Отображение пространства самого на себя

Отображение пространства самого на себя. От п обобщенных координат [c.36]

Отображение пространства самого на себя [c.37]

Физической моделью подобного отображения пространства самого на себя является движение жидкости. Если пометить частицы жидкости и зафиксировать их положения в два различных момента времени, то соответствующие положения этих частиц и дадут отображение пространства самого на себя. Если выделить в жидкости малый параллелепипед, то, несмотря на искажения его углов и длин при движении жидкости, он будет оставаться параллелепипедом. Если к тому же жидкость несжимаема, то объем этого параллелепипеда будет сохраняться. Аналитически движение такой жидкости соответствует преобразованию координат с якобианом, всюду равным единице. [c.38]

Этот поразительный результат был впервые получен Гамильтоном, хотя и в несколько другой интерпретации. Он по-новому освещает роль канонических преобразований при изучении движения. Все движение механической системы может рассматриваться как задача о преобразованиях. Последовательные положения фазовой жидкости представляют собой непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя. Это отображение все время каноническое. [c.254]

Резюме. Произвольная функция, зависящая от времени, порождает бесконечное семейство канонических преобразований. Последовательные стадии этого преобразования могут рассматриваться как непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя, что в свою очередь может быть интерпретировано как движение некоторой жидкости. Это движение удовлетворяет каноническим уравнениям, что приводит, таким образом, к совершенно новой интерпретации этих уравнений. Движение фазовой жидкости можно представить как последовательные стадии бесконечного семейства непрерывных канонических преобразований. [c.255]

С этим преобразованием координат можно связать определенную геометрическую картину. Пусть q так же, как и <7 ,— прямоугольные координаты в п-мерном пространстве. Будем рассматривать точки в <7-пространстве и точки в -пространстве. Некоторой точке Р в (/-пространстве соответствует определенная точка Р в (/-пространстве. Поэтому преобразование вида (1.4.3) называется точечным преобразованием . В некоторой области точки -пространст-ва находятся во взаимно однозначном соответствии с точками (/-пространства. Мы имеем, таким образом, отображение и-мерного пространства самого на себя. Это отображение не только удовлетворяет обычным требованиям взаимно однозначного соответствия. Сохраняется непрерывность. Окрестность точки Р отображается в окрестность точки Р и наоборот. Можно утверждать даже большее. Прямая линия в (/-пространстве не остается прямой в (/-пространстве. Однако по мере уменьшения размеров области соотношения [c.37]

Резюме. Ввиду произвола в выборе координат одна система обобщенных координат может быть заменена другой. Это преобразование координат может мыслиться геометрически как отображение -мерного пространства самого на себя. Отображение не сохраняет углов и расстояний. Прямые линии преобразуются в кривые, однако в бесконечно малой области, в окрестности некоторой точки, отображение выпрямляется прямые линии переходят в прямые, параллельные — в параллельные, и сохраняется отношение объемов. [c.38]

Теперь мы уже подготовлены для глобального изучения эволюции в фазовом пространстве. Проблему можно сформулировать следующим образом. Определим поток в фазовом пространстве как преобразование или отображение фазового пространства самого на себя, при котором каждая точка х преобразуется в какую-то другую точку Xj посредством действия оператора Т (t) [c.376]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

Наконец, существует естественный алгебраический класс динамических систем, включающий в себя и сдвиги на однородных пространствах, и автоморфизмы, а именно аффинные системы, которые представляют собой проекции аффинных отображений группы С на однородное пространство с конечным объемом. Аффинное преобразование группы — это композиция эндоморфизма и сдвига. Самые простые нетривиальные примеры аффинных преобразований, которые обладают свойствами, отличными от свойств сдвигов и автоморфизмов, — это преобразования на двумерном торе, встречающиеся в упражнениях 1.4.4, 3.2.6 и 4.2.3. Последующие упражнения из 4.2 показывают тесную связь между динамическими свойствами этих отображений и их естественных многомерных обобщений и равномерным распределением дробных долей значений полиномов. Это первое проявление исключительно плодотворной взаимосвязи между динамикой алгебраических систем (сдвигов и аффинных преобразований) и теорией чисел. [c.241]

Отображение Т гильбертова пространства Зё на само себя называется линейным оператором, если [c.23]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Геометрически это решение канонических уравнений можно интерпретировать следующим образом. Первоначальные мировые линии движущейся фазовой жидкости образуют бесконечное семейство кривых и заполняют все фазовое пространство. Интересующее нас каноническое преобразование производит такое отображение пространства самого на себя, которое выпрямляет эти мировые линии, превращая их в бесконечное мнооюество параллельных прямых линий, наклоненных под углом 45° к оси времени /. [c.267]

Это точечное преобразование можно представить как отображение rt-мерного (/-пространства самого на себя (см. гл. I, п. 4). Кривая С (q, /)-пространства переходит в некоторую новую кривую С. Варьированная кривая С переходит в соответствующую вариацию С кривой С.5Если при этом [c.142]

Описанная процедура отыскания неподвижных точек отображения плоскости самой в себя может быть с успехом использована и в случае, когда фазовое пространство Ф раз.челяется на две области произвольно расположенной в э юм пространстве плоскостью. В этом случае на разделяющей плоскости 5 нужно ввести систему координат, например, с декартовыми осями и, v м выразить фазовые [c.80]

Когда же говорят о методах символической динамики, то имеют в виду изучение произвольных динамических систем при помощи символических моделей, в которых последовательности (1.1) соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а —некоторому сдвигу вдоль этих траекторий. В частности, методы символической динамики оказываются применимыми в качественной теории дифференциальных уравнений, где рассматриваются гладкие системы на гладких многообразиях, хотя сама по себе символическая динамика большей частью имеет дело со вполне несвязными нульмерными пространствами, гомеоморфными канторову множеству. [c.196]

Линейным функционалом на линейном пространстве V называется линейное отображение из К в F. Пространство ограниченных линейных функционалов на нормированном линейном пространстве V называется двойственным к V и обозначается V. Слабой топологией на нормированном линейном пространстве V 1кзывается самая слабая топология, в которой все ограниченные линейные функционалы непрерывны. В сепарабельном случае эквивалентное определение состоит в том, что u -> О тогда и только тогда, когда/(uj)- О для каждого / б V. Так как пространство V само по себе яаляется линейным нормированным (с определенной выше нормой 11/11), в нем также может быть определена слабая топология. Чаще используется -слабая топология, определенная условием / ->0-ФФ-/ ( )->0 для всех w 6 V, т. е. топология поточечной сходимости на V. [c.699]

Начнем с определения понятия устойчивости и неустойчивости. Пусть задано топологическое пространство точки которого обозначим через р, и пусть а есть фиксированная точка пространства Под окрестностями в дальнейшем будем понимать только окрестности точки а в пространстве 9i. Пусть pi = Sp топологическое отображение окрестности ili на окрестность iBi, причем точка а = За отображается сама в себя. Обратное преобразование p i = переводит Bi в ili, и вообще рп = З р (п = О, 1, 2,...) будет топологическим отображением окрестности на окрестность которое имеет а неподвижной точкой. Для каждой точки р = ро пересечения ili П 1 =233 найдем последовательно образы pf +i = S pf (f = О, 1,...), пока р находится в ili, и равным образом p f -i = S pf , пока p f лежит в iBi- Всегда существует максимальное число к + 1 = п, такое, что все ро, , pn-i еще лежат в ill, но р там уже не лежит аналогичное утверждение справедливо для отрицательных индексов. При этом для каждого р из 233 имеется или конечная, или бесконечная в одну сторону, или бесконечная в обе стороны последовательность образов р =. .., p i, ро, pi, причем индекс к последовательно пробегает целые числа. [c.234]

Общее описание метода секущей поверхности. Рассмотрим фазовое пространство системы. Выберем в нем какую-нибудь поверхность без контакта 5 п введем на этой поверхности некоторую систему координат у , у ,. .. Ур. Если размерность фазового пространства исследуемой системы п, то любая точка на поверхности 5 будет характеризоваться не более чем п — 1 координатами, т. е. р — 1. Зададим на поверхности 5 некоторую точку М с координатами у , у ,. .. Ур и рассмотрим фазовую траекторию, проходящую через эту точку в направлении увеличения времени t. Можег случиться, что фазовая траектория больше не пересечет поверхность 5. Тогда говорят, что точка М не имеет последующей. Но может быть и так, что спустя некоторое к нечное время фазовая траектория снова пересечет поверхность 5 в некоторой точке М с координатами ,У2, Ур- Точка М называется последующей для точки М. Преобразование, устанавливающее однозначное соответствие между всеми точками поверхности 5 и их последующими, называется почечным отображением поверхности 5 в самое себя. Это преобразование записывается в виде [c.92]

Нечто аналогичное приведенному абстрактному примеру может происходить и в конкретных системах. Так, в фазовом пространстве уравнений Лоренца (1.24) при 6 = 8/3, 0 = 10, г =24,4 последовательные точки пересечения фазовых траекторий с секущей плоскостью z=r l приходят в очень малую окрестность некоторой кривой / и остаются в ной, порождая тем самым отображепие кривой 7 в себя. Если вдоль этой кривой ввести переменную и, то это отображение имеет такой вид, как показано на рис. 2.8. Оно всюду растягиваюп1ее, причем типичные последовательные Рис. 2.8 значения и являются хаотическими. [c.48]

Здесь можно выделить подслучай М, замечательной особенностью которого является сжатие всего фазового трехмерного пространства ф, 0, и в очень малую окрестность некоторой двумерной поверхнбсти. На секущем цилицдре 0 = 0 эта поверхность оставляет след в виде кривой /, как показано на рис. 7.39. Тем самым рассмотрение поведения фазовых траекторий приближенно сводится к точечному отображению окружности в себя (топологически кривая I — окружность). [c.202]

Операция симметрии в конфигурационном пространстве может соответствовать реальному , т. е. фактически выполнимому, преобразованию, такому, как поворот кристалла как целого вокруг некоторой оси в конфигурационном прбстранстве, совмещающий эквивалентные направления целого кристалла. С другой стороны. Такая операция может соответствовать воображаемому преобразованию, такому, как инверсия положений всех атомов относительно некоторой фиксированной точки. При преобразовании симметрии возникает другой кристалл, который мы будем называть репликой исходного кристалла. Термин реплика , который будет иногда использоваться, предназначен для передачи степени соответствия между исходным и преобразованным объектами, которая слабее, чем тождество, но сильнее чем подобие. Реплика может быть наложена на исходный кристалл. Она имеет ту же ориентацию, что и исходный кристалл, по отношению к фиксированным внешним осям. Рассматриваемое преобразование на языке математики представляет собой конгруэнтное отображение кристалла на самого себя. Конкруэнтное отображение кристалла на самого себя дает реплику. Обратное утверждение неверно .яе все конгруэнтные отображения, или превращения являются операциями симметрии. [c.23]

Глава начинается с традиционного рассмотрения симметрии обращения времени в 88—94, основанного на отождествлении оператора обращения времени с комплексным сопряжением. При этом оператор обращения времени действует на иные переменные, чем пространственные преобразования. Комплексное сопряжение состоит в преобразовании (отображении) комплексного поля (в котором заданы собственные векторы) на само себя, тогда как пространственные преобразования отображают точки конфигурационного пространства на само себя. Так как основными переменными динамики решетки являются вещественные смещения, физические неприводимые представления также должны быть вещественными. Критерий Херринга вещественности неприводимых представлений пространственных групп обсуждается в 93 [69]. В 94 дано обобщение более полезного критерия вещественности, данное Фреи [70]. Используя этот последний критерий, можно определить не только, является ли данное представление вещественным, комплексным или псевдо-вещественным, но в случае комплексного представления установить симметрию комплексно сопряженного представления. [c.233]

Jilи), что все результаты справедливы и в том случае, когда преобразование Г терпит разрыв первого рода не на одной, а ла конечном числе кривых. В равной степени несущественна двумерность фазового пространства, важно лишь, чтобы сжимающиеся слои (и, тем самым, многообразия разрыва) имели коразмерность один. Для соответствующей динамической системы на п-мерном кубе также существует одномерный стохастический аттрактор, причем при помощи факторизации по сжимающимся слоям снова можно перейти к одномерному отображению отрезка в себя. [c.203]

В геометрической компоненте модели хранится описание поверхности детали. Используется понятие сеточной поверхности, "натянутой" на регулярное множество узлов в пространстве. Поверхность строится как отображение в пространство некоторой области на плоскости. Узлы в пространстве - это результат отображения некоторого набора узлов плоскости с целыми координатами. Область определения отображения для любой точки (не только узла) состоит из множества всех ячеек сетки на плоскости, у которых все четыре вершины принадлежат набору узлов. Образ произвольной точки определяется билинейной или биквадратичной интерполяцией по образам узлов соответствующей ячейки. Сеточная поверхность, таким образом, состоит из набора элементов поверхности - образов ячеек плоскости. Поскольку эти элементы определяются положением узлов, сеточная поверхность задана, если задано положение набора узлов. Можно представить себе сетку из резиновых нитей, каждая ячейка которой отвечает элементу поверхности. Редактирование поверхности состоит в изменении положения узлов такой сетки в пространстве и изменении самого набора узлов. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...