Решения в биполярных координатах

Решения в биполярных координатах ) [c.208]

РЕШЕНИЯ В БИПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 209 [c.209]

Точное решение задач кручения и изгиба призматических стержней, имеющих поперечное сечение, ограниченное двумя дугами пересекающихся окружностей ( луночка ), было получено в 1949 г. с использованием биполярных координат Я. С. Уфляндом подробное изложение решений задач изгиба и кручения для областей, допускающих решение в биполярных координатах, приведено в его монографии (1950). Позднее В. И. Блох <1956) опубликовал статью, посвященную применению биполярных координат к задаче кручения прямоугольника, образованного дугами ортогональных окружностей. Кручение стержня с линзообразным сечением рассматривали Я. И. Бурак и М. Я. Леонов (1960). С. А. Гриднев применил биполярные координаты при изучении задачи о кручении двухсвязного профиля (1963) и свел решение этой задачи к бесконечным системам. [c.26]

В 3.5 на основе точных решений ИУ первого рода, содержащих в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в обш,ем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляющего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и др. координаты. Подробнее в биполярных координатах рассмотрены контактные задачи Qn, Qn для усеченной луночки. Решения задач этого пункта представляют не только самостоятельный интерес, но служат основой для решения контактных задач о внедрении штампов в поверхности таких же тел путем выделения и обращения главных частей ядер соответствующих ИУ. [c.17]

Полученные контурные условия в форме (319) и (320) показывают, что задача о запрессовке составного концентрического кольца в эксцентрическое простое кольцо (трубу) сводится к основной задаче для эксцентрической трубы, на границах которой заданы радиальные постоянные давления 9о и 1 Решение последней задачи в замкнутом виде в биполярных координатах дано И. С. Аржаниковым и С. А. Чаплыгиным Р]. [c.189]

Решение получено методом разделения переменных в биполярных координатах [c.45]

Растяжение изотропной плоскости, ослабленной двумя равными круговыми отверстиями, разобрано Лингом [2.84]. Решение проводится в биполярных координатах. Конкретно рассматриваются случаи одноосного и двухосного растяжения на бесконечности. [c.283]

В статье [2.111] изучается распределение напряжений в изотропной полосе, ослабленной двумя неравными круговыми отверстиями, достаточно удаленными от границы к прямолинейному краю приложено равномерное давление. Решение разыскивается в биполярных координатах. [c.288]

Можно избегнуть трудностей, возникающих от посторонних решений, и сильно понизить порядок уравнения преобразованием в биполярные координаты, т. е. точки кривых могут быть определены при помощи расстояний от двух неподвижных точек на оси х. Этот метод не мог бы быть применен, если бы кривые не были симметричны по отношению к оси, на которой лежат полюсы. Пусть центры тел 1 — ц и ц совпадают с полюсами расстояния от этих точек соответственно равны г, и г,. Для завершения преобразования необходимо лишь выразить через [c.257]

Решения были даны также для круглого диска под действием сосредоточенной силы в любой точке ), для диска подвешенного в некоторой точке и находящегося под действием собственного веса ), для диска, вращающегося вокруг эксцентричной оси ), как с использованием биполярных координат, так и без использования их ). Рассматривалось также влияние круглого отверстия в полубесконечной пластинке с сосредоточенной силой на прямолинейной границе ). [c.212]

Она решается введением биполярной системы координат и последующим представлением решения в виде ряда, для коэффициентов которого получена вполне регулярная бесконечная система линейных уравнений. Результаты решений иллюстрированы конкретными расчетами основных тепловых [c.163]

Отметим, что в [50] также рассматривается плоская контактная задача для круговой лунки, т.е. тела, образованного пересечением двух окружностей (преобразование инверсии клина на плоскости). Используются биполярные координаты. Как и для плоского упругого клина, здесь удается получить точную функцию Грина [30] для последующего решения контактной задачи. Однако для этого после применения комплексного интегрального преобразования Фурье приходится решать функциональное уравнение со сдвигом. Для решения интегрального уравнения контактной задачи применяется асимптотический метод, эффективный для относительно удаленной от угловых точек области контакта. Приводятся численные результаты. [c.194]

Полагая к достаточно большим по сравнению с радиусом цилиндрической полости го, можно в системе биполярных координат (а, р) построить решение задачи о распространении волн в полупространстве, на границе которого заданы напряжения и переменные во времени и в функции координаты х , [c.249]

Посредством биполярных координат С. А. Чаплыгин и Н. С. Аржанников [2.146] дают решение задачи о напряжениях в трубе, ограниченной двумя эксцентрическими круговыми цилиндрами, при действии постоянного давления на поверхности (см. также [1.29]). [c.282]

Пусть внутренний цилиндр радиуса вращается с постоянной угловой скоростью (О, а внешний, радиуса неподвижен, причем оси внутреннего и внешнего цилиндров расположены одна от другой на расстоянии эксцентриситета е. В безынерционном приближении, справедливом при достаточно малых скоростях движения жидкости, задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока. Вводя биполярные ( , т]) координаты (ось х направлена по прямой, соединяющей центры окружностей внутреннего и внешнего измерительных поверхностей), [c.153]

Для решения задачи целесообразно перейти от декартовых координат Ху у у к биполярным В, г = 1п (г1 / гг)- [c.76]

Фамуларо [14] также рассматривал случай сферической частицы, осаждающейся внутри сферического контейнера, используя метод отражений. Первое отражение было получено для случая, когда частица может занимать любое положение внутри контейнера. Для этого было использовано решение Ламба [39] уравнений медленного течения в сферических гармониках (см. разд. 3.2), а также преобразования координат, подобные тем, которые обсуждались выше в этом разделе. Для облегчения расчетов мгновенное движение частицы в произвольной точке разлагалось на (а) дви> жение по направлению к центру сферического контейнера и (б) движение в перпендикулярном направлении. В частном случае, когда движение осесимметрично, можно получить точное решение в биполярных координатах для любого отношения радиусов внутренней и внешней сфер. [c.369]

К. В. Соляник-Красса I148J рассмотрел задачу о кручении вала с кольцевой выточкой. Функция напряжений приближенного решения представлена в виде суммы трех функций решения для кручения гладкого вала бесконечной суммы решений в биполярных координатах решения, соответствующего мелкой выточке. Для глубоких, средних н мелких по заглублению выточек получаются результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. [c.10]

Решение уравнения (6.4.6) в биполярных координатах получена Стимсоном и Джеффри. С незначительными изменениями их реше-ние имеет вид [c.313]

Случай жесткой стенки был рассмотрен Лоренцом, о чем говорилось в разд. 3.5, в предположении, что радиус сферы мал по сравнению с мгновенным расстоянием от ее центра до плоскости. Решения, не связанные этим ограничением ), были получены Бреннером [7] с использованием общего решения уравнений медленного течения в биполярных координатах, примененного Стимсоном и Джеффри [54] в их решении задачи о двух сферах, падающих вдоль своей линии центров (разд. 6.4). [c.379]

В биполярных координатах задача сводится к определению решения в прямоугольнике АА Р Р (рис. 90). Предполагается, что на внутренней границе а = а (на краю АА ) задано давление pl t)y а на внешней границе а==а2 (на краю / / 0 Давление / 2(а2, Р, О- Если р2 а2у Р, t) симметрично относительно р, т. е. давление симметрично относительно оси х можно ограничиться решением задачи в области АСЕР (рис. 90). [c.251]

Чистый изгиб полосы, ослабленной двумя равными круговыми отверстиями, исследован М. А. Савруком [2.107]. Решение проводится в биполярных координатах. [c.283]

Напряжения в полосе, ослабленной двумя равными [2,108] и двумя не равными [2,109] круговыми отверстиями при чистом изгибе отыскивает М, А. Саврук. Решение строится в биполярных координатах, для напряжений получены явные выражения в виде рядов, [c.285]

Поле напряжений около двух равных круговых отверстий в изотропной плоскости, изгибаемой усилиями и моментами, приложенными к ее краю, определяет Н, И, Калыняк [2,53], Решение ищется в биполярных координатах. Функция прогибов, соответствующая возмущению, вносимому отверстиями, представляется в виде бесконечного ряда, [c.285]

Распределение напряжений около двух одинаковых, абсолютно жестких круговых включений в упругой плоскости, подверженной на бесконечности чистому сдвигу, получено Чатар-джи и Дугом [2.38]. Решение дается в биполярных координатах. [c.288]

Ряд работ выполнил Секри [2,117, 2.118, 2.119]. В [2.117] рассматривается напряженное состояние в бесконечной плоскости, имеющей вырез в виде двух пересекающихся кругов. Решение ищется в биполярных координатах. Подробно описываются случаи одноосного и всестороннего растяжения. В [2.118] производится предельный переход в решении [2.117] и изучается случай соприкасания кругов. Наконец, в [2.119] рассматривается распределение напряжений в плоскости, ослабленной двумя круговыми отверстиями при действии вдоль линии центров и перпендикулярной ей сосредоточенной силы (см. также [2.92]). [c.290]

В качестве примера рассмотрим задачу Дирихле для области, ограниченной дугами окружностей. Решение задач для такого рода областей будем проводить в биполярной системе координат аир, выражаемой через декартовы координаты следующим образом [c.78]

Для решения задачи требуется найти функцию ср(г, г), которая удовлетворяет уравнению (г) внутри окружности, изображенной на рис, 221, и постоянна на ней. Это решение в форме ряда в тороидальных координатах получил Фрейбергер 1). Координатные поверхности этой системы порождаются вращением плоской биполярной системы, изображенной на рис. 120, относительно оси X, которую нужно считать вертикальной и соответствующей осп г на рис. 22 (третье семейство координатных поверхностей состоит из плоскостей 6 = on.st). Выкладки, по необходимости довольно слол<ные, здесь не приводятся. Основные результаты ) представлены в табл. 13 и на рис. 222. Таблица [c.432]

Единственное точное решение подобного рода задачи о многих частицах было дано Стимсоном и Джеффри [301 для медленного движения двух сфер параллельно их линии центров (осесимметричное течение). Они использовали систему биполярных координат (см. разд. А.19), которая является единственной системой, где возможно одновременное удовлетворение граничных условий на двух сферах, расположенных одна вне другой. Для большего числа частиц, а также для пары несферических частиц в общем случае невозможно найти систему координат, обладающую подоб ным свойством. Попытаемся поэтому найти некоторую регулярную схему последовательных итераций, при помощи которой краевую задачу можно было бы решить в любом приближении, рассматривая каждый раз граничные условия только на одной из частиц. [c.272]

Интересно сравнить значения X, полученные при помощи точного метода, использующего биполярные координаты, с модифицированным решением Даля, выражаемым формулой (6.3.54). Когда сферы находятся вдали друг от друга, оба метода согласуются с весьма высокой точностью прекрасное согласие можно получить даже тогда, когда сферы касаются, если использовать модифицированную формулу (6.3.54). Типичные результаты показаны в табл. 6.4.1 и относятся к двум равным сферам, движущим- [c.314]

Это решение по существу является приложением общей теории напряжений в криволинейных координатах, что описано в главе II, 2.32 и след., и мы приводим ее вследствие большого пракгического значения, которое она имеет. Преобразуем прежде всего уравнение у = 0 для биполярных координат. [c.265]

В работе Д. Н. Парфененко, А. Ф. Улитко [26] предложен аналитический метод решения задачи о гладком контакте с упругим полупространством жесткого штампа с плоским основанием в форме кругового сегмента в плане. Построение гармонической функции, входящей в общее решение уравнений равновесия, проводится в пространственных биполярных координатах с использованием интегрального преобразования типа Мелера-Фока, установленного в [25]. Последующие преобразования, связанные с удовлетворением смешанных граничных условий, приводят к системе двух функциональных уравнений Винера-Хопфа. Рассмотрены [c.143]

При помощи тороидальных координат А. Ф. Захаревич (1952) рассмотрел равновесие вращающегося тора В. А. Левшин (1962) построил решение задачи о полом торе, подвергнутом воздействию внешнего и внутреннего давлений. Кручение тора круглого поперечного сечения в связи с расчетом винтовых пружин с малым шагом витков подробно изучил К. В. Соляник-Красса (1950) решение получено им с использованием биполярных координат и содержит ряды, включающие гиперболические, тригонометрические функции и присоединенные функции Лежандра. [c.23]

И. И. Мусхелишвили (1932) разработал теорию кручения и изгиба стержней, составленных из различных материалов и спаянных между собой вдоль боковых поверхностей решение этой задачи для случая кручения двух спаянных между собой брусьев из разного материала приведено в его известной монографии (изд. 2 — 1935). И. Н. Векуа и А. К. Рухадзе (1933) изучили кручение круглого цилиндра, армированного круговым стержнем, а также кручение и изгиб составного стержня, сечение которого имеет вид конфокальных эллипсов А. К. Рухадзе (1935) рассмотрел изгиб и кручение составного профиля, образованного эпитрохоидами случай разграничения гипотрохоидами исследовал Г. А. Кутателадзе (1956). Кручение составного стержня с сечением в виде двух круговых сегментов, спаянных по хорде, при помощи биполярных координат рассмотрели В. М. Дзюба и А. Ш. Асатурян (1965). [c.29]

Концентрация напряжений в изотропной полосе, ослабленной двумя неравными круговыми отверстиями, в условиях чистого сдвига изучается М, А, Савруком [2,110], Предполагается, что размеры большего отверстия малы по сравнению с шириной полосы. Решение построено в биполярной системе координат. [c.287]

Пример бассейна веретенообразной формы. Рассмотрим осесимметричную задачу о центральном ударе шара, полупогруженного в жидкость. Предполагается, что жидкость ограничена веретенообразной поверхностью, полученной вращением дуги окружности вокруг оси 2 (фигура) [6]. Остановимся на решении задачи (2.7) и определении постоянной Введем в рассмотрение биполярные координаты а, р, ф, связанные с цилиндрическими г, г соотношениями [6] [c.119]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

Такую же задачу рассматривал Л.Н. Стретенский применительно к диффузии вихревой пары [68]. В основу решения положены два допущения. Первое состояло в том, что в начальный момент времени все вихревое движение сосредоточено на двух круговых площадках, симметрично относительно некоторой горизонтальной прямой. Центры 9ТИХ площадок принимаются полюсами биполярной системы координат считается, что в каждый момент времени система окружностей, охватывающих эти полюсы, является системой линий тока. Второе допущение состоит в том, что в каждый момент времени линии тока являются семейством окружностей, определяемых по первому приближению, причем центры биполярной системы координат перемещаются в вертикальном направлении так, что масса жидкости, находящейся выше линии, которая соединяет центры, не испытывает подъемной силы. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...