Метод разложения по собственным формам

Определим элементы матрицы динамической податливости методом разложения по собственным формам. Для этого в заданном диапазоне частот вычисляются все собственные частоты и соответствующие им формы колебаний, где I — номер собственной частоты в порядке ее получения при расчете. Матрица Ф ( ., f) получается суммированием податливостей Ф /), соответствующих [c.135]

Рассмотренная система дифференциальных уравнений может быть решена с помощью различных методов. Наиболее распространенными являются метод разложения по собственным формам и методы шагового интегрирования. Трудность решения этих уравнений по частям [c.175]

При решении методом разложения по собственным формам колебаний зависимость между формами колебаний отдельных частей устанавливается из частотных уравнений. [c.176]

Задачу решаем методом разложения по собственным формам колебаний, определяемых последовательными приближениями. [c.312]

Тем не менее, необходимо иметь в виду следующее важное преимущество метода разложения по собственным формам, которое делает реальным расчет некоторых конструкций, в то время как прямое интегрирование становится недопустимо дорогим. [c.50]

Метод разложения по собственным формам [c.442]

Рис. 12.5. Решение методом разложения по собственным формам колебаний а) разложение перемещений по трем формам, б) разложение по первой форме

Метод разложения по собственным формам. Введем нормальные координаты [c.116]

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ [c.236]

Применение метода разложения по собственным формам дает [c.240]

Общее решение вида (3.5) используется при анализе крутильных колебаний слоя (вынужденных или свободных) g другими граничными условиями на лицевых поверхностях, которым не удовлетворяет решение (3.4). В частности, можно применить метод разложения по собственным формам колебаний (3.5). [c.249]

Расчет собственных колебаний требует в случае систем большого размера весьма больших затрат машинного времени. Поэтому решение динамических задач методом разложения по собственным формам целесообразно выполнять в том случае, когда для получения приемлемой точности результатов достаточно ограничиться учетом лишь нескольких основных тонов колебаний. Однако во многих случаях (например, при расчете сложных стержневых или оболочечных конструкций) требуется учитывать большое число тонов собственных колебаний, и метод разложения по собственным формам становится неэффективным. В этих случаях более экономичным оказывается прямое интегрирование дифференциального уравнения (9.14) [c.373]

Как уже говорилось выше, численное интегрирование можно применить и в методе разложения по собственным формам при решении уравнений (10.24). С другой стороны, всякая матрица v может быть единственным образом представлена в виде разложения по формам собственных колебаний (если включить в это разложение все формы). Процесс численного интегрирования уравнения (10.32) можно понимать как неявное пошаговое определение коэффициентов этого разложения, являющихся функциями времени. То же самое, только в явной форме, делается и при интегрировании уравнений (10.24). Таким образом, пря.мое интегрирование уравнения (10.32) можно трактовать как неявное и одновременное выполнение тех же вычислений, которые в методе разложения по собствен- [c.373]

Имеются, однако, и принципиальные различия между двумя указанными подходами к расчету динамического поведения конструкции. Во-первых, в методе прямого интегрирования, в отличие от метода разложения по собственным формам, учитываются все без исключения тоны колебаний, в том числе колебания с наивысшими частотами. Во-вторых, интегрирование выполняется здесь с одинаковым шагом по всем тонам, в то время как для интегрирования каждого из уравнений [c.374]

При решении задач динамики для линейно-упругих систем кроме численного интегрирования по времени часто используют метод разложения по собственным формам (метод модальной суперпозиции). Для дифференциального уравнения (1.41) вначале решается однородное уравнение [c.15]

Колебания систем с распределенными параметрами во второй части курса трактуются преимущественно в духе классических методов Рэлея и А. Н. Крылова. Попытка добиться методического единства приемов вибрационных расчетов линейных механических систем выразилась в книге главным образом в систематическом использовании методов А. Н. Крылова метода разложения по собственным формам колебаний и метода, основанного на применении универсальной формулы упругой линии. [c.16]

Поскольку возмущающие воздействия имеют достаточно широкополосный спектр (по данным [1] до 16 кгц), простирающийся за пределы диапазона собственных частот основных форм колебаний конструкции (7—2 кгц), учет каждой формы собственных колебаний становится затруднительным. Поэтому в данном случае обычный метод исследования, связанный с разложением по собственным формам колебаний не является практичным. [c.114]

В описанном методе не содержится аппроксимации, связанной с усечением разложения по собственным формам. Поскольку аэродинамическое демпфирование тонов важно для высокочастотной реакции, в Fz необходимо включить подъемную силу, создаваемую скоростью z. [c.645]

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Почти все рассматриваемые в этой главе методы расчета высших частот — алгебраические. В них использованы некоторые общеизвестные вычислительные методы линейной алгебры, обоснованием которых служат теоремы о разложении по собственным формам, в частности теоремы о разложении коэффициентов прямых ( ,) и обратных (Л ) уравнений [c.192]

Вибрационные напряжения деталей, особенно в области средних и высоких частот, как правило, не превышают 20 кгс/см. При таких напряжениях машиностроительную конструкцию можно рассматривать как линеаризированную упруговязкую систему, расчетные коэффициенты поглощения материала которой учитывают потери в материале и соединениях деталей. Как было показано в главе 1, расчет колебаний демпфированных конструкций может производиться разложением амплитудной функции в ряд по собственным формам недемпфированной системы или методом динамических податливостей и жесткостей с комплексными модулями упругости. Последние методы особенно предпочтительны для неоднородных систем, с различными коэффициентами поглощения в подсистемах (например, амортизированные балочные конструкции). [c.101]

При решении линейных задач динамики для сложных роторных систем можно использовать различные методы — методы динамических податливостей или жесткостей, метод разложения по формам собственных колебаний, метод интегральных уравнений и др. [3, 14, 19, 23, 32, 70, 73]. Ниже изложены основные идеи метода, являющегося развитием метода начальных параметров и позволяющего с единых позиций рассматривать различные задачи о свободных и вынужденных колебаниях роторов при учете разнообразных конструктивных факторов и внешних нагрузок [46]. [c.182]

При использовании метода разложения по формам собственных колебаний составляют характеристическое уравнение, порядок которого определяется числом учитываемых форм колебаний. Далее характеристическое уравнение анализируют с помощью критериев Рауса - Гурвица или Зубова (см. гл. 7.2). [c.506]

Дифференциальное уравнение движения лопасти в частных производных решается методом разделения переменных, приводящим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (аргумент — время) для ряда степеней свободы, подобных уравнению махового движения жесткой лопасти. Таким образом, отклонение z r,t) элемента лопасти от плоскости вращения может быть представлено в виде разложения деформации изгиба по собственным формам. Каждое уравнение движения соответствует своему тону собственных колебаний. Сначала необходимо найти подходящие собственные формы для вращающихся лопастей. Когда формы выбраны таким образом, что реакция лопасти на возмущение хорошо описывается несколькими первыми тонами, задачи динамики несущего винта могут быть решены с использованием минимального количества степеней свободы. - [c.357]

При исследовании колебаний упругих систем с распределенными параметрами более осторожно следует относиться к учету взаимной корреляции обобщенных координат. Этим обстоятельством можно пренебречь только в том случае [14], если система не имеет кратных и очень близких частот, затухание системы мало (система узкополосна) и спектральная плотность возмущения не имеет резких максимумов и разрывов. Поэтому сначала необходимо определить спектр собственных частот системы и в зависимости от его вида решать вопрос об учете взаимной корреляции между формами колебаний. Решение задач методом разложения по формам колебаний сопряжено со значительными трудностями, так как только в некоторых случаях возможно точно определить несколько низших форм и собственных частот колебаний системы. [c.81]

При расчете конструкций, рассматриваемых как системы с распределенными параметрами (балки, пластинки, оболочки), также используют метод разложения по формам собственных колебаний. Например, в случае шарнирно-опертой прямоугольной пластинки уравнение (5.1) будет [c.99]

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФОРМАМИ КОЛЕБАНИЙ — МЕТОД ИТЕРАЦИЙ. Чтобы выяснить условия, при которых метод итераций может быть использован для расчета высших частот, рассмотрим еще раз состав разложений последовательных итераций по собственным формам, несколько видоизменив форму этих разложений. Возьмем за исходную форму совокупность амплитуд [c.193]

Методы балансировки по формам свободных колебаний обладают рядом недостатков, связанных с тем, что в полном объеме такую балансировку выполнить практически никогда не представляется возможным разные ее упрощения часто существенно ухудшают результаты балансировки в связи с тем, что отбрасываемые при этом члены разложений (1П.53) могут оказаться не очень малыми. В связи со сказанным большое значение приобретает такая постановка вопроса найти в каком-то смысле оптимальные расположения и величину ограниченного количества балансировочных грузов. При этом естественно под оптимальным уравновешиванием понимать сведение к возможному минимуму величин реакций подшипников ротора в некотором заданном диапазоне его рабочих оборотов. При такой постановке вопроса сразу становится очевидным, что помимо устранения наиболее низкочастотных собственных форм желательно поставить [c.135]

Динамические спектральные методы применяют разложение динамического решения (О) линеаризованного уравнения (3.59) по ортогональным формам собственных колебаний ( uj [c.113]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Метод основан на разложении упругой линии ротора и его начальной неуравновешенности (эксцентриситета) по формам собственных колебаний. Используется подобие функции эксцентриситета и динамического прогиба оси ротора в случае, когда функция эксцентриситета совпадает с формой собственных колебаний. Балансировка производится путем определения и компенсации отдельных составляющих исходной неуравновешенности в разложении по формам собственных колебаний. Предлагается использовать распределенные пробные и уравновешивающие системы грузов для компенсации составляющих неуравновешенности, которые соответствуют критическим скоростям, проявляющимся в рабочем диапазоне скоростей вращения электрической машины. [c.141]

В ЭТОЙ главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам о дифракции на диэлектрических телах, в том числе — на телах с диэлектрической проницаемостью, зависящей от координат. Схема построения решения во всех случаях примерно одинакова. Сначала вводятся уравнения для собственных функций и устанавливаются условия ортогональности этих функций. Для тел с постоянной диэлектрической проницаемостью 8 собственным значением является проницаемость е тел той же формы (тел сравнения), в которых возможны незатухающие колебания на заданной частоте источников. Для тел с переменным е(г) тела сравнения тоже имеют переменные 8 (г). Вид этих функций находится из требования, чтобы для амплитуд в разложении дифрагированного поля по собственным функциям получалось явное выражение. Затем приводятся несколько различных видов формул для этих амплитуд, в частности, формула, содержащая не падающее поле, а возбуждающие токи. Для точек внутри тела даны формулы для разложения полного поля по собственным функциям. Аппарат применен также к квантовомеханическим задачам рассеяния. [c.84]

На изложенных свойствах собственных решений основан метод разложения по собственным формам. Для получения реакции конструкции этим методом требуется следующее во-первых, вычислить собственные значения и собственные еекторы системы (1.16), затем решить уравнения движения (1.24) и наконец [c.49]

Первые требования к излучающим и принимающим звук диафрагмам в акустических устройствах-т легкость, подвижность, прочность и стабильность Сейчас созданы превосходные материалы на основ титановых сплавов ), позволяющие без труда изго тавливать исключительно тонкие плёнки, толЩино около 1/1000 мм. Поэтому современные диафрагмы- это чаще всего натянутые пленки, т. е. мембраны В данной главе изучаются колебательные характера стики пленок, круглой формы и рассматриваются трё бования, предъявляемые к материалам при. проект ровании из этих пленок акустических мембран. ДЛ5 анализа физических характеристик колебаний наибо лее пригоден метод разложения по собственный функциям. Поскольку в предыдущей главе дана обща теория этого метода безотносительно к форме мем браны, здесь не должно возникнуть затруднений пр1 рассмотрении деталей применения данного метода. [c.132]

Вычисление собственных форм и частот конструкции (NormalModes/Eigenvalues) необходимо в различных видах Динамического анализа при решении задач методом разложения отклика по собственным формам. Но и сами по себе собственные частоты и формы могут представлять интерес, поскольку характеризуют фундаментальные упруго-массовые свойства модели конструкции. Ана/шз собственных колебаний модели на начальных этапах ее разработки часто помогает выявить большинство неформальных ошибок в моделировании. [c.436]

Заметим, однако, что, хотя эти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле = f x,y), где всюду f ф 0. Введем вспомогательную функцию я] , которая определяется как точное решение уравнения с граничными условиями я] = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию i] , которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа = О с граничным условием я] = f x,y). Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер [1965]) и применяемого к конечноразностному уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которое требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией. Поскольку у2я з> = и У я] " = О, имеем у2(я15 + я] ) = и, поскольку на границах ф == О и я " = f (х, (/), имеем я15 + я15 = = f(x,y). Поэтому функция я15 = я]з я удовлетворяет уравнению у2я з = и граничному условию я] = f(x,y). [c.205]

Самым простым способом нахождения амплитуд является решение уравнений (3.135) по правилам элементарной алгебры. Чтобы, однако, иметь возможность сделать некоторые об1цие заключения о формах вынужденных колебаний, мы воспользуемся для решения этих уравнений предложенным в 1905 г. А. Н. Крыловым [107] методом разложения искомых амплитуд по собственным формам соответствующей однородной задачи. Обозначим через — sn ортонормированные амплитуды s-й собственной формы рассматриваемой системы, удовлетворяюш ие однородным уравнениям (уравнениям свободных колебаний системы) [c.157]

Эта задача (без учета внутреннего тепловыделения и вязкой диссипации) была рассмотрена Грэтцем и рядом других авторов [1, 2 . Решение находим в виде ряда по собственным функциям задачи. Несколько первых собственных значений и соответствуго-ш их собственных функций были вычислены с достаточно высокой степенью точности. Если температуру находим в виде разложения по соответствующим ортогональным функциям, то точное решение может быть получено также и с помощью приведенного здесь вариационного метода аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако здесь мы получим только приближенное решение, основанное на вариационной формулировке задачи. Из уравнения (6) получаем выражение для функционала / (0), которое в безразмерной форме имеет вид [c.332]

Второй метод состоит в разложении перемещений по собственным фор.ма.м ко лебаний без демпфирования, В этом случае движение системы вычисляето как суперпозиция (линейная комбинация) некоторого количества вычисленшлх nu i-ственпых форм с неизвестными коэффициента.ми, называе.мы. т вклада.чгп (l)op. i, модальными перемещениями или обобщенны.ми перемещениями [c.439]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...