результате мы вернулись бы к основным уравнениям (36.10) на стр. 374 но часто случается, что, приложив указанный метод к двум, трём или более, но всё-таки к конечному числу частей системы, мы уже сможем найти всё, что нам нужно. [c.411]

Гибкая нерастяжимая нить достаточно часто используется в качестве модели протяженных материальных объектов, обладающих значительной жесткостью при растяжении, когда поля внешних сил достаточно малы и вызывают пренебрежимо малые продольные деформации. К числу таких систем следует отнести тросовые системы, особенно при исследовании их поведения в полях с малой гравитацией в космическом пространстве, нити в ткацком деле и т. д. Особенность данной модели является то обстоятельство, что на перемещения точек нити наложена голономная связь — нерастяжимость нити в любом ее месте. Пусть Одг,лг2Хз инерциальная система координат, относительно которой рассматривается движение механической системы (П, (Q), (i), где П = [О, /], E(Q) — кольцо борелевских подмножеств множества П, д — мера на этом кольце заданная посредством функции плотности p(s), S е [0,1] так, что d x = pds и [c.283]

Дадим грузу А возможное перемещение 8г по вертикали вниз. (Не следует считать, что направления движения какой-либо материальной точки и ее возможного перемещения должны обязательно совпадать. Направление движения точки зависит от системы сил, которые к ней приложены, возможное же перемещение точки, рассматриваемое из данного положения, зависит только от связей, наложенных на эту точку, в остальном оно произвольно.) При этом, в силу нерастяжи-мости нити, груз В получит равное по модулю возможное перемещение, направленное вдоль наклонной плоскости вверх, а блок D получит угловое возможное перемещение 8ср. Взяв точку нити на ободе блока, получим зависимость между линейным и угловым возможными перемещениями [c.420]

Принцип виртуальных перемещений. В применении к системе материальных точек принцип виртуальных перемещений состоит в следующем для равновесия системы материальных точек со стационарными и идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма алементарных работ всех действуюш,их на систему активных сил при всяком виртуальном перемещении системы была равна нулю для связей неосвобождающих) или же была равна нулю или меньше нуля (для связей освобождающих), т. е. соответственно ) [c.294]

Заметим, что существуют связи, изменяющиеся с течением времени. Представим себе, например, связь, требующую, чтобы данная материальная точка М оставалась иа некоторой горизонтальной плоскости, причем сама эта плоскость совершает некоторое заданное движение в вертикальном направлении (это может быть осуществлено посредством двух гаризонтальных направляющих плоскостей, между которыми помещена точка М и которые сами движутся в вертикальном направлении). В подобных случаях под виртуальным перемещением системы следует понимать ничтожно малое перемещение, допускаемое связью, взятой для определенного момента времена, т. е. такое ничтожно малое перемещение, которое допускалось бы связью, если бы оиа не изменялась с теаением времени. Так, в только что указанном примере возможное перемещение точки М есть ничтожно малое перемещение в горизонтальном направлении другими словами, под виртуальным перемещением точки М в этом примере нужно понимать ее относительное перемещение по отношению к движущимся направляющим, но не абсолютное перемещение, складывающееся из этого относительного перемещения и из переносного перемещения в вертикальном направлении вместе с направляющими плоскостями. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...