Потенциальная энергия при поперечном изгибе

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ [c.186]

Потенциальная энергия при поперечном изгибе определяется по формуле (9.19) [c.273]

Составим выражение для потенциальной энергии при поперечном изгибе. [c.177]

При поперечном изгибе в сечениях, кроме изгибающих моментов, возникают поперечные силы, совершающие работу, но для достаточно длинных балок их влиянием на величину потенциальной энергии деформации можно пренебречь и энергию деформации вы- [c.266]

В предыдущих параграфах ( 4.5 8.2 9.4 11.4) были найдены величины потенциальной энергии при деформациях растяжение или сжатие, сдвиг, кручение и поперечный изгиб [c.207]

Учитывая, что рассматриваются случаи определения перемещений в балках, испытывающих только поперечный изгиб, величина потенциальной энергии при изгибе в общем случае может быть найдена как [c.208]

Формула (7.35) дает выражение удельной потенциальной энергии при прямом поперечном изгибе. [c.263]

Влияние отброшенных частей, примыкающих к элементу, заменим внутренними силами, действующими в сечениях стержня, статическим эквивалентом которых при поперечном изгибе являются Qy и Мх- По отношению к элементу эти силы являются внешними. Работа йА, совершаемая ими на соответствующих им и вызванных ими перемещениях, равна потенциальной энергии деформации (Ш, накапливаемой в элементе М [c.193]

При поперечном изгибе в сечениях балки возникают касательные напряжения г, определяемые поперечной силой Qy. Они также вносят свой вклад в потенциальную энергию упругой деформации стержня [c.231]

Выражение (б) дает величину потенциальной энергии деформации изгиба бесконечно малого элемента балки. Оно получено для элемента, находящегося в условиях чистого изгиба. При поперечном изгибе, помимо изгибающих моментов, возникают поперечные силы, но при определении энергии деформации ими в подавляющем большинстве случаев можно пренебречь и считать зависимость (б) применимой во всех случаях прямого изгиба. Для вычисления энергии деформации балки в целом следует просуммировать значения по всей ее длине. При этом следует учесть, что закон изменения изгибающих моментов для отдельных участков балки различен, поэтому вычисление определенных интегралов надо вести отдельно для каждого участка длиной а затем результаты суммировать. [c.286]

Изменение внутренней потенциальной энергии при изгибе оболочки будет складываться из энергии обшивки, энергии продольных подкреплении и энергии поперечных подкреплений. [c.1041]

Положим, что стержень (рис. 512) сжат силой Р, меньшей критического значения, В этом случае он находится и устойчивом положении равновесия. Его можно изогнуть, прикладывая к нему поперечную нагрузку (сила Р ). При переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к криволинейной силы Р и Р совершат работу, и результате чего увеличится потенциальная энергия изгиба стержня. Энергетический баланс системы можно выразить в виде следующего уравнения [c.441]

Количество потенциальной энергии упругой деформации, заключенной в балке при плоском поперечном изгибе, определяют по формуле [c.195]

Вопрос о влиянии деформации сдвига при изгибе на величину прогибов и тесно с этим связанные вопросы о влиянии сдвигов на кривизну оси балки и об учете потенциальной энергии стеснения депланации поперечного сечения стержня, вызванной сдвигом, обсуждался в рамках элементарной теории в ряде работ в некоторых из них предприняты попытки оценки результатов при помощи аппарата теории упругости. [c.502]

Обратим внимание на то, что квадратичная по смещениям часть изменения П полной потенциальной энергии не зависит от дополнительного осевого перемещения бш = и вполне определяется поперечным смещением 6v = г]ди1. Первое слагаемое в правой части последнего равенства выражает энергию изгиба, соответствующую искривлению стержня. Второе слагаемое — это либо энергия дополнительной осевой деформации, если при переходе в искривленную форму равновесия 0 [c.389]

Для того чтобы при искривлении оси стержня выразить изменение полной потенциальной энергии АЭ в форме Брайана, сообщим точкам оси стержня поперечные перемещения v = (д ) первого порядке малости (рис. 3.10, я). Изменение полной потенциальной энергии стержня А5 при переходе от прямолинейной формы равновесия к новому искривленному состоянию определим с точностью до величин второго порядка малости (см. 9). Представим АЭ в виде суммы двух слагаемых АЭ = V + U, где V — потенциальная энергия изгиба стержня U — изменение потенциальной энергии растяжения стержня, вызванное поперечными перемещениями (х). [c.91]

При вращении диска необходимо учесть изменение потенциальной энергии массы диска в поле центробежных сил, а также работу, совершаемую при изгибе диска начальными напряжениями а, и Оф, которые возникают в срединной плоскости диска во время его вращения. При изгибе диска точки срединной поверхности получают поперечные смещения W, а также дополнительные перемещения L/ и V в радиальном и окружном направлениях. Перемещения Ч/ и V имеют второй порядок малости в сравнении с W. [c.21]

В положении равновесия первая вариация полной потенциальной энергии должна обращаться в нуль при любых допустимых вариациях поперечного прогиба. Отсюда следует дифференциальное уравнение поперечного изгиба стержня [c.27]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

Отсюда, как частный случай (при TV > 0), получается уравнение поперечных колебаний струны, если потенциальная энергия изгиба в [c.32]

Кирхгофф обосновал свою теорию пластинок двумя гипотезами, получившими ныне всеобщее признание. Эти гипотезы следующие 1) каждая прямая, первоначально перпендикулярная к срединной плоскости пластинки, остается при изгибе прямой и нормальной к срединной поверхности изогнутой пластинки 2) элементы срединной плоскости пластинки не испытывают удлинения при малых прогибах пластинки под поперечной нагрузкой. Эти допущения весьма близки но своему смыслу к гипотезе плоских сечений, принятой в наше время в элементарной теории изгиба брусьев. Исходя из этих двух предпосылок, Кирхгофф находит правильное выражение для потенциальной энергии V изогнутой пластинки [c.306]

Потенциальная энергия системы при изгибе поперечными силами будет [c.195]

Таким образом, изменение потенциальной энергии во времени и в пространстве аналогично изменению кинетической энергии. Максимум потенциальной энергии приходится как раз на те области среды, в которых максимальна кинетическая энергия. Это характерная особенность бегущих волн. Ее можно наглядно пояснить на примере распространения поперечного импульса в шнуре (рис. 12.13). Участок шнура А, до которого дошел импульс, деформируется (вытягивается и изгибается) и одновременно приобретает наибольшую скорость вверх. По мере прохождения импульса участок шнура А (отмечен жирной линией) поднимается. При этом скорость и деформация его уменьшаются (рис. 12.13,6). На гребне (рис. 12. 3, в) скорость и деформация обращаются в нуль. Всю энергию, которую получил участок в начальный момент, он передал другим частицам, в результате чего импульс и продвигается вперед. [c.372]

Если размеры поперечного сечения кольца не малы по сравнению с радиусом осевой линии то при закреплении его в патроне следует учитывать, кроме потенциальной энергии от изгиба, еще и потенциальную энергию деформации от нормальных и поперечных сил. [c.204]

При сов. местном действии продольной силы N и поперечного изгиба по теореме Клапейрона потенциальная энергия элемента (рис. 9.8) [c.264]

Здесь первое слагаемое — потенциальная энергия изгиба стойки и второе слагаемое — работа,- совершаемая продольными силами при искривлении стойки. При использовании выражения (23) для вычисления критического значения продольных сил задаются приближенным уравнением криволинейной формы равновесия. С этой целью целесообразно использовать уравнение упругой линии рассматриваемой стойки от комбинации некоторых поперечных нагрузок [121, 059 [c.262]

Тонкие листы, сваренные встык, в результате потери устойчивости искривляются по дуге окружности, приобретая в поперечном сечении седлообразную форму (рис. 6-17,а). Такая форма обеспечивает расположение зоны пластических деформаций по дуге наименьшего радиуса, что в свою очередь позволяет этой зоне сократиться по длине и освободиться в значительной степени от растягивающих остаточных напряжений и потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии в зоне пластических деформаций превосходит работу, затрачиваемую на изгиб пластины, и в целом потенциальная энергия во всей пластине после потери устойчивости снижается (рис. 6-17,6). При увеличении кривизны выше оптимальной (точка А), где потенциальная энергия минимальна, наблюдается рост потенциальной энергии. Зависимость кривизны пластин после сВарки от оста- [c.158]

Величина (Ущ в формуле (131) учитывает изменение потенциальной энергии массы диска в поле центробежных сил, а также работу, совершаемую при изгибе диска начальными напряжениями о . и о , имеющими место в его срединной плоскости . При изгибе диска точки его срединной поверхности получают поперечные смещения ш, а также дополнительные перемещения ия V в радиальном и окружном направлениях. Перемещения и и V имеют 2-й порядок малости в сравнении с ш. Дополнительные деформации элемента срединной поверхности в радиальном и окружном направлениях с учетом членов второго порядка (см. том I, главу II) составят [c.475]

Правая часть полученного выражения состоит из слагаемых, характеризующих энергию растяжения и изгиба оболочки и работу поперечной нагрузки (давления). При рассмотрении узкой полоски панели, прилегающей к стрингеру, ее потенциальная энергия будет в основном состоять из энергии изгиба. Поэтому для приближенного решения задачи представляется возможным отбросить первый член в правой части этого выражения. Тогда [c.210]

Ранее подчеркивалось, что на практике в основном используют подходы, основанные на принципе минимума потенциальной энергии (предполагаемые перемещения). Имеется все же возможность использовать эти подходы при формулировке уравнений жесткости с учетом поперечных сдвиговых деформаций для балок, пластин и оболочек путем простой аппроксимации, в которой суммируются результаты, полученные по отдельности при анализе чистого изгиба и чистого сдвига. Чтобы описать этот подход, изучим элемент 1—2, изображенный на рис. 12.16, являющийся частью всей балочной конструкции. Из рисунка видно, что поперечная сдвиговая деформация равна 7,х2=(ьУг—где верхним индексом 5 отмечено, что соответствующие перемещения обусловлены лишь деформациями сдвига. Кроме того, так как Ухг=2( + 1)Рх А Е, то [c.379]

Надо заметить, что ввиду отсутствия касательных напряжений в поперечном сечении (чистый изгиб) может показаться, что никакой прочности от склейки вообще не надо требовать. В действительности мы обычно не рассматриваем торцы балки, где приложена внешняя нагрузка. Если же ее распределение отличается от такового для внутренних нормальных напряжений (в неповрежденной балке), то при расслоении, вообще говоря, изменится распределение напряжений в поперечном сечении и это приведет к высвобождению энергии. Если исходить из требования гарантированной прочности (при любых торцевых распределениях нормальных нагрузок), т. е. ставить требование с запасом , то следует считать, что торцевой момент приложен лишь к одной из склеенных балок. Тогда (для балок прямоугольного поперечного сечения) начальная UQ и после отслоения плотности потенциальной энергии деформации следующие [c.17]

Найдем потепциальпую энергию изгиба балки. При поперечном изгибе в балке возникают нормальные Ох и касательные Тху или Txs напряжения. Выделим из балки поперечными и продольными сечениями элемент (продольное волокно) (рис. 8.61), объем которого dV — = dx dF, и подсчитаем накопившуюся в нем потенциальную энергию деформации dU. При линейно-упругой деформации сила ах dF совершит упругую работу на пути Ех dx, который она пройдет за счет удлинения элемента вдоль оси ж, а сила TxydF совершит упругую работу на пути jxydx, который образуется из-за сдвига jxy в плоскости ху. Эта работа и накопится в волокне в виде потенциальной энергии деформации. Поэтому [c.228]

Способность диэлектрика выдерживать дина1иические механические нагрузки характеризуют ударной вязкостью и стойкостью к вибрации. Удельная ударная вязкость отношение энергии удара при изломе образца к площади его поперечного сечения. Она характеризует прочность материала при динамическом изгибе. В таком режиме работают многие узлы электротехнического оборудования, выполненные из пластмасс, слоистых пластиков и других материалов. Ударную вязкость измеряют с помощью маятниковых копров, схема работы которых приведена на рис. 5.41. Тяжелый маятник / поднимают на высоту /i., и фиксируют. Образец 2 испытуемого материала, который имеет форму бруска без разреза и с разрезом посередине для вязких материалов, размещают на двух опорах копра. При освобождеипи фиксатора маятиик падает, ломает образец и поднимается по инерции на высоту Лкоторая зависит от свойств испытуемого материала. Разность потенциальных энергий маятника в положениях Л, и Л, определяет работу удара Луд == G - /i ). где G — вес маятника. Н. Удельная ударная вязкость И уд (Дж/м или Н-м) рассчитывается по формуле - где 5 — площадь поперечного сечения образца, м . [c.185]

Мы до сих пор предполагали, что все перекрестные балки имеют одинаковую жесткость, такое же допущение мы делали и относительно балок главного направления, но тот же прием может быть с выгодой применен и в тех случаях, когда одной или нескольким балкам придано иное сечение. Ход решения задачи поясним на таком примере. Предположим, что плоское покрытие, несущее равномерную нагрузку, поддерживается одиннадцатью равноудаленными балками главного направления и пятью перекрестными балками. Концы всех балок предполагаются свободно поворачивающимися. Поперечные сечения всех балок главного направления одинаковы. Что касается перекрестных балок, то средняя из них имеет вдвое большую жесткость, чем другие. Для потенциальной энергии изгиба нашей системы балок мы напишем такое же выражение, как и в слзг1ае перекрестных балок постоянной жесткости Е7 и потом [c.239]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Таким образом, основным фактором, определяющим способность хрупкого тела к самоподдерживающемуся разрушению, является запас потенциальной упругой энергии в неразрушенном теле. Наибольший запас упругой энергии в теле (практически неограниченный) можно создать при всестороннем сжатии или по некоторому пути нагружения,, близкому к всестороннему сжатию, когда тело остается не разрушенным трещинами поперечного сдвига. Важную роль в возможности создания запаса потенциальной упругой энергии в хрупком телё играет прочность материала. Удаление поверхностных микротрещин или их, сжатие внутренними напряжениями, гомогенизация материала в результате некоторых технологических операций увеличивают прочность (при прочих равных условиях) и тем самым позволяют достигнуть большей величины упругой энергии тела до его разрушения. У прочных стекол, характеризующихся отсутствием поверхностных микротрещин или большими внутренними сжимающими напряжениями в поверхностном слое, а также весьма однородной объёмной структурой, удается наблюдать самоподдерживающееся разрушение не только при сжатии, но и при изгибе и даже при растяжении. [c.474]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...