Теория затухающих колебаний

На этом свойстве краевого эффекта строится приближенная теория его расчета. При дифференцировании функций, изображающих затухающие колебания с большим коэффициентом затухания, значение производной всегда больше значения самой функции на величину коэффициента затухания. Поэтому при выводе основных уравнений краевого эффекта возможно везде, где суммируются усилия, деформации и перемещения оболочки с их производными, принимать во внимание лишь производные [c.243]

Результаты эксперимента (треугольники), полученные на симметричном диске, приведены на рис. 9.7. За единицу приняты напряжения, соответствовавшие нулевому датчику (ф = 0). Даже для симметричного диска разброс напряжений достиг R=2,36. Этот первоначально неожиданный экспериментальный результат соответствует теоретическим результатам. Экспериментальная оценка логарифмического декремента рассматриваемой формы колебаний (т=2) для имевшего место диапазона напряжений показала,, что он составляет 6=0,002... 0,005. Экспериментально, по частоте биений при затухающих колебаниях установлено, что расстройка частот составила 0,1... 0,15%. В соответствии с этим на рис. 9.7 нанесена теоретическая зависимость, соответствующая г=0,9988 и 6=0,005 (кривая). Положение теоретической кривой в направлении оси абсцисс подобрано в соответствии с результатами эксперимента, так как положение тяжелого места на диске оставалось неизвестным. Из рис. 9.7 следует, что наблюдается хорошее качественное и вполне удовлетворительное количественное соответствие эксперимента п теории. [c.181]

Интегрирование этой системы уравнений представляет значительные трудности. Точное решение задачи показывает, что у края возникает напряженное состояние, имеющее форму быстро затухающего колебания при удалении от этого края. Это позволяет построить приближенную теорию расчета краевого эффекта. Анализ функций, характеризующих затухание колебания с большим коэффициентом затухания, показывает, что значение производной такой функции всегда больше значения самой функции на величину коэффициента затухания. Поэтому при суммировании усилий, деформаций и перемещений в оболочке с их производными можно принимать во внимание лишь производные высшего порядка. [c.206]

Затухающие колебания. Свободные гармонические колебания, рассмотренные в п. 1, не изменяют своей амплитуды (максимальных отклонений от центра колебаний) стечением времени. Если такие колебания возбуждены, те они продолжаются бесконечно долго. Колебательные процессы, которые приходится наблюдать в различных задачах физики и техники, показывают нам, что во всех случаях амплитуда колебаний или уменьшается с течением времени (например, колебания груза на пружине), или поддерживается неизменной за счет дополнительной энергии, притекающей в колебательную систему. Таким образом, теория свободных колебаний не учитывает уменьшения амплитуды, обусловленного наличием сил сопротивления. Если силы сопротивления учесть, то синусоидальный закон движения изменится. Каждому закону сопротивления будет соответствовать вполне определенный закон изменения амплитуды, или закон затухания колебаний. Так как практически восстанавливающие силы пропорциональны первой степени х только при малых отклонениях точки из положения равновесия, то мы можем допустить, что в некотором интервале частот свободных колебаний силы сопротивления среды пропорциональны первой степени скорости. Рассмотрим движение точки под действием двух сил [c.192]

Тепловое движение гальванометра можно себе представить как результат чрезвычайно часто следуюш,их друг за другом очень слабых случайных толчков, испытываемых подвижной системой со стороны находящихся в тепловом движении молекул воздуха, а также возникающих вследствие хаотического движения электронов в катушке гальванометра подвешенной между полюсами магнита. Мы будем считать, что коэффициент затухания подвижной системы гальванометра 5 и ее собственная частота со таковы, что б < со. В этом случае каждый отдельный толчок вызывает затухающее колебание подвижной системы. Мы можем в этом случае применить теорию, изложенную в пп. 1 — 3. [c.424]

Найденные решения для затухающих колебаний в модели открытого резонатора на самом деле не являются настоящими собственными модами, в том смысле, как это обычно понимают в теории колебаний. [c.146]

Эти колебания в реальных веществах имеют затухающий характер, в связи с чем наблюдаются затухание тепловых упругих волн и невысокое значение коэффициента теплопроводности. В теории теплопроводности предполагается, что колебания нормального вида квантуются. В дискретной кристаллической решетке связь между ангармоническими колебаниями приводит к взаимодействию фононов между собой. Для описания этого процесса можно воспользоваться понятием длины свободного пробега. По аналогии с кинетической теорией газов теплопроводность твердого тела можно предста- [c.157]

Частота установившихся колебаний растет линейно с ростом числа Грасгофа (рис. 19). Эта зависимость сохраняется и за пределами области неустойчивости, где колебания становятся затухающими. Определяемая численно частота на границах области устойчивости Сг1 и Сгз хорошо согласуется со значениями частоты нейтральных колебаний по данным линейной теории. [c.45]

Для простоты предположим сначала, что в атоме есть всего один оптический электрон. В классической теории дисперсии оптический электрон затухающий гармонический осциллятор, колебания которого в поле световой волны описываются уравнением [c.518]

На рис. 5.15, 5.16 сплошными линиями показаны значения Ь , 8° для Мо = 1, = 1,2 при отсутствии скругления контура в начале сверхзвуковой части (/ = - 2 — радиус скругления контура). Изменение боковой силы носит колебательный характер с затухающей по длине сопла амплитудой, при этом число нуле увеличивается с уменьшением угла 0. Колебательный характер изменения функций Ь°, и 8° связан с последовательным отражением от стенок сопла чередующихся волн сжатия и разрежения. Отметим, что в тех сечениях, где = О, реализуются максимальные значения 8° и в связи с этим общий момент отличен от нуля. С увеличением длины сопла увеличивается амплитуда колебаний и 8°. Нули функций и Ж° несколько смещены один относительно другого, что и следует непосредственно из уравнений (5.50), (5.51). Увеличение у приводит к смещению нулей функций и ЛР вправо по оси X, при этом амплитуда колебаний изменяется незначительно. Известно, что увеличение радиуса скругления контура в сверхзвуковой части / 2 приводит к сдвигу нулей функци и в . Этот результат подтверждается расчетами по линейной теории при замене участка скругления последовательно расположенными коническими [c.230]

Мы сказали, что электрон совершает гармоническое колебание. Это не совсем точно вследствие излучения он теряет энергию, причем для потока энергии имеет место формула (7.37), где теперь ш — собственная частота электрона. Поэтому согласно классической электронной теории колебания электрона — затухающие. Логарифмический декремент легко вычислить тем же методом, что в гл. VI, 5, понимая под AW энергию, излучаемую за период, а под IF—энергию, запасенную в осцилляторе. Она равна согласно гл. III, 2. [c.268]

Приступая к решению этого трансцендентного уравнения относительно ш к), сразу замечаем, что в силу 1 к, ш) ф О оно не имеет действительных решений. Подобная ситуация встречается довольно часто в теории колебаний и в квантовой механике и послужила основой для введения представления о квазистационарных уровнях. Полагая ш — (1 - гу (при этом колебания приобретают характер уже затухающих, попробуем найти решения для частоты колебаний Г2 [c.307]

Теория затухающих колебаний. Задача о прямолинейном ДБИже , НИИ материальной точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию, и сопротивления, пропорционального скорости, важна не только сама по себе, но и вследствие существования большого числа аналогичных случаев движения. Диференциальное уравнение, от которого такое движение зависит, представлягт уравнение совершенно такого же типа, как и в случае малых колебаний маятника, или крутильных колебаний подвешенного стержня, при сопротивлении воздуха, или колебаний стрелки гальванометра, при действии токов, индуктированных в прилегающих металлических массах, и т. д. [c.249]

Пример 19.4А. Классический пример уе тойчивого фокуса мы имеем в случае затухающих колебаний. Эта задача нами уже рассматривалась в 19.2, здесь мы вкратце повторим решение с целью проиллюстрировать выводы общей теории. Уравнения движения имеют вид [c.368]

Обсуждая в этих статьях основные допущения, на которых строится теория упругости, Томсон разъясняет, что свойства реальных материалов иногда заметно отличаются от предписываемых им. Он отмечает, что строительные материалы не являются идеально упругими, и, исследуя их несовершенства, вводит понятие внутреннего трения, которое он изучает по затухающим колебаниям упругих систем. Из своих опытов он заключает, что это трение непропорционально скорости, как это имеет место в жидкостях. По вопросу о модулях упругости автор подвергает строгой критике рариконстантную теорию (см. стр. 262), пользовавшуюся [c.316]

Математическая модель играет в теории колебаний двоякую роль это и идеализированное описание реальных динамических систем, и математическая модель, отображающая различные колебательные явления гармонические колебания, нарастающие и затухающие колебания, автоколебания, жесткий и мягкий режимы их возникновения, вынужденные колебания, резонанс, параметрическое возбуждение колебаний, стохастические и хаотические колебания, различные волновые явления, бегущие и стоячие волиы, возникновение ударных волн, различные типы взаимодействия волн и многое другое. [c.7]

Ушпрение спектральных линий обусловлена рядом причин — прежде всего радиационным затуханием, присущим каждой излучающей системе. Собственные ко, 1ебания излучающей системы должны быть затухающими, т. к. при излучении система теряет энергии). Но затухающее колебание не является монохроматическим, а содержит целый набор (непрерывный спектр) частот ш. Согласно квантовой теории, радиационное затухание приводит к сокращению времени жизпи возбужденного состояния и, следовательно. к радиационному уширению уровней (см. Ширина уровней). [c.419]

Мы знаем, что различным динамическим процессам (например, автоколебаниям и затухающим колебаниям) соответствуют различные динамические схемы и что часто одна и та же динамическая схема соответствует весьма разнообразным динамическим процессам (например, колебаниям часов и лампового генератора) именно на этом основан в значительной мере единый язык теории колебаний (гл. I, 2, гл. II, 7 и гл. VIII, 12). Аналогично обстоит дело со статистическими процессами. Существуют различные статистические схемы физических процессов, и, например, чтобы построить правильную картину естественной модуляции света, нужно положить в основу вполне определенный тип статистической схемы. Вместе с тем часто одна и та же статистическая схема позволяет объяснить множество, казалось бы, весьма далеких статистических явлений, например естественную модуляцию света и броуновское движение ). [c.409]

Замечательным примером системы, линеаризация которой ограничивает возможности обнаружения ее важнейших колебательных свойств, могут служить обыкновенные часы с майтни-ком, приводимые в движение, например, падаюш им грузом. Линейная трактовка колебаний маятника предполагает, что отклонения маятника от вертикального положения равновесия весьма малы. Такие малые колебания маятник будет совершать, если ему сообщить достаточно малое начальное возмущение (отклонение). Но, как легко проверить, при малом начальном возмущении маятник, предоставленный затем самому себе, будет совершать затухающие колебания с быстро убывающими амплитудами, пока не остановится в вертикальном положении. Часы от такого малого начального возмущения не пойдут , так как источник пополнения расходуемой маятником энергии (падающий груз) при таких колебаниях не включается. Таким образом, линеаризация системы — часы с маятником — не дает возможности обнаружить в ней те свойства, которые являются наиболее характерными для часов как инструмента для измерения времени. Эти свойства проявляются только при достаточно большом начальном возмущении и при колебаниях с конечной амплитудой. Когда маятник получит возмущение, большее некоторого предела, в дальнейшем своем движении он ведет себя резко отлично от привычного в линейной теории поведения систем с сопротивлением. Амплитуды колебаний маятника начинают расти или убывать, приближаясь в том и другом случае к одному предельному стационарному значению, достигнув которого они дальше не изменяются, так что маятник совершает устойчивые изохронные колебания, обеспечивая тем самым более или менее точный отсчет времени. Открыть существование такого устойчивого периодического движения в системе с сопротивлением, оставаясь в пределах линейной теории, описать средствами последней свойства этого движения мы, конечно, не можем. Линейная трактовка задачи о колебаниях маятника часов связана с отказом от исследования наиболее важных с практической точки зрения колебательных свойств системы, наиболее характерных для ее назначения и использования. [c.470]

Теория. Пусть на горизонтальной плоскости установлен каток 1 с приделанным к нему жестко маятником 2 (рис. 8. 2). Если маятник 2 отклонить от вертикального положения на угол <Ро и отпустить его, то он начнет совершать колебания в вертикальной плоскости (плоскости чертежа), вращаясь относительно точки о. При этом, очевидно, каток 1 будет кататься по горизонтальной плоскости, точка контакта катка с плоскостью О будет перемещаться по плоскости в направлении, обратном направлению перемещения центра тяжести маятника С. Колебания маятника вследствие сопротивления воздуха и трения качения будут затухающими. Сообщенная первоначально маятнику потенцигльная энергия — . Л — будет постепенно расходоваться на работу указанных сопротивлений. Рассмотрим движение маятника, пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая во внимание только трение качения. Двигаясь в одном направлении центр тяжести маятника переместится из положения С в С , двигаясь в обратном направле- [c.127]

Упоминаемые выше опыты Шубауэра и Скрэмстада производились в аэродинамической трубе Национального бюро стандартов США в Вашингтоне, обладающей особенно малой начальной турбулентностью,— параметр и /и в этой трубе при соблюдении некоторых специальных мер предосторожности может быть доведен до значений порядка 0,0003—0,0002. Это обстоятельство оказалось очень важным, так как некоторые имеющиеся в настоящее время результаты показывают, что при значениях II /Уу превышающих 0,002 (т. е., в частности, при значениях, имевшихся во всех более старых опытах), переход к турбулентности, по-видимому, вызывается влиянием конечных возмущений во внешнем потоке в соответствии с описанной в п. 2.2 схемой Тэйлора. Однако при и и <0у002 основную роль при этом переходе играют случайные малые двумерные возмущения синусоидальной формы, амплитуда которых при некоторых условиях возрастает вниз по течению в полном соответствии с выводами теории возмущений. Подобные правильные колебания и были еще в 1940 г. обнаружены Шубауэром и Скрэмстедом с помощью тщательных термоанемометрических наблюдений. В дальнейшем с целью более аккуратной проверки выводов теории эти авторы использовали также помещенную в пограничный слой тонкую металлическую ленту, приводимую в колебание при помощи электромагнита и создающую искусственные возмущения фиксированной частоты со. При этом им удавалось обнаружить нейтральные (не возрастающие и не затухающие) почти чисто синусоидальные колебания скорости, соответствующие точкам граничной кривой на диаграмме устойчивости. Позже эксперименты такого рода неоднократно проводились и другими авторами, получившими близкие результаты (см., в частности, главу П обзора Качанова, Козлова и Левченко (1982) и рис. 2.16). [c.113]

Металлическая лента, применявшаяся для создания искусственных колебаний, имела толщину 0,05 мм, ширину 2,5 мм и длину 30 см и была протянута на расстоянии 0,15 мм от стенки. Для возбуждения колебаний применялся переменный ток и магнитное поле. Таким путем удавалось создавать предусмотренные теорией двумерные возмущения с заданной частотой, следовательно, можно было по выбору получать нарастающие, затухающие и нейтральные колебания. Измерения производились, как уже было сказано, посредством термоанемометра. Результаты этих измерений изображены на рис. 16.18. Точки, отмеченные на рисунке кружочками, относятся к нейтральным колебаниям. Все эти точки хорошо располагаются вдоль одной кривой, вычерчённой штрихами. Для сравнения на рис. 16.18 перенесена с рис. 16.11 теоретическая нейтральная кривая. Результаты измерений весьма хорошо согласуются с теорией. [c.442]

Л. Б. Именитов [2.12, 2.13] (1969) исследовал собственные колебания прямоугольной шарнирно опертой пластины, исходя из трехмерных уравнений динамической теории упругости, к которым применяется асимптотический метод интегрирования. Напряженное состояние пластины представлено в виде суммы основного медленно затухающего напряженного состояния и вспомогательных быстро затухающих от краев напряженных состояний. Для их определения применяются итерационные процессы. При этом первое приближение соответствует классической теории, вычислены также второе и третье, уточняющие приближения. Показано, что при отношении ширины квадратной пластины к толщине alh=25 асимптотические поправки к частоте по классической теории пластин малы. Из сравнения с точным решением показана также малость погрешности асимптотического решения даже при alh=6. [c.147]

Предварительные замечания. Мы опишем лекционные эксперименты, наглядно демонстрируюш,ие существование электромагнитных волн, свойства которых находятся в полном согласии с теми, которые выводятся математически из теории Максвелла (см. 3). Опыты, которые мы опишем, аналогичным по содержанию опытам Герца (см. 1), сыгравшим решающую роль для признания теории Максвелла. Основная идея их — показать, что такие волны возникают вокруг проводника, по которому течет быстропеременный электрический ток, подобно тому как около тела, совершающего механические колебания и находящегося в упругой среде, возникают акустические (упругие) волны. Подходящее приспособление (вогнутое зеркало) позволяет придать электромагнитным волнам, излучаемым проводником, вид плоских волн. Опыты, которые будут здесь описаны, в значительной степени аналогичны опытам Герца и по выполнению главное отличие в следующем Герц работал с искровыми контурами и пользовался возбуждаемыми в них затухающими электромагнитными колебаниями и не имел возможности усиливать колебания, возникавшие в приборе, воспринимающем электромагнитные волны в описываемых здесь опытах колебания генерируются ламповым генератором (автоколебательной системой) и являются незатухающими в приборе, воспринимающем электромагнитные волны, применяется условие, что позволяет получать даже при очень малой мощности источника эффекты, вполне заметные для очень большой аудитории. [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...